基于L1-L1范數的電學層析成像靜態成像算法

王超，胡鳳紅，何曉蓉，秦偉剛，白瑞峰

天津大學 電氣與自動化工程學院，天津 300072

基于L1-L1范數的電學層析成像靜態成像算法

王超，胡鳳紅，何曉蓉，秦偉剛，白瑞峰

天津大學 電氣與自動化工程學院，天津 300072

WANG Chao, HU Feng-hong, HE Xiao-rong, QIN Wei-gang, BAI Rui-feng

School of Electrical Engineering and Automation, Tianjin University, Tianjin 300072, China

電學層析成像中靜態成像算法的目標函數為電壓測量值與電壓計算值之間殘差的范數與罰函數兩項之和。目前，針對殘差項的L1范數成像算法還較少，本文使用原始-對偶內點法，實現了目標函數中殘差項和罰函數項均使用L1范數的重建算法，進行圖像重建。研究表明使用基于L1-L1范數算法進行圖像重建可獲得較好的重建圖像質量。

電學層析成像；靜態成像算法；原始-對偶內點法；L1范數；L2范數

0 引言

1 基于L1-L1范數的靜態成像算法

圖像重建過程中目標函數的選取如式（1）所示。

對偶問題（D）用式（3）表示。

交換min和max，得到式（4）。

對（4）求偏導數，并令其為0，如式（5）。

原始對偶法不是解決原始的最小化問題和對偶的最大化問題，而是通過使原始對偶間隙為0，求解互補條件的最優解，原始對偶法如式（7）所示。

當且僅當滿足條件（8）時，原始對偶間隙為0。

由于式（8）的兩個條件不是處處可微分，原始對偶法可以轉化為（9）。

由（10）～（12）得到變量更新的方程，式（13）。

對偶變量x、y是有范圍限制的，每次更新值都要在設定范圍之內，而不能確保是對偶問題的下降方向，因此傳統的線性搜索不適用于求解迭代步長，本文采用步長法則更新 x、y[9]，如式（16）所示。

2 不同算法的對比研究

本文評價系統包括評價模型和評價參數，使用EIDORS和MATLAB實現。

2.1 算法的成像結果

為驗證L1-L1算法的圖像重建成像效果，共設置3個評價模型，包括單目標、雙目標和三目標模型，其中目標物體的電導率是3 S/m，背景的電導率為1 S/m。同時與Newton-Raphson類經典算法中的TR、NOSER的成像效果進行對比研究，這兩種算法的電壓殘差項和罰函數項均采用L2范數。不同算法的成像結果見圖1。

圖1 圖像重建算法的成像結果

對于三種模型，TR、NOSER和L1-L1三種算法都可以分辨出目標的位置、大小。L1-L1算法重建目標的電導率大小接近真實分布，但是TR和NOSER算法重建目標的電導率和真實電導率分布相差較大。NOSER算法的成像結果中目標的形變較為嚴重，尤其是雙目標模型最嚴重，已經無法估計出目標的形狀。并且，TR和NOSER算法重建目標存在偽跡，L1-L1算法不存在偽跡。所有算法中，L1-L1算法重建目標的電導率和真實電導率分布相差最小的，成像目標的形變也是最小的，不存在偽跡，因此，L1-L1算法是表現最好的。

2.2 不同模型評價參數

本文選擇圖像誤差[10]、算法的運行時間作為評價圖像重建算法的評價指標，圖像誤差越接近0，圖像質量越高，算運行時間越短，算法的實時性越好。定義評價指標如下所示。

2.2.1 圖像誤差

2.2.2 算法運行時間

算法的運行時間從逆問題計算開始，到計算出重建圖像的電導率分布為止，不包括將重建圖像顯示出來的時間，單位為s。TR、NOSER和L1-L1三種算法的圖像誤差、運行時間分別如圖2所示。

圖2 不同算法的圖像誤差和運行時間

對于三種模型，三種算法的圖像誤差相差較大，從成像結果可以看出L1-L1算法成像效果最好，不存在偽跡，TR和NOSER算法存在偽跡，而且NOSER算法中雙目標模型形變嚴重。評價參數中NOSER算法的圖像誤差最大，L1-L1算法的圖像誤差最小，與成像結果相吻合。從運行時間來看，NOSER算法運行時間最短，實時性好，L1-L1算法運行時間最長，實時性較差。

3 結論

對于三種模型，L1-L1算法成像結果基本上不存在偽跡，目標邊界比較清晰，圖像效果最好。TR和NOSER算法成像結果存在偽跡，目標邊界比較模糊，但是NOSER算法運行時間較短，實時性好。因此，電壓殘差項和罰函數項均采用L1范數的算法成像不存在變形，目標邊界清晰，要優于均采用L2范數的算法，但兩項均采L2范數的算法實時性更好。

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Electrical Tomography Static Reconstruction Algorithms Based on L1-L1 Norm

The objective function of the static imaging algorithm in electrical tomography contains two terms, one is function of residual error between measurement boundary voltage and computational voltage, and the other is the penalty function.At present, the L1 norm imaging algorithm for the residual term is still less.The primal dual interior point method is used to reconstruct the image with both the residual term and penalty function using L1 norm.The research shows that the image reconstruction using the L1-L1 norm algorithm can obtain high-quality reconstructed images.

electrical tomography；static imaging algorithm；primal-dual interior point method；L1 norm；L2 norm

靜態成像算法是當前電學層析成像（Electrical Tomography，ET）技術研究的熱點[1-2]。其目標函數為電壓測量值與電壓計算值之間殘差的范數和罰函數兩項之和。Newton-Raphson類算法是靜態成像中的經典算法，其目標函數的第一項為殘差的L2范數，罰函數多數采用L2范數。如Tikhonov正則化算法（TR）、Levenberg-Marquart算法、牛頓一步迭代算法（Newton’s One Step Error Reconstructor，NOSER）和同倫Newton-Raphson算法電壓殘差項和罰函數均采用L2范數[3-6]。
L1范數應用較少的重要原因在于L1范數是不光滑的函數，不是處處可導，因此求解困難。Andersen等[7]證明原始-對偶內點法在求解L1范數方面比其他經典的方法具有獨有的優勢[8]。本文采用原始-對偶內點法，實現了殘差項和罰函數項均采用L1范數的圖像重建。

TM934.7

A

10.3969/j.issn.1674-1633.2015.07.005

1674-1633（2015）07-0016-03

2015-06-28

作者郵箱：wangchao@tju.edu.cn