新課程背景下涉及概率的十一個交匯問題歸類分析

鄭一平

概率是現代應用數學的重要分支，是高中新課程數學新增知識之一，它既與高中相關學科知識間聯系密切，又是中數與高數的銜接點，因此成為近年高考考查的重點.高考復習中應充分利用概率知識的交匯性，充分挖掘相關學科背景下的概率問題，溝通知識間的內在聯系，培養學生綜合素質，提高應用知識綜合分析問題和解決問題的能力.下面歸納新課程知識交匯背景下的十一類概率問題并通過典型實例進行分析點評，供復習時參考.

1.概率與函數知識交匯

例1某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個景點互不影響，設ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值.（Ⅰ）求ξ的分布及數學期望；（Ⅱ）記“函數f（x）=x2-3ξx+1在區間[2，+∞）上單調遞增”為事件A，求事件A的概率.

分析與略解（Ⅰ）分別記“客人游覽甲景點”，“客人游覽乙景點”，“客人游覽丙景點”為事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互獨立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6.

客人游覽的景點數的可能取值為0，1，2，3. 相應地，客人沒有游覽的景點數的可能取值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1，3.

P（ξ=3）=P（A1·A2·A3）+P（A

1·A2·A3）= P（A1）P（A2）P（A3）+P（A1）P（A2）P（A3）=2×0.4×0.5×0.6=0.24，

P（ξ=1）=1-0.24=0.76.

所以ξ的分布列為

ξ13

P0.760.24

Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48.

（Ⅱ）解法一因為f（x）=（x-32ξ）2+1-94ξ2，所以函數f（x）=x2-3ξx+1在區間[32ξ，+∞）上單調遞增，要使f（x）在[2，+∞）上單調遞增，當且僅當32ξ≤2，即ξ≤43.

可根據情況，將其中的一個平面以某直線為轉軸旋轉適當的角度，使兩個平面重合.

例13設三棱錐V-ABC中，∠AVB =∠BVC =∠CVA=90°，求證△ABC是銳角三角形.

圖15

解析利用旋轉變換將Rt△VAB繞AB轉至平面ABC內，如圖15所示.做VD⊥AB于D，連結CD，根據三垂線定理，得CD⊥AB.

在Rt△VCD中，∵CD > VD，在CD上截取DE=DV，則△ABE≌△ABV（相當于將△AVB繞AB轉至平面ABC內得到△AEB），

∴∠AEB =∠AVB=90°.

∵E在CD線段內，∠ACB<∠AEB=90°，即∠ACB是銳角.

同理可證∠CAB、∠CBA也為銳角，∴△ABC是銳角三角形.

十一、向量

對于立體幾何中的線、面、角度，賦予向量的解釋，利用向量運算的先進技術優勢，可獲得新穎獨特，而富有創造性的妙解.

例14同例3.

解析設OA、OB、OC、OD兩兩夾角為θ，模為R，由正四面體的對稱性可知：OA+OB+OC+OD=0，因而OA·（OA+OB+OC+OD）=0，即R2+3R2cosθ=0，得cosθ=-13.

又AO+OB=AB（OB-OA）2=（AB）2OB2+OA2-2OB·OA=2R2+R2-2R2×（-13）=2R2=34S球=4πR2=3π.應選A.

（收稿日期：2014-02-12）

從而P（A）=P（ξ≤43）=P（ξ=1）=0.76.

解法二ξ的可能取值為1，3.

當ξ=1時，函數f（x）=x2-3x+1在區間[2，+∞）上單調遞增，

當ξ=3時，函數f（x）=x2-9x+1在區間[2，+∞）上不單調遞增.所以P（A）=P（ξ=1）=0.76.

評析本題可以通過建立函數關系，轉化成二次函數問題，利用二次函數求最值的方法達到求解目的.

2.概率與方程知識交匯

例2已知關于x的一元二次方程x2-2（a-2）x-b2+16=0.

（1）若a、b是一枚骰子擲兩次所得到的點數，求方程有兩正根的概率；

（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程沒有實根的概率.

分析與略解（1）基本事件（a，b）共有36個，

方程有正根等價于a-2>0，16-b2>0，Δ≥0，即a>2，-4

設“方程有兩個正根”為事件A，則事件A包含的基本事件為（6，1），（6，2），（6，3），（5，3）共4個，

故所求的概率為P（A）=436=19；

（2）試驗的全部結果構成區域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面積為S（Ω）=16.

