立體幾何命題規(guī)律與備考策略

蔡震雄

幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科. 通常采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等方法認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及其性質(zhì). 認(rèn)識(shí)空間圖形，考查考生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力。從學(xué)習(xí)立體幾何的過(guò)程來(lái)說(shuō)，先從對(duì)空間幾何體的整體觀察入手，認(rèn)識(shí)空間圖形;在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系;能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，還考查簡(jiǎn)單幾何體表面積與體積的計(jì)算方法. 在空間向量與立體幾何部分，考生應(yīng)類比平面向量的性質(zhì)及計(jì)算理解并掌握空間向量的概念及計(jì)算等，在空間向量應(yīng)用部分，考生應(yīng)理解和掌握向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系中的平行和垂直. 解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題.

從近五年高考立體幾何試題分析，立體幾何占12%左右，分值相對(duì)穩(wěn)定，其題型一般是一個(gè)解答題，一個(gè)選擇或填空題（有些年份選擇、填空各一個(gè)）.解答題處于整卷解題的中間，從知識(shí)方面看一般和棱柱和棱錐有關(guān)，主要考查線線關(guān)系.線面關(guān)系和面面關(guān)系，其重點(diǎn)是考查空間想象能力和推理論證、運(yùn)算能力.

第一單元 ? ?空間幾何體

【考點(diǎn)聚焦】

空間幾何體內(nèi)容有：柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征、簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖、斜二側(cè)法畫直觀圖、簡(jiǎn)單幾何體的表面積及體積.

【經(jīng)典解析】

考點(diǎn)1：柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

例1.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

①由五個(gè)面圍成的多面體只能是四棱錐;

②用一個(gè)平面去截棱錐便可得到棱臺(tái);

③僅有一組對(duì)面平行的五面體是棱臺(tái);

④有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐.

A. 0個(gè) ? ? ? ? B. 1個(gè) ? ? ? ? C. 2個(gè) ? ? ? ? D. 3個(gè)

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①理解棱錐、棱柱、棱臺(tái)的概念;②構(gòu)造出不符合題意的空間多面體.

解析：對(duì)于①，五個(gè)面圍成的多面體也可以是三棱柱或三棱臺(tái)，①錯(cuò);對(duì)于②，當(dāng)平面與棱錐底面不平行時(shí)，截得的幾何體不是棱臺(tái)，故②錯(cuò);對(duì)于③，僅有一組對(duì)面平行的五面體也可能是三棱柱，故③錯(cuò);對(duì)于④，當(dāng)三角形面沒(méi)有一個(gè)公共頂點(diǎn)時(shí)，也不是棱錐，④錯(cuò).

【收獲與點(diǎn)評(píng)】了解特殊多面體的概念，例如棱柱、棱錐、棱臺(tái)、長(zhǎng)方體、正方體的構(gòu)成及概念.

例2. 給出下列命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線;②圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線;③在圓臺(tái)的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線;④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.其中正確命題的序號(hào)是________.

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①理解圓錐、圓柱、圓臺(tái)的概念;②理解圓錐、圓柱、圓臺(tái)母線的概念.

解析：根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義和性質(zhì)可知，只有②④兩個(gè)命題是正確的.

答案：②④.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓錐、圓柱、圓臺(tái)母線的概念，屬于容易題.

考點(diǎn)2：三視圖及相關(guān)問(wèn)題

例3. （2015年高考北京理科）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（ ? ? ? ）

A. 2+ ? ? ? B. 4+ ? ? ?C. 2+2 ? ? ?D. 5

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①根據(jù)三視圖畫出立體圖形的直觀圖;②度量計(jì)算各側(cè)面的面積.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】三視圖是高中新課標(biāo)的新增內(nèi)容，也是近年高考數(shù)學(xué)常考的熱點(diǎn)內(nèi)容. 平行投影形不變，傾斜投影形改變，垂直投影成一點(diǎn);掌握三視圖的畫法規(guī)則：長(zhǎng)對(duì)正，寬平齊，高相等;能夠根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖，這是解決相關(guān)面積和體積等進(jìn)行計(jì)算問(wèn)題的基礎(chǔ).

