求一類二重積分的新定理

朱章根

【摘要】重積分是高等數(shù)學的重要內(nèi)容，對其研究具有很重要的意義.很多學生對重積分理解得不夠透徹，利用一題多解的思維可以提升學生的思維發(fā)散能力，值得教師們借鑒.用三種不同的解法研究一類重積分的題目，并且將其推廣得出一個一般性的定理.定理敘述如下：

設函數(shù) 在區(qū)域D： 上有二階連續(xù)偏導數(shù)，且 存在，則

其中

關鍵詞：重積分 高等數(shù)學 積分計算

例1（北京市大學生數(shù)學競賽賽題）：設函數(shù) 在區(qū)域D： 上有二階連續(xù)偏導數(shù)，且 ，證明：

證法1 利用極坐標，本題的關鍵，是把被積函數(shù)變化成所給等式左端的形式.在半徑為 的圓周 上運用格林公式得

記 為半徑是r的圓周， 為 包圍的區(qū)域 ， ，于是上式的內(nèi)層積分，可看作是沿閉曲線 （逆時針方向）的曲線積分

于是有

由弧微分關系 ，且積分區(qū)域為0 ，因而 相當于沿著 的積分，積分方向為逆時針方向.以此上式中的積分區(qū)域 相當于 ，進而可得

其中 為 在點 處的法線方向向量，因而上式相當于沿著h點處法向量的積分.因此由格林公式可得

故

證法2 由格林公式，可導出二重積分的分部積分公式

和

其中Ω是一平面區(qū)域，?Ω為Ω的正向邊界

令A= ， ； ， 利用

上述公式，得到

.

由于在邊界?D上， ，所以

上式=

證法3 利用兩類曲線積分的關系，由第一類曲線積分與第二類曲線之間的聯(lián)系可得

，

上式中 分別為該曲線在 處的法線 與 軸以及 軸之間的夾角，又設 處的切線與x軸正向夾角為 ，則有

由前面的討論可知

上式中 相當于 沿著與坐標軸夾角為 的單位向量的方向?qū)?shù)并且其為 ，而 故

繼而可得

現(xiàn)在來討論這種一般形式的積分，可以得出一個基礎定理.

定理一：設函數(shù) 在區(qū)域D： 上有二階連續(xù)偏導數(shù)，且 存在，則

其中

繼而可得

證明：

按照證法3的思路有

繼而可得

其中

求

例2：（全國大學數(shù)學競賽賽題） 是 上二次可微函數(shù)， 滿足

，計算積分 .

解：根據(jù)定理一則

結(jié)語：本文研究一類基礎習題得出一個非常漂亮的定理，值得考研學生以及一線教師借鑒.關于數(shù)學解題方法是有限的但是對于學術研究卻是無限的.不少學生對高等數(shù)學表示頭大，提供多種解題方法可以加深對基礎概念的理解，提高學生對學習方面的熱情.

【參考文獻】

[1]同濟大學數(shù)學系.微積分（下冊）（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2009

[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（下冊）（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2010