橋梁結(jié)構(gòu)工作模態(tài)分析的不確定度量化

秦世強(qiáng)，勾紅葉，賈宏宇，蒲黔輝

(1.武漢理工大學(xué) 道路橋梁與結(jié)構(gòu)工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 400370;2.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都 610031;3.西南交通大學(xué) 土木工程系，四川 峨眉，614202)

模態(tài)參數(shù)是最基本的結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)，利用模態(tài)參數(shù)可以進(jìn)行結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析、載荷識(shí)別、有限元模型修正、損傷識(shí)別和結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)評(píng)估，因此模態(tài)參數(shù)識(shí)別是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中一個(gè)重要議題。近年來(lái)，以環(huán)境激勵(lì)試驗(yàn)為基礎(chǔ)的大型土木工程結(jié)構(gòu)工作模態(tài)分析得到了廣泛的研究，形成了一系列研究成果［1－6］。目前，工作模態(tài)分析可以分為頻域法、時(shí)域法和時(shí)頻分析法三大類［7－8］。隨機(jī)子空間識(shí)別是一種典型的時(shí)域模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，識(shí)別過(guò)程中引入了奇異值分解、卡爾曼濾波等數(shù)學(xué)工具，理論體系完備，適于計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)。關(guān)于隨機(jī)子空間識(shí)別在土木工程結(jié)構(gòu)模態(tài)分析中應(yīng)用已經(jīng)有許多成果，如西寧北川河橋［9］、Z24 橋［10］、虎門大橋［11］、Humber橋［12］等。然而，關(guān)于隨機(jī)子空間識(shí)別的模態(tài)參數(shù)的可信程度卻沒(méi)有一個(gè)系統(tǒng)的評(píng)價(jià)方法;大型土木結(jié)構(gòu)環(huán)境振動(dòng)試驗(yàn)通常為設(shè)置多個(gè)測(cè)試組，每個(gè)測(cè)試組測(cè)試過(guò)程中的環(huán)境激勵(lì)水平不同，因此由每個(gè)測(cè)試組數(shù)據(jù)識(shí)別的結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)大小不盡相同，如何評(píng)價(jià)每個(gè)測(cè)試組識(shí)別的模態(tài)參數(shù)的可信程度以及如何由多個(gè)測(cè)試組的數(shù)據(jù)確定最終的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，是目前需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一。國(guó)內(nèi)外的學(xué)者已經(jīng)意識(shí)到該問(wèn)題的重要性并展開(kāi)了相關(guān)研究，文獻(xiàn)［13］利用誤差預(yù)測(cè)法對(duì)滑動(dòng)平均自回歸(ARMA)識(shí)別的模態(tài)參數(shù)不確定度進(jìn)行了估計(jì);文獻(xiàn)［14］對(duì)識(shí)別的模態(tài)參數(shù)的上下限范圍進(jìn)行了估計(jì)，并通過(guò)蒙特卡洛數(shù)值模擬進(jìn)行了驗(yàn)證;文獻(xiàn)［15－16］則通過(guò)系統(tǒng)矩陣一階擾動(dòng)分析方法量化了SSI-cov方法識(shí)別的模態(tài)參數(shù)不確定度，并給出了具體的公式推導(dǎo)過(guò)程;文獻(xiàn)［17］對(duì)目前幾種估計(jì)模態(tài)參數(shù)不確定度的方法進(jìn)行了總結(jié)，并指出了存在的問(wèn)題。從這些文獻(xiàn)的參考文獻(xiàn)中也可以看出量化試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)不確定度的重要性。

橋梁工程環(huán)境振動(dòng)測(cè)試通常需要分多個(gè)測(cè)試組完成，目前對(duì)試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)的不確定度估計(jì)大多集中在各種算法對(duì)單個(gè)測(cè)試組識(shí)別的模態(tài)參數(shù)不確定估計(jì)上，而沒(méi)有統(tǒng)籌考慮多個(gè)測(cè)試組的整體評(píng)價(jià)。為此，本文首先以多個(gè)測(cè)試組識(shí)別的模態(tài)參數(shù)為樣本，構(gòu)造模態(tài)參數(shù)的整體置信區(qū)間;其次，引入基于系統(tǒng)矩陣敏感性分析的單個(gè)測(cè)試組不確定量化方法，并形成帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)多測(cè)試組的橋梁工作模態(tài)分析可信程度由整體到局部的立體評(píng)價(jià)。以菜園壩長(zhǎng)江大橋拱肋測(cè)試結(jié)果為例，驗(yàn)證了本文所提方法的實(shí)用性。