例4. （2015年高考全國(guó)新課標(biāo)II卷理科）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（ ）

A. ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? ?D.

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①根據(jù)三視圖畫出切割后的正方體剩余部分;②度量計(jì)算組合體的體積.

解析：由三視圖，得在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截去四面體A1-ABD，如圖所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則VA1-ABD=×（a2）×a=a3，故剩余幾何體體積為a3，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為，答案選D.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】觀察三視圖正確地畫出立方體的切割圖形時(shí)關(guān)鍵，考生須具備較強(qiáng)的觀察能力、空間想象能力、形象思維能力和幾何直觀能力.

例5. （2015年高考湖北理科）圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示. 若該幾何體的表面積為16+20π，則r=（ ）

A. 1 ? ?B. 2 ? C. 4 ? D. 8

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①根據(jù)正視圖和俯視圖畫出組合體的直觀圖，但要調(diào)整立體圖形的位置才好畫出直觀圖;②度量計(jì)算組合體的體積.

解析：由三視圖得，直觀圖時(shí)圓柱沿軸線切割半圓柱和半球形成的組合體，如圖所示，

半圓柱的表面積為：4r2+·π·2r·2r+πr2=4r2+3πr2;

半球的表面積為：·4πr2+πr2=3πr2.

所以組合體的表面積為：半圓柱的表面積+半球的表面積-2×重合部分面積=4r2+3πr2+3πr2-2··πr2=4r2+5πr2=16+20π，答案選B.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何體的三視圖，考查直觀圖的畫法;或給出幾何體的部分三視圖，考查其它視圖的畫法;熟記球、圓柱的體積公式.

考點(diǎn)3：簡(jiǎn)單幾何體表面積及其體積

例6.（2015年高考江蘇理） 現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè). 若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為 .

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①計(jì)算制作前橡皮泥的體積，即計(jì)算圓錐和圓柱的體積和;②利用等量關(guān)系，建立方程求解的方法.

解析：由體積相等得：×4×π×52+π×22×8=×r2×π×r2×8?r=.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的體積公式，屬于簡(jiǎn)單題.

例7.（2015年高考全國(guó)新課標(biāo)I）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（ ? ? ? ）

A. 14斛 ? ? ? ? B. 22斛 ? ? ? ? ?C. 36斛 ? ? ? ?D. 66斛

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①圓錐的體積計(jì)算;②不同單位之間的換算及估算.

解析：設(shè)圓錐底面半徑為r，則×2×3r=，所以米堆的體積為××3×（）2×5=，故堆放的米約為÷1.62≈22，答案選B.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】本題主要取材于《九章算術(shù)》，凸顯了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值和與現(xiàn)實(shí)緊密相聯(lián)的應(yīng)用意識(shí)，計(jì)算能力，尤其是估算能力.

例8.（全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ）已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（ ）

A. 36π ? ? ? ? ?B. 64π

C. 144π ? ? ? ? D. 256π

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①棱錐的體積公式;②球的表面積公式.

解析：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-ABC的體積最大，設(shè)O球的半徑為R，此時(shí)VO-ABC=VC-AOB=×R2×R=R3=36，故R=6，則球O的表面積為S=4πR2=144 π，故選C.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】動(dòng)態(tài)變化中，考查的推理能力，關(guān)鍵要能根據(jù)題意畫出立體圖形，要是三棱錐體積最大，當(dāng)?shù)酌娣e和高同時(shí)最大符合題意，是一道較難題.

第二單元 ? ?點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系

【考點(diǎn)聚焦】四個(gè)公理，點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的分類、線線角的定義及求法、線面角的定義及求法、面面角的定義及求法、線面平行的判定和性質(zhì)、線面垂直的判定和性質(zhì)、面面平行的判定和性質(zhì)、面面垂直的判定和性質(zhì).

【經(jīng)典解析】

考點(diǎn)1：平行、垂直的判定及性質(zhì)

例1. （2015年高考北京理）設(shè)α，β，m是兩個(gè)不同的平面，是直線且m?α.“m∥β”是“α∥β”的（ ）

A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件

C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①由條件一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一平面的平行線;②由結(jié)論出發(fā)兩個(gè)平面平行.

