抽象函數定義域的解題策略

丁楊翔

【摘要】抽象函數是指沒有明確給出具體解析式的一類函數，由于其抽象性，對定義域的求解讓多數學生難以理解并且無從下手，基于此，本文總結出兩句話作為解題策略，根據策略分析了抽象函數定義域問題的四種題型及相應解題方法。

【關鍵詞】抽象函數 定義域 解題策略

函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終。在函數的三要素——定義域、值域和對應法則中，定義域和對應法則是函數的核心，而定義域又是研究函數的先決條件，對函數的學習和研究必須建立在定義域的基礎上，因此，求解函數的定義域是研究函數問題中一項重要內容[1]。

但在求函數定義域的問題中，抽象函數的定義域求解成為多數學生難以理解并且無從下手的一類題目。抽象函數是指沒有明確給出具體解析式，只給出函數的特殊條件或特征的一類函數，正是由于其抽象性常常讓學生感到迷惑。

對于求解抽象函數的定義域，只需要理解下面兩句話，所有問題都可以迎刃而解。

（1）函數定義域是指自變量的取值范圍。

（2）函數三要素中，相同對應法則的作用范圍相同。

第一句話意味著無論是函數，，，給出函數的定義域，即是給出的取值范圍。第二句話意味著對于兩個函數和，在同一個對應法則的作用下，的取值范圍與的取值范圍是相同的，兩者等價，也就是說，兩個函數的值域相同（并不表示定義域相同）。

根據該解題策略，下面結合具體實例分析抽象函數定義域問題的四種題型及解題方法。

1 已知的定義域，求的定義域

解題方法：根據第二句話，相同對應法則作用范圍相同，意味著的取值范圍與的取值范圍相同，兩者等價。再根據第一句話，求的定義域，就是求的取值范圍，則問題化為，根據的取值范圍求的取值范圍，即為的定義域。

例如，若的定義域為，即，則等價于中，從中解得，即的定義域為。

例1：已知函數的定義域為[1，4]，求函數的定義域。

解：已知的定義域為[1，4]，即中，

，解得，

∴函數的定義域為[-1，0]。

2 已知的定義域，求的定義域

解題方法：根據相同對應法則作用范圍相同，意味著的取值范圍與的取值范圍相同，兩者等價。再根據第一句話，已知的定義域，就是已知的取值范圍，則問題化為，根據的取值范圍求的取值范圍，即為的定義域。

例如，若的定義域為，即，可確定的取值范圍，則等價于中，即的定義域為。

例2：已知函數的定義域為[-l，2），求函數的定義域。

解：已知的定義域為[-l，2），即，

，即等價于中，

∴函數的定義域為[3，9）。

3 已知的定義域，求的定義域

題型3本質上為題型1和題型2的綜合。

解題方法：根據第一句話，已知的定義域，就是已知的取值范圍，根據的取值范圍可確定的取值范圍。再根據第二句話相同對應法則作用范圍相同，意味著的取值范圍與的取值范圍相同，兩者等價，則問題化為，根據的取值范圍求的取值范圍，即為的定義域。

例如，若的定義域為，即，可確定的取值范圍，則等價于中，再根據的取值范圍求得，即的定義域為。

例3：已知函數的定義域為[-1，1]，求函數的定義域。

解：已知的定義域為[-l，1]，即

，即等價于，

解得中，∴函數的定義域為。

4 已知的定義域，求運算型抽象函數的定義域

運算型的抽象函數是指由有限個抽象函數經四則運算得到的函數，如，等。

解題方法：先根據題型1求出各個函數，的定義域，然后再求其交集。

例如，若的定義域為，即，則等價于中和中，分別解得的取值范圍，其交集即為所求定義域。

例4：若的定義域為[-5，3]，求函數和的定義域。

解：由的定義域為[-5，3]，即中，

則中有，解得，

取交集得，∴函數的定義域為。

同理，的定義域也為。

總之，抽象函數定義域的求解問題一定要從本質上弄明白，理解函數的定義域和對應法則，清楚解題策略，進而根據對應法則下的等價轉化，利用不等式知識解決問題。

【參考文獻】

[1]崔瓊珍.抽象型函數定義域求解研究[J].中國科教創新導刊，2010，（10）：82-83.