設“方程無實根”為事件B，則構成事件B的區域為

B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a-2）2+b2<16}，

其面積為S（B）=14×π×42=4π，故所求的概率為P（B）=4π16=π4.

評析本題通過利用方程思想結合幾何概型知識進行思考，并通過計算達到解決問題目的.

3.概率與不等式知識交匯

例3設S是不等式x2-x-6≤0的解集，整數m，n∈S.（1）記使得“m+n=0成立的有序數組（m，n）”為事件A，試列舉A包含的基本事件.（2）記ξ=m2，求ξ的分布列及其數學期望E（ξ）.

分析與略解（1）由x2-x-6≤0得-2≤x≤3，即S={x|-2≤x≤3}，

由于整數m，n∈S且m+n=0，所以A包含的基本事件為（-2，2），（2，-2），（-1，1），（1，-1），（0，0）.

（2）由于m的所有不同取值為-2，-1，0，1，2，3，所以ξ=m2的所有不同取值為0，1，4，9，且有P（ξ=0）=16，P（ξ=1）=26=13，P（ξ=4）=26=13，P（ξ=9）=16，故ξ的分布列為

ξ0149

P16131316

所以E（ξ）=0×16+1×13+4×13+9×16=196.

4.概率與數列知識交匯

例4有人玩擲硬幣走跳跳棋的游戲，已知硬幣出現正反面的概率都是12.棋盤上標有第0站、第1站、第2站、…第100站. 一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次. 若擲出正面，棋子向前跳一站（從k到k+1）；若擲出反面，棋子向前跳二站（從k到k+2），直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或跳到第100站（失敗集中營）時，該游戲結束. 設棋子跳到第n站的概率為Pn.（1）求P0，P1，P2的值；（2）求證：Pn-Pn-1=-12（Pn-1-Pn-2），其中n∈N，2≤n≤99；（3）求P99及P100的值.

分析與略解（1）棋子開始在第0站為必然事件，∴P0=1，第一次擲硬幣出現正面，棋子跳到第1站，其概率為12，∴P1=12，棋子跳到第二站應從如下兩方面考慮：①第一、二次擲硬幣都出現正面，其概率為14；②第一次擲硬幣出現反面，其概率為12.∴P2=14+12=34.

（2）棋子跳到第n（2≤n≤99）站的情況有下列兩種，而且也只有兩種：①棋子先到第n-2站，又擲出反面，其概率為12Pn-2；②棋子先到第n-1站，又擲出正面，其概率為12Pn-1.∴Pn=12Pn-2+12Pn-1，∴Pn-Pn-1=-12（Pn-1-Pn-2）.

（3）由（2）知，當2≤n≤99時，數列{Pn-Pn-1}是首項為P1-P0=-12，公比為-12的等比數列. ∴P1-1=-12，P2-P1=（-12）2，P3-P2=（-12）3，…，Pn-Pn-1=（-12）n.

以上各式相加，得Pn-1=（-12）+（-12）2+…+（-12）n，

∴Pn=1+（-12）+（-12）2+…+（-12）n=23[1-（-12）n+1]，（n=0，1，2，…，99）.

∴P99=23[1-（12）100]，P100=12P98=12·23[1-（-12）99]=13[1+（12）99].

評析本題形式新穎，巧妙地把概率與數列進行交匯，解決的關鍵是把實際問題轉化為數列問題，利用數列知識解決遞推數列之間關系，從而達到問題的解決.

5.概率與向量知識交匯

圖1

例5 （2013年高考江西卷（文））小波以游戲方式決定是去打球、唱歌還是去下棋.游戲規則為以O為起點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6（如圖1）這6個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數量積為X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋.

（1）寫出數量積X的所有可能取值；

（2）分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

分析與略解（1） X的所有可能取值為-2 ，-1，0， 1.

（2）數量積為-2的只有

OA2·OA5一種.

數量積為-1的有OA1·OA5，

OA1·OA6，

OA2·OA4，

OA2·OA6，

OA3·OA4，

OA3·OA5六種，

數量積為0的有

OA1·OA3，

OA1·OA4，

OA3·OA6，

OA4·OA6四種，

數量積為1的有OA1·OA2，

OA2·OA3，

OA4·OA5，

OA5·OA6四種，

故所有可能的情況共有15種.