解析：因?yàn)棣粒率莾蓚€(gè)不同的平面，m是直線且m?α.若“m∥β”，則平面α，β可能相交也可能平行，不能推出，反過(guò)來(lái)若α∥β，m?α，則有m∥β，則“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件， 答案選B.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】已充要條件為載體，考查了面面平行的判定和面面平行的性質(zhì).是一道中等難度的試題.

例2.（2015年高考福建理）若l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面α ，則“ l⊥m”是“ l⊥α”的 （ ? ? ?）

A. 充分而不必要條件 ? ? ? ? B. 必要而不充分條件

C. 充分必要條件 ? ? ? ? ? ? ? D. 既不充分也不必要條件

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①由條件一條直線垂直一個(gè)面的垂線;②由結(jié)論出發(fā)一條直線平行于一個(gè)平面.

解析：若 l⊥m， 因?yàn)閙垂直于平面α，則l∥α或l?α，若l∥α又m垂直于平面α則 l⊥m，所以 l⊥m是l∥α的必要而不充分條件，答案選B.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】考查的推理能力，關(guān)鍵要注意如果線在面內(nèi)面的垂線也垂直于這條直線，是一道中等難度題.

例3.（2015年高考浙江文）設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面， l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β，（ ）

A. 若l⊥β，則 α⊥β ? ? ? ? ? ?B. 若α⊥β ? ，則l⊥m

C. 若l∥β，則 α∥β ? ? ? ? ? ? D. 若α∥β，則l∥m

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①線面垂直則面面垂直;②面面垂直則線線垂直;③面內(nèi)有一條線平行于另一個(gè)面，則面面平行;④面面平行，則線線平行.

解析：若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直，答案選A.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】 根據(jù)線面平行與垂直的判定和性質(zhì)，可知：“線線平行?線面平行?面面平行”，“線線垂直?線面垂直?面面垂直” 是立幾中所表現(xiàn)出的線、面平行與垂直關(guān)系互相轉(zhuǎn)化的基本思路，利用這種轉(zhuǎn)化思路，可以解決立體幾何線面位置關(guān)系的基本問(wèn)題.

例4.（2015年高考江蘇文）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1=E.

求證：（Ⅰ）DE∥平面AA1CC1;（Ⅱ）BC1⊥AB1.

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱;②底面為直角三角形;③DE為△AB1C的中位線.

解析：（Ⅰ）因?yàn)锽1C∩BC1=E，四邊形BB1C1C為正方形.

所以點(diǎn)B1E=EC，AB1的中點(diǎn)為D，所以DB1=AD.

所以DE為△AB1C的中位線，得到DE∥AC.

又因?yàn)镈E?平面AA1CC1，AC?平面AA1CC1，得到結(jié)論：DE∥平面AA1CC1.

（Ⅱ） 因?yàn)锽1C∩BC1=E，四邊形BB1C1C為正方形，

所以BC1⊥B1C.

因?yàn)橹比庵鵄BC-A1B1C1中AC⊥BC，AC⊥CC1且CC1∩BC=C.

所以AC⊥BB1CC，又因?yàn)锽C1?面BB1C1C.

所以AC⊥BC1，且AC∩BC1=C.

所以BC1⊥面AB1C且AB1?面AB1C，得到結(jié)論：BC1⊥AB1.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】本題融“線線平行與線面平行”“線線垂直與線面垂直”的相互轉(zhuǎn)化于一體，是一道恰如其分的好題. 考生如能做到“由題設(shè)條件想性質(zhì)，由求證結(jié)論想判定”，就能迅速抓住（1）題的關(guān)鍵是論證DE∥AC，（2）題的關(guān)鍵是BC1⊥面AB1C，抓住了關(guān)鍵點(diǎn)，完成證明就變得順理成章.

