由一道高考錯(cuò)題引發(fā)的思考

摘 要：數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)具有應(yīng)用性、靈活性、抽象性、準(zhǔn)確性。說到準(zhǔn)確性，要求學(xué)生計(jì)算過程要準(zhǔn)確，計(jì)算結(jié)果要經(jīng)得住檢驗(yàn)。2013年全國高考數(shù)學(xué)理科試題（浙江卷）第15題，由于出題者和審題人的疏忽，導(dǎo)致出現(xiàn)了一個(gè)錯(cuò)題。究其原因可能是因?yàn)榇祟}是一道填空題，出題人在編制題目時(shí)并沒有對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，從而導(dǎo)致在影響如此重大的考試中出現(xiàn)錯(cuò)題，值得數(shù)學(xué)老師認(rèn)真反思。

關(guān)鍵詞：準(zhǔn)確性；檢驗(yàn)；高考錯(cuò)題

下面就題目本身以及可能出現(xiàn)的問題加以說明。

設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)P（-1，0）的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，若FQ=2，則直線的斜率等于 .

給出的參考答案是k=±1，大致的解法有兩種：

解法一：（點(diǎn)差法）

設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），由于點(diǎn)A，B都在拋物線上，故滿足y12=4x1y22=4x2，兩式相減得到（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2），所以y0= ，又點(diǎn)Q在直線l上，故可得x0= ，根據(jù)FQ= =2，解出k=±1.

解法二：（聯(lián)立方程，代入法）

設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），聯(lián)立方程y=k（x+1）y2=4x，消去y得k2x2+（2k2-4）x+k2=0，由韋達(dá)定理可得，x1+x2= ，于是x0= ，代入y=k（x+1），得到y(tǒng)0= ，根據(jù)FQ= =2，解出k=±1.

以上兩種解法見于對浙江高考題的各種解讀資料，初看沒有任何問題，兩種解法得到的結(jié)果都一樣，但我們忽略了一個(gè)重要環(huán)節(jié)——檢驗(yàn)。不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)k=1時(shí)，此時(shí)直線的方程為y=x+1，與拋物線聯(lián)立消y后得到x2-2x+1=0，即x=1，也就是說直線與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，即直線l與拋物線C相切，當(dāng)k=-1時(shí)同理。這與題中所述直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)A，B顯然矛盾。綜上所述，題目本身在設(shè)置上出現(xiàn)了重大錯(cuò)誤。

同樣的問題出現(xiàn)在了人教A版選修2-1習(xí)題2.3的B組第4題中，該題是這樣敘述的：已知雙曲線x2- =1，過點(diǎn)P（1，1）能否做一條直線l，與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)？其中王后雄學(xué)案教材完全解讀中給出的解法是：設(shè)直線l的方程為y-1=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），x12- =1x22- =1，兩式相減得

（x1+x2）（x1-x2）= ，又中點(diǎn)P（1，1），所以得k=2，故存在直線l∶y=2x-1使得題目中的條件成立。

但我們在汲取了浙江高考題的失誤教訓(xùn)后，會發(fā)現(xiàn)將所得直線代入雙曲線方程，消y后可得2x2-4x+3=0，該二次方程的判別式？駐<0，也就是說直線與雙曲線無交點(diǎn)，故不存在這樣的直線使得題目中的條件成立。

通過以上兩題，筆者認(rèn)為不論我們在編制題目還是在解類似問題時(shí)，結(jié)果的檢驗(yàn)很關(guān)鍵，應(yīng)努力做到準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)，盡信書不如無書。

作者簡介：李林，男，碩士研究生，新疆阜康市第一中學(xué)，計(jì)算數(shù)學(xué)。

編輯 楊兆東endprint