所以小波去下棋的概率為p1=715.

因為去唱歌的概率為p2=415，所以小波不去唱歌的概率p=1-p2=1-415=1115.

評析本題（1）關鍵是對向量知識的理解，（2）關鍵是在（1）的基礎上要注意到滿足條件的可能結果，利用分類推理獲得遞推關系.

6.概率與立幾知識交匯

圖2

例6如圖2，四棱錐P-ABCD中，PA=AB=AD=1.

（Ⅰ）請你在下面四個選項中選擇2個作為條件，使得能推出平面PCD⊥平面PAD，并證明.

①PB=PD=2； ②四邊形ABCD是正方形；

③PA⊥平面ABCD； ④平面PAB⊥平面ABCD.

（Ⅱ）在（Ⅰ）選擇的條件下，在四棱錐P-ABCD的表面

上任取一個點，求這個點在四棱錐P-ABCD側面內的概率.

分析與略解（Ⅰ）選擇①②作為條件.

證明如下：∵PA=AD=1，PD=2， ∴PD2=PA2+AD2.

∴∠PAD=90°，即PA⊥AD.同理，可證PA⊥AB， ∴PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥CD，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AD⊥CD，∴ CD⊥平面PAD.

又CD平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， PA⊥AB，PA⊥AD，

∵CD⊥平面PAD ∴CD⊥PD，同理有BC⊥PB.

S△PAB=S△PAD=12×PA×AD=12×1×1=12，S△PCB=S△PCD=12×PD×CD=12×2×1=22，SABCD=AB2=1.

∴在四棱錐P-ABCD的表面上任取一個點，這個點在四棱錐P-ABCD側面內的概率是S△PAB+S△PAD+S△PCB+S△PCDS△PAB+S△PAD+S△PCB+S△PCD+SABCD=1+22+2=22.

（注：選擇②③也是正確的，其余選擇都是錯誤的.）

點評（Ⅰ）是一道開放式判斷推理題，通過分析選擇條件并進行推理證明達到目的.（Ⅱ）則把立幾與概率相結合，考查幾何概型問題.只要分別計算出它們的面積即可求得滿足條件的概率.

7.概率與物理知識交匯

圖3

例7如圖3，在一段線路中并聯著3個自動控制的常開開關JA、JB、JC，只要其中有1個開關能夠閉合，線路就能正常工作.假定在某段時間內開關JA、JB、JC能夠閉合的概率分別是45、35、25，

計算：（1）在這段時間內恰好3個開關都閉合的概率；

（2）在這段時間內線路正常工作的概率.

分析與略解（1）P=45×35×25=24125； （2）P=1-（1-45）×（1-35）×（1-25）=119125.

評析本題關鍵要掌握物理相關知識，考慮電路通與不通的條件進行解題.

8.概率與體育比賽問題交匯

例8在世界杯排球賽中，中國女排與俄羅斯女排以“五局三勝”制進行決賽，根據以往戰況，中國女排在每一局中贏的概率為35，已知比賽中，俄羅斯女排先勝了第一局，求：（1）中國女排在這種情況下取勝的概率；（2）求本場比賽只打四局就結束的概率.（均用分數作答）

分析與略解（1）中國女排取勝的情況有兩種，第一種是中國女排連勝三局，第二種是在第2局到第4局，中國女排贏了兩局，第5局中國女排贏，∴中國女排取勝的概率為（35）3+C23·（35）2×25×35=297625.

（2）C12·（25）2×35+（35）3=51125.

評析本題涉及概率應用問題，特別是體育比賽中經常遇到類似問題，因此必須讓學生能熟練應用所學概率知識靈活解決這類問題.

9.概率與實際問題交匯

例9根據以往的經驗，某工程施工期間的降水量X（單位：mm）對工期的影響如下表：

降水量X X<300300≤X<700700≤X<900X≥900

工期延誤天數 02610

歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9. 求：

（Ⅰ）工期延誤天數Y的均值與方差；

（Ⅱ）在降水量X至少是300mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率.

分析與略解（Ⅰ）由已知條件和概率的加法公式有：P（X<300）=0.3，P（300≤X<700）=P（X<700）-P（X<300）=0.7-0.3=0.4，

P（700≤X<900）=P（X<900）-P（X<700）=0.9-0.7=0.2.