考點(diǎn)2： 線線、線面、面面間的位置關(guān)系問(wèn)題

例5.（2015年高考浙江文）如圖，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動(dòng)點(diǎn)滿足∠PAB=30°，則點(diǎn)P的軌跡是（ ? ? ?）

A. 直線 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B. 拋物線

C. 橢圓 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D. 雙曲線的一支

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①線段AB與平面α所成的角為60°;②動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAB=30°.

解析：動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAB=30°，P在以AB為軸且母線與軸形成的夾角為30°的圓錐側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，又因?yàn)樾本€段AB與平面α所成的角為60°且P在α面上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)P的軌跡是平面截圓錐側(cè)面的交線，又因?yàn)榫€段AB與平面α所成的角為60°大于∠PAB=30°，P的軌跡是橢圓，答案選C.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】本道題首先應(yīng)抓住條件動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAB=30°，從而能確定動(dòng)點(diǎn)在圓錐側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，然后利用交軌法 解決問(wèn)題，本道試題難度較大.

例6.（2015年高考全國(guó)新課標(biāo)I文）如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD.

（Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面BED;

（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積.

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①線BE⊥平面ABCD;②邊形ABCD為菱形;③∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積為，可得出各線段的比例關(guān)系，從而可列方程，求出側(cè)面積的大小.

解析：（I）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD.

因?yàn)锽E⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，故AC⊥平面BED.

又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.

（II）設(shè)AB=x，在菱形ABCD中，又∠ABC=120° ，可得AG=GC=x，GB=GD=.

因?yàn)锳E⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG=.

由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE=x.

三棱錐E-ACD的體積VE-ACD=×AC·GD·BE=x3=，故x=2.

從而可得AE=EC=ED=.

所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與 △ECD的面積均為.

故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+2.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】本道題（1）題考查了面面垂直的判斷方法，屬于應(yīng)知應(yīng)會(huì);（2）此題突出了對(duì)“等積法”的考查. 關(guān)于“等積”，包括“等面積”和“等體積”，其實(shí)質(zhì)是利用等積構(gòu)造方程，求解平面圖形的高或幾何體的高，此方法的優(yōu)勢(shì)是回避通過(guò)具體作圖得到三角形（或三棱錐）的高，然后通過(guò)計(jì)算求高的步驟.

例7.（2015年高考湖南文）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn).

（I）證明：平面AEF⊥平面B1BCC1;

（II）若直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°，求三棱錐F-AEC的體積.

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，得出AE⊥BB1;②E是正三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC;③給出線面角大小，可得各線段得比例關(guān)系.

解析：（Ⅰ）如圖，因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱，

所以AE⊥BB1，又E是正三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，

所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1，而AE?平面AEF，

所以平面AEF⊥平面B1BCC1.

（Ⅱ）設(shè)AB的中點(diǎn)為D，連接A1D，CD，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以CD⊥AB，又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1，因此CD⊥平面A1AB1B，于是∠CA1D直線A1C與平面A1ABB1所成的角，由題設(shè)知∠CA1D=45°，

所以A1D=CD=AB=，

在Rt△AA1D中，AA1===，所以FC=AA1=.

故三棱錐F-AEC的體積V=SABC×FC=××=.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】本道題（I）完整體現(xiàn)了從線線垂直到線面垂直，再到面面垂直的推理鏈條，（II）題給出了線面角的度數(shù)，這個(gè)條件如何用？逼出“一作”（線面角）“二證”（線面角）的解題策略.

例8.（2015年高考福建文）如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，PO垂直于圓O平面，且PO=OB=1.

（Ⅰ）若D為線段AC的中點(diǎn)，求證AC⊥平面PDO;

（Ⅱ）求三棱錐P-ABC體積的最大值;

（Ⅲ）若BC=，點(diǎn)E在線段PB上，求CE+OE的最小值.

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①三棱錐P-ABC中底面為直角三角形，高為PO;②三棱錐的高為定值，底面直角三角形斜邊也為定值.

解析：（I）在△AOC中，因?yàn)镺A=OC，D為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥OD.又PO垂直于圓O所在的平面，

所以PO⊥AC.

因?yàn)镈O∩PO=O，

所以AC平面PDO.