1 隨機(jī)子空間識(shí)別

隨機(jī)子空間識(shí)別(SSI)是一種時(shí)域模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，假定外部激勵(lì)為白噪聲，測(cè)試得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)，利用隨機(jī)狀態(tài)空間模型求解結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。結(jié)構(gòu)隨機(jī)狀態(tài)空間模型［17］可以表示為:式中:xk和yk分別為離散狀態(tài)向量和輸出向量，下標(biāo)k為離散時(shí)間點(diǎn)，取為正整數(shù);A、C分別為為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣和輸出矩陣;wk、vk分別表示環(huán)境激勵(lì)與模型誤差、傳感器誤差之和，假定為互不相關(guān)且均值為零的白噪聲。SSI的主要目標(biāo)就是求解系統(tǒng)矩陣A和C，在求得系統(tǒng)矩陣后，求解結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解特征值問(wèn)題。目前求解系統(tǒng)矩陣有兩種方法［19］，一種直接從時(shí)域響應(yīng)數(shù)據(jù)出發(fā)，另一種從時(shí)域響應(yīng)數(shù)據(jù)的協(xié)方差出發(fā)，分別對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的SSI(SSI-data)和協(xié)方差驅(qū)動(dòng)的SSI(SSI-cov)。由于SSI已經(jīng)比較成熟，這里僅以SSI-cov為例簡(jiǎn)要說(shuō)明其模態(tài)參數(shù)識(shí)別的流程。首先利用測(cè)試得到的響應(yīng)計(jì)算輸出協(xié)方差矩陣Λi:

式中:E表示數(shù)學(xué)期望;利用輸出協(xié)方差構(gòu)建Toeplitz矩陣T1|i，并對(duì)其進(jìn)行如下分解:

上述分解只是對(duì)T1|i分解方式的一種，再對(duì)其進(jìn)行奇異值分解，并對(duì)比式(3)，即可求解出狀態(tài)矩陣A和輸出矩陣C;通過(guò)對(duì)狀態(tài)矩陣A進(jìn)行特征值分解得到:

模態(tài)頻率fk、阻尼比ξk以及振型φk分別為:

2 總體置信區(qū)間

由于傳感器數(shù)量有限，土木結(jié)構(gòu)環(huán)境振動(dòng)試驗(yàn)通常分為多個(gè)測(cè)試組實(shí)現(xiàn);每個(gè)測(cè)試組包含參考點(diǎn)和移動(dòng)點(diǎn)，參考點(diǎn)連續(xù)測(cè)試，而移動(dòng)點(diǎn)僅在相應(yīng)的測(cè)試組進(jìn)行測(cè)試。因此，會(huì)產(chǎn)生多個(gè)測(cè)試組數(shù)據(jù);在進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別時(shí)，利用SSI-cov可以分析每個(gè)測(cè)試組的數(shù)據(jù)，進(jìn)而得到多組模態(tài)頻率和阻尼比。為了衡量多個(gè)測(cè)試組識(shí)別的模態(tài)參數(shù)的整體大小和離散程度，引入數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差。假設(shè)總計(jì)有m個(gè)測(cè)試組，由m個(gè)測(cè)試組識(shí)別的模態(tài)參數(shù)構(gòu)成總體樣本，結(jié)構(gòu)第r階固有頻率fr、阻尼比 ξr的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差分別為 E(fr)和σ(fr)、E(ξr)和 σ(ξr);該階頻率和阻尼比在 95%保證率下的總體置信區(qū)間分別為(E(fr)±2σ(fr))和(E(ξr)±2σ(ξr));如果置信區(qū)間越大，則表明由多個(gè)測(cè)試組數(shù)據(jù)確定的模態(tài)參數(shù)不確定度越高;反之，置信區(qū)間越小，表明識(shí)別的模態(tài)參數(shù)越精確。對(duì)于未落入置信區(qū)間的模態(tài)參數(shù)，可以認(rèn)為其不可信。具體分析造成其不可信的原因包括:該階模態(tài)在環(huán)境荷載下未被激勵(lì)起、傳感器誤差等。

由于環(huán)境荷載的隨機(jī)性，各測(cè)試組下橋梁結(jié)構(gòu)被激勵(lì)程度難以做到完全相同，但是可以近似假定各組數(shù)據(jù)識(shí)別的模態(tài)參數(shù)滿足正態(tài)分布，即由多個(gè)測(cè)試組的識(shí)別的第r階固有頻率和阻尼比應(yīng)滿足正態(tài)分布，每個(gè)樣本構(gòu)成的經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)(Empirical CDF)和正態(tài)分布的累積分布函數(shù)(Normal CDF)之間應(yīng)良好的吻合，即有:

式中:Fm(f)表示 Empirical CDF，而 F(f;E(fr)，σ(fr))表示Normal CDF;NUM表示括號(hào)內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù);“～”表示相似。

3 基于敏感性分析的不確定度估計(jì)

在利用SSI-cov識(shí)別系統(tǒng)矩陣A、C過(guò)程中，由于一些因素影響，導(dǎo)致系統(tǒng)矩陣的真實(shí)值難以識(shí)別，識(shí)別只是真實(shí)值的估計(jì)A^、C^。這些影響因素包括:① 假定環(huán)境激勵(lì)為白噪聲所帶來(lái)的誤差;② 對(duì)實(shí)際上是連續(xù)狀態(tài)的結(jié)構(gòu)離散化成隨機(jī)狀態(tài)模型所造成的誤差;③ 求解過(guò)程的計(jì)算誤差;④ 對(duì)時(shí)域系統(tǒng)階次的過(guò)高或者過(guò)低的估計(jì)。進(jìn)一步通過(guò)輸出協(xié)方差的表達(dá)式來(lái)說(shuō)明系統(tǒng)矩陣難以