P（X≥900）=1-P（X<900）=1-0.9=0.1.

所以Y的分布列為：

Y 0 2 6 10

P 0.3 0.4 0.2 0.1

于是，E（Y）=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3；

D（Y）=（0-3）2×0.3+（2-3）2×0.4+（6-3）2×0.2+（10-3）2×0.1=9.8.

故工期延誤天數Y的均值為3，方差為9.8. （Ⅱ）由概率的加法公式，P（X≥300）=1-P（X<300）=0.7，

又P（300≤X<900）=P（X<900）-P（X<300）=0.9-0.3=0.6. 由條件概率，得P（Y≤6|X≥300）=P（X<900|X≥300）=P（300≤X<900）P（X≥300）=0.60.7=67.

故在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是67.

評析現實生活中與概率問題有關的實際問題經常會遇到，通過這些問題引導學生把所學知識應用于解決實際問題是新課程重要目的，也是教學中要特別關注的問題.

10.概率與統計交匯問題

例10我區高三期末統一測試中某校的數學成績分組統計如下表：

分組頻數頻率

（0，30]30.03

（30，60]30.03

（60，90]370.37

（90，120]mn

（120，150]150.15

合計MN

圖4

（Ⅰ）求出表中m、n、M、N的值，并根據表中所給數據在圖4給出的坐標系中畫出頻率分布直方圖；

（Ⅱ）若我區參加本次考試的學生有600人，試估計這次測試中我區成績在90分以上的人數；

（Ⅲ）若該校教師擬從分數不超過60的學生中選取2人進行個案分析，求被選中2人分數均不超過30分的概率.

分析與略解（Ⅰ）由頻率分布表得M=30.03=100 ， 所以m=100-（3+3+37+15）=42，n=42100=0.42，N=0.03+0.03+0.37+0.42+0.15=1. 概率分布直方圖如圖5所示.

圖5

（Ⅱ）由題意知，全區90分以上學生估計為42+15100×600=342人.

（Ⅲ）設考試成績在（0，30]內的3人分別為A、B、C；

考試成績在（30，60]內的3人分別為a、b、c，

從不超過60分的6人中，任意抽取2人的結果有：

（A，B），（A，C），（A ，a），（A，b），（A，c），

（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），

（C，b），（C，c），（a，b），（a，c），（b，c）共有15個.

設抽取的2人的分數均不大于30分為事件D.則事件D含有3個結果： （A，B），（A，C） ，（B，C） .

∴P（D）=315=15.

11.概率與算法圖6

例11（2013年四川高考試題）某算法的程序框圖如圖6所示，其中輸入的變量x在1，2，3，…，24這24個

整數中等可能隨機產生.

（Ⅰ）分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概

率Pi（i=1，2，3）；

（Ⅱ）甲、乙兩同學依據自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復運行n次后，統計記錄了輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻數.以下是甲、乙所作頻數統計表的部分數據.

甲的頻數統計表（部分）

運行次數n輸出y的值為1的頻數輸出y的值為2的頻數輸出y的值為3的頻數

3014610

…………

21001027376697

乙的頻數統計表（部分）

運行次數n輸出y的值為1的頻數輸出y的值為2的頻數輸出y的值為3的頻數

3012117

…………

21001051696353

當n=2100時，根據表中的數據，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻率（用分數表示），并判斷兩位同學中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大.

分析與略解（Ⅰ）變量x是在1，2，3，…，24這24個整數中等可能隨機產生的一個數，共有24種可能.

當x從1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23這12個數中產生時，輸出y的值為1，故P1=12；

當x從2，4，8，10，14，16，20，22這8個數中產生時，輸出y的值為2，故P2=13；

當x從6，12，18，24這4個數中產生時，輸出y的值為3，故P3=16.

所以輸出y的值為1的概率為12，輸出y的值為2的概率為13，輸出y的值為3的概率為16.

（Ⅱ）當n=2100時，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻率如下，

輸出y的值為1的頻率輸出y的值為2的頻率輸出y的值為3的頻率

甲1027210037621006972100

乙10512100 69621003532100

比較頻率趨勢與概率，可得乙同學所編寫程序符合算法要求的可能性較大.

總之，概率與中學知識密切相關，具有很強的交匯性，應重視概率知識的工具性，發揮其應有的功能，真正達到學習有用的數學.

（收稿日期：2014-08-12）