（II）因?yàn)辄c(diǎn)C在圓O上，

所以當(dāng)CO⊥AB時(shí)，C到AB的距離最大，且最大值為1.

又AB=2，所以△ABC面積的最大值為×2×1=1.

又因?yàn)槿忮FP-ABC的高PO=1，

故三棱錐P-ABC體積的最大值為×1×1=.

（III）方法1： 在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90°，

所以PB==.

同理PC=，所以PB=PC=BC.

在三棱錐P-ABC中，將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC′P，使之與平面ABP共面，如圖所示.當(dāng)O，E，C′共線時(shí)，CE+OE取得最小值.

又因?yàn)镺P=OB，C′P=C′B，

所以O(shè)C′垂直平分PB，即E為PB中點(diǎn).

從而OC′=OE+EC′=+=，

亦即CE+OE的最小值為.

方法2：在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90°，

所以∠OPB=45°，PB==.同理PC=.

所以PB=PC=BC，所以∠CPB=60°.

在三棱錐P-ABC中，將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC′P，使之與平面共面ABP，如圖所示.當(dāng)O，E，C′共線時(shí)，CE+OE取得最小值.

所以在△OC′P中，由余弦定理得：

OC′2=1+2-2×1××cos（45°+60°）

=1+2-2（×-×）

=2+.

從而OC′==，所以CE+OE的最小值為.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】（Ⅰ）要證明AC⊥平面PDO，只需證明AC垂直于面PDO內(nèi)的兩條相交直線.首先由PO垂直于圓O所在的平面，可證明PO⊥平面AC. 又OA=OC，D為AC的中點(diǎn)，可證明AC⊥OD，進(jìn)而證明結(jié)論;（Ⅱ）三棱錐P-ABC中，高PO=1，要使得P-ABC體積最大，則底面ABC面積最大，又AB=2是定值，故當(dāng)AB邊上的高最大，此時(shí)高為半徑，進(jìn)而求三棱錐P-ABC體積;（Ⅲ）將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC′P，使之與平面ABP共面，此時(shí)線段OC′的長(zhǎng)度即為CE+OE的最小值.

第三單元 ? ?空間向量與立體幾何

【考點(diǎn)聚焦】

空間向量與立體幾何主要內(nèi)容有：空間向量的基本定理及其意義、空間向量的正交分解及其座標(biāo)表示、空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示、用空間向量的數(shù)量積判斷共線和垂直、直線的方向向量與平面的法向量、用向量方法證明平行或垂直、用向量方法求線線、線面、面面的交角.

【經(jīng)典解析】

考點(diǎn)1：空間向量

【收獲與點(diǎn)評(píng)】類比平面向量的性質(zhì)，∥，則=k，此道題屬于簡(jiǎn)單題.

例2. 已知向量=（1，1，0），=（-1，0，2），且k+與2-互相垂直，則k的值為（ ）

A. ? ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? ? D.

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：⊥，則·=0.

解析：k+=（k-1，k，2），2-=（3，2，-2），由題意知，3（k-1）+2k-4=0，解得k=，答案：D.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】類比平面向量的性質(zhì)，⊥，則·=0，此道題屬于簡(jiǎn)單題.

例3. 已知=（2，-1，3），=（-1，4，-2），=（7，5，λ），若、、三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于（ ）

A. ? ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? D.

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：根據(jù)空間向量定理得：，，三個(gè)向量共面，所以存在實(shí)數(shù)m，n使得=m+n.

解析：由于，，三個(gè)向量共面，所以存在實(shí)數(shù)m，n使得=m+n，即有7=2m-n，

5=-m+4n，

λ=3m-2n，解得m=，n=，λ=，答案：D.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】本題考查了，空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，空間向量定理.本題屬于簡(jiǎn)單題.

例4. 已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為上底面A1C1的中心，若=+x+y，則x、y的值分別為（ ）

A. x=1，y=1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B. x=1，y=

C. x= ，y= ? ? ? ? ? ? ? D. x= ，y=1

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：E為上底面A1C1的中心，考查向量的線性運(yùn)算.

