車床主軸低頻角擺動時的圓度誤差分析

李亞博 逄 絳

(①江西理工大學機電工程學院，江西 贛州 341000;②紐約城市學院格魯夫工程院，美國 紐約 10031)

在機械加工中，機床主軸的運動精度是影響被加工工件精度的一個重要的因素。機床主軸的運動誤差包括徑向跳動、軸向竄動和角度擺動。根據已有文獻，分析角度擺動時的加工誤差均是以主軸擺動頻率和主軸旋轉頻率相等為前提計算得出的，而實際生產中主軸擺動頻率往往與主軸旋轉頻率不一致。主軸擺動的頻率較高時會涉及多種其他形位誤差，擺動頻率較低時只涉及圓度誤差。故本文將著重討論較低擺動頻率下的加工誤差的數學與幾何問題，并計算和分析不同加工情況下被加工工件的圓度誤差。

1 等頻下的數學分析及幾何仿真

1.1 主軸角擺動的數學表達式

建立絕對坐標系XYZO，其中OZ軸為主軸的理想軸心線。再建立主軸的動坐標系X'Y'Z'O，其中 OZ'軸為瞬時軸心線。如圖1所示。

主軸以角速度ω自身旋轉的同時，其軸心線在XOY平面內做等頻率的角擺動，擺動的規律為

式中:θ0為角擺動時主軸軸線擺動幅值;α為主軸自身轉角，α =ωt。

1.2 車削時工件橫截面的參數方程

由于主軸自身旋轉和平面內角擺動同時存在，故可依據矩陣變換求得動坐標系與絕對坐標系間的關系式。將主軸自身旋轉視為坐標系繞OZ軸轉動，將主軸軸線在XOY面內角擺動視為繞OZ軸轉動。兩次旋轉后，可得:

由于車削時工件幾何形狀是由刀具在動坐標系中的相對軌跡決定的，故

車削加工時，刀具在絕對坐標系的坐標位置Z=L，X=R，Y=0，其中L為刀具在導軌方向上的位置，加工時隨走刀而變化;R為工件的加工半徑。

所以將刀具位置參數和式(1)代入式(2)中可得刀具在動坐標系中的軌跡參數方程為

由式(3)得工件橫截面幾何形狀的瞬時曲率半徑為

1.3 等頻下的軌跡分析

由MATLAB在極坐標中繪制上述方程，假定R=1，L=1，θ0=0.1，主軸旋轉一周時如圖2所示。分析可得，當擺動頻率等于轉動頻率時，工件旋轉一周后截面輪廓近似為圓。

2 變頻下的數學分析及幾何圖形

2.1 變頻下的軌跡參數方程

由式(1)可知，當角擺動頻率=主軸自身旋轉頻率時，r=R －Lθ0cosα;

經計算可知:

當擺頻 =2轉頻時，r=R －Lθ0cos(2α);

當擺頻 =3轉頻時，r=R －Lθ0cos(3α);

以此類推:

當擺頻 =n轉頻時，r=R －Lθ0cos(nα)。

2.2 不同擺動頻率下的軌跡及誤差分析

由于本文分析主軸低頻角擺動時的情況，故n取小于1的值。由MATLAB繪制上述方程，假定R=1，L=1，θ0=0.1，n=0.6，則主軸旋轉一周后如圖3所示。

由圖3可知，當擺頻f＜轉頻f0時工件旋轉一周的軌跡為一條不封閉但曲率半徑有規律變化的曲線。

若使工件旋轉m周(m為整數)至其封閉，則其內包絡線就是被加工工件的外輪廓，如圖4所示。

提取出內包絡線，即實際加工時工件的外輪廓，如圖5所示。

3 圓度誤差分析

根據中華人民共和國國家標準GB/T7235－2004《產品幾何量技術規范(GPS)評定圓度誤差的方法半徑變化量測量》中規定圓度誤差的評定方法有4種:最小區域法、最小二乘圓法、最小外接圓法和最大內接圓法。一般而言用最小區域法計算圓度誤差是最小的，理論上是唯一的。故本文用最小區域法計算圖2的圓度誤差。

根據最小區域法的算法計算內包絡線上的數據，得到圓度誤差值。

3.1 不同頻率下的圓度誤差

令n在(0，1］之間取若干值，分析并計算其圓度誤差，得出表1。

表1 不同倍頻下的圓度誤差匯總

其中，倍頻n反映了擺動頻率的大小。由表1知當擺動頻率低時，可發現其圓度誤差很小，可忽略不計。這時工件外輪廓等同于半徑為(R－θ0)的圓。

3.2 最大圓度誤差分析

由表1中也看出當n=0.5即擺動頻率為轉動頻率的一半時，其圓度誤差值最大。故實際生產中應盡量避免此種情況下的擺動頻率。為了生產與研究需要，現分析此種擺動頻率下圓度誤差分別與加工半徑、擺動幅值和軸向位移的關系。

3.2.1 圓度誤差與半徑的關系

如前述假定，擺動幅值θ0=0.1，倍頻n=0.5時，不同的工件半徑會造成不同的圓度誤差，經計算后其變化規律如圖6所示。

由圖6分析可知，當擺動頻率和擺動幅值不變時，工件某一截面上的圓度誤差隨加工半徑的增大而增大。但當半徑足夠大時，圓度誤差的變化率很小。

3.2.2 圓度誤差與擺動幅值的關系

假定倍頻n為0.5，以半徑R=40mm為例，不同的擺動幅值θ0會造成不同的圓度誤差。經計算其變化規律如圖7所示。

由圖7分析可知，當擺動頻率和加工半徑一定時，工件某一截面上的圓度誤差隨擺動幅值的增大而增大，且近似線性關系。

3.2.3 圓度誤差與軸向位移的關系

假定倍頻n為0.5，加工半徑R=40mm，擺動幅值為0.05，則不同的軸向走刀位移L會造成不同的圓度誤差。經計算其變化規律如圖8所示。

由圖8分析可知，當擺動頻率、加工半徑和擺動幅值均固定時，工件各個截面上的圓度誤差隨擺動走刀距離的增大而增大，且近似線性關系。

4 結語

分析機床主軸平面內角擺動引起的圓度誤差對于精密機械的研究和制造具有重要的參考意義。通過對以上分析可知，機床主軸在純角度擺動時的加工精度是與頻率相關的。不同擺動頻率下，工件加工出的橫截面外形不同，其圓度誤差也不同。

當主軸的擺動頻率遠小于轉動頻率時，即認為擺動頻率較小時，其圓度誤差很小，故可近似為圓，但此時工件有幾何偏差。當擺頻為轉動頻率的一半時，此時工件的圓度誤差最大，且遠大于其他頻率下的圓度誤差值，故實際生產加工過程中應盡量避免。在機床設計和車削工件時，應優先考慮此頻率下主軸角擺動引起的誤差。

圓度誤差不僅與擺動頻率有關，也與工件半徑、擺動幅值、橫向走刀位移有關。具體地，圓度誤差值隨加工半徑或擺動幅值或軸向位移的增大而增大。故實際生產加工過程中應充分考慮上述因素，合理設計制造，以避免較大的加工誤差。

［1］王先逵.機械制造工藝學［M］.北京:機械工業出版社，2013.

［2］張德豐 .MATLAB數字圖像處理［M］.北京:機械工業出版社，2009.

［3］閻樹田，陳惠賢.機械加工中主軸運動影響的數學分析［J］.機械設計與制造，1999(2):40－42.

［4］葛磊，鄒鯤.基于MATLAB的圓度誤差分析［J］.機床與液壓，2011(22):99－101.