解析：如圖，=+=+（+），所以x=，y=.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】 平面向量的加法法則、減法法則同樣適用于空間向量的加法法則和減法法則.本道題屬于簡(jiǎn)單題.

考點(diǎn)2：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

例5.（2015年高考四川理）如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn). 設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ，則cosθ的最大值為 ? ? ? ?.

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：

①建立空間直角坐標(biāo)系，寫出向量坐標(biāo)=（1，，0），E（，0，0）;=（-，y，1）;

②利用夾角公式求出夾角的余弦關(guān)于變量的函數(shù)關(guān)系，然后求出最值.

解析：建立坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)AB=1，則=（1，，0），E（，0，0）=（1，，0），E（，0，0）.設(shè)M=（0，y，1）（0≤y≤1），則=（-，y，1），由于異面直線所成角的范圍為（0，].

cosθ==.

經(jīng)計(jì)算當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí)cosθ取得最大值.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】 此類考題歷來(lái)都是整篇試卷創(chuàng)新的亮點(diǎn)，通常背景新穎，不側(cè)重考查復(fù)雜的計(jì)算或難度極大的解題技巧，而著眼于考生閱讀理解、挖掘信息、構(gòu)造模型等基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力的考查.從思維層面看，考生往往需要由特殊到一般的歸納、由一般到一般的遞推;從方法層面上看，通常離不開(kāi)分析法、綜合法、反證法以及函數(shù)建模等.解答此類題目，考生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的“翻譯”尤為關(guān)鍵，有些題目雖然不難，但考生難以把不熟悉的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，劃歸成自己熟悉的圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言，成為難以攻克的癥結(jié).解決這個(gè)問(wèn)題，恰恰反映出試卷對(duì)課堂教學(xué)實(shí)施素質(zhì)教育的良性導(dǎo)向.

例6.（2015年高考廣東理） ?如圖，三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3.點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別在線段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB.

（Ⅰ）證明：PE⊥FG;

（Ⅱ）求二面角P-AD-C的正切值;

（III）求直線PA與直線FG所成角的余弦值.

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①PE⊥DC，再由面面垂直的性 質(zhì)，得出線線垂直;②利用二面角定義，先找出二面角的平面角，然后再計(jì)算出角的大小;③關(guān)鍵是先作平行線，作出線面角，再證明所作的角即為線線角.

解析：（Ⅰ）證明：∵ PD=PC且點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，∴ PE⊥DC，又平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD=CD，PE?平面PDC，

∴ PE?平面ABCD，又FG?平面ABCD，∴PE⊥FG.

（Ⅱ）∵ ABCD是矩形，∴ AD⊥DC. 又平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD=CD，AD?平面ABCD，

∴ AD⊥平面PCD，又CD、PD?平面PDC，∴ AD⊥DC ，AD⊥PD，

∴ ∠PDC即為二面角P-AD-C的平面角，

在Rt△PDE中，PD=4，DE=AB=3，PE==，

∴ tan∠PDC==即二面角P-AD-C的正切值為.

（III）如圖所示，連接AC，

∵ AF=2FB，CG=2GB即==2，∴ AC ∥FG，

∵ ∠PAC 為直線PA與直線FG所成角或其補(bǔ)角.

在△PAC中，PA==5，AC==3，

∴ 由余弦定理可得直線PA與直線FG所成角的余弦值為.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】 近年來(lái)，理科立體幾何簡(jiǎn)答題多強(qiáng)調(diào)向量工具的運(yùn)用，而本題既出乎意料之外，又合乎情理之中，對(duì)理科考生考查了一道運(yùn)用綜合法解決也方便快捷的題目，這對(duì)課堂教學(xué)回歸基本概念、基本方法，都是絕好的導(dǎo)向.本道題也可以利用空間向量來(lái)解決.

例7.（2015年高考江蘇理）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1=E.求證：（Ⅰ）DE∥平面AA1C1C;（Ⅱ）BC1⊥AB1.

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，AC⊥BC，BC=CC1，建系寫各點(diǎn)的坐標(biāo);②求出平面的法向量;③利用空間向量證明線面平行和線線垂直.

解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，A（0，1，1），B（1，0，1），C（0，0，1），D（，，），E（，0，），A1（0，1，0），B1（1，0，0），C1（0，0，0）.

（Ⅰ）=（0，，0），面AA1C1C的法向量為：=（1，0，0）.

·=0·1+·0+0·0，且DE?平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

（Ⅱ）因?yàn)?（1，0，1），=（1，-1，-1），

所以·=1·1+0·（-1）+1·（-1）=0，

得出結(jié)論：BC1⊥AB1.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】（Ⅰ）由三棱錐性質(zhì)知側(cè)面BB1C1C為平行四邊形，因此點(diǎn)E為B1C的中點(diǎn)，從而由三角形中位線性質(zhì)得DE ∥AC，再由線面平行判定定理得DE ∥平面AA1C1C，也可以利用空間向量，證明直線的方向向量垂直于平面的法向量.（Ⅱ）因?yàn)橹比庵鵄BC-A1B1C1中BC=CC1，所以側(cè)面BB1C1C為正方形，因此BC1⊥B1C，又AC⊥BC，AC⊥CC1（可由直三棱柱推導(dǎo)），因此由線面垂直判定定理得AC⊥平面BB1C1C，從而AC⊥BC1，再由線面垂直判定定理得BC1⊥平面AB1C，進(jìn)而可得BC1⊥AB1，利用空間向兩只需證BC1、B1A的方向向量垂直即可.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)立題幾何的定位主要作了三方面的調(diào)整：強(qiáng)調(diào)把握?qǐng)D形能力的培養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)空間想象與幾何直觀能力的培養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)邏輯思維能力的培養(yǎng)、英國(guó)著名數(shù)學(xué)家M.阿蒂亞說(shuō)過(guò)：“幾何是數(shù)學(xué)中這樣一個(gè)部分，其中視覺(jué)思維占主導(dǎo)地位，而代數(shù)則是數(shù)學(xué)中有序思維占主導(dǎo)地位的部分，這種區(qū)分也許用另外一對(duì)詞更好，即‘洞察與‘嚴(yán)格，兩者在真正的數(shù)學(xué)研究中起著本質(zhì)的作用.”

例8.（2015年高考北京理）如圖，在四棱錐A-EFCB中，△AEF為等邊三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O為EF的中點(diǎn).

（Ⅰ） 求證：AO⊥BE;

（Ⅱ） 求二面角F-AE-B的余弦值;

（Ⅲ） 若BE⊥平面AOC，求a的值.

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①△AEF為等邊三角形，平面AEF⊥平面EFCB，底面為等腰梯形，利用面面垂直的性質(zhì)，得出線面垂;②求出兩個(gè)平面的法向量，從而能求出二面角的余弦值;③利用線面垂直的條件列方程求出未知數(shù).

解析：（Ⅰ）由于平面AEF⊥平面EFCB，△AEF為等邊三角形，O為EF的中點(diǎn)，則AO⊥EF，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，所以AO⊥平面EFCB，又BE?平面EFCB，則AO⊥BE.

（Ⅱ）取CB的中點(diǎn)D，連接OD，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)E，OD，OA為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A（0，0，a），E（a，0，0），B（2，2-a，0），

=（a，0，-a），=（2-a，2-a，0）.

由于平面AEF與y軸垂直，則設(shè)平面AEF的法向量為=（0，1，0），

設(shè)平面AEB的法向量=（x，y，1），

⊥，ax-a=0，x=，

⊥，（2-a）x+（2-a）y=0，y=-1，則=（，-1，1）.

二面角F-AE-B的余弦值cos<，>==，

由二面角F-AE-B為鈍二面角EFCB，所以二面角F-AE-B的余弦值為-.

（Ⅲ）有（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，則AO⊥BE，若BE⊥平面AOC，只需BE⊥OC， =（2-a，2a-，0）.又=（-2，2-a，0），·=-2（2-a）+（2-a）2=0，解得a=2或a=，由于a<2，則a<.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】 證明線線垂直可尋求線面垂直，利用題設(shè)AEF平面⊥平面EFCB，借助性質(zhì)定理證明AO⊥平面EFCB，進(jìn)而得出線線垂直，第二步建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，平面AEF的法向量易得，只需求平面AEB的法向量，設(shè)平面AEB的法向量，利用線線垂直，數(shù)量積為零，列方程求出法向量，再根據(jù)二面角公式求出法向量的余弦值;第三步由于AO⊥BE，要想BE⊥平面AOC，只需BE⊥OC，利用向量·的坐標(biāo)，借助數(shù)量積為零，求出a的值，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題予以取舍.

函數(shù)與方程的思想是高中數(shù)學(xué)的基本思想之一.也是歷屆高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn).函數(shù)的思想就是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)、幾何與對(duì)應(yīng)的思想去分析和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用函數(shù)的方法使問(wèn)題得到解決.在立體幾何中把點(diǎn)的位置、線面角的大小等變量表示成其他變量的函數(shù)，或利用等量關(guān)系構(gòu)造方程解決問(wèn)題，是非常常見(jiàn)的.

例9. （2015年高考陜西理）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如圖2.

（I）證明：CD⊥平面A1OC;

（II）若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值.

【思維生長(zhǎng)點(diǎn)】由題目可獲得的主要信息及解題思路：①由平面幾何知識(shí)非常容易證明BE⊥AC，從而折疊后BE⊥OA1，BE⊥OC，得出線面垂直的結(jié)論;②由條件平面A1BE⊥平面BCDE，非常容易建立空間直角坐標(biāo)系，再求出兩個(gè)平面的法向量，從而證明面面垂直.

【收獲與點(diǎn)評(píng)】折疊與展開(kāi)問(wèn)題是立體幾何的兩個(gè)重要問(wèn)題，這兩種方式的轉(zhuǎn)變正是空間幾何與平面幾何問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化的重要通道.此類問(wèn)題是立體幾何考查實(shí)踐與創(chuàng)新能力的好素材.解答問(wèn)題的關(guān)鍵在于畫好折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清折疊前后哪些發(fā)生了變化，哪些沒(méi)有發(fā)生變化.這些未變化的已知條件都是我們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的依據(jù).

結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)立體幾何的高考要求，我們不難發(fā)現(xiàn)，要學(xué)好立體幾何，做到如下三點(diǎn)非常重要：

（1）要培養(yǎng)自己的空間想象力. 為此，可以在剛開(kāi)始學(xué)習(xí)時(shí)，動(dòng)手制作一些簡(jiǎn)單的模型用以幫助想象. 例如制作正方體或長(zhǎng)方體，并在正方體中尋找線與線、線與面、面與面之間的關(guān)系。另外，還可以通過(guò)簡(jiǎn)單圖形的三視圖想象幾何直觀圖，并試圖畫出，反之，還可以憑借幾何直觀圖，分析三視圖的形狀.

（2）要追求知識(shí)的邏輯化與結(jié)構(gòu)化把握. 在立體幾何線線、線面、面面三個(gè)層級(jí)的關(guān)系中，不論是垂直，還是平行，都反映出密切的內(nèi)在聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化，我們需要掌握的平行與垂直關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理，正式以邏輯語(yǔ)言的形式，表達(dá)了這種聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，零散的記憶這些定理，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如邏輯與結(jié)構(gòu)的整體把握效果好.

（3）要注重規(guī)范訓(xùn)練. 特別是對(duì)立體幾何解決問(wèn)題的常用環(huán)節(jié)“一作、二證、三求解”要做到規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn).高考中反映出這方面的問(wèn)題十分嚴(yán)重，不少考生交待不清，表達(dá)不規(guī)范、因果關(guān)系不充分，圖形中各元素關(guān)系理解錯(cuò)誤，符號(hào)語(yǔ)言不會(huì)運(yùn)用等.這都是我們平時(shí)應(yīng)該注意的.

（作者單位：北京市第十八中學(xué)）

責(zé)任編校 ? 徐國(guó)堅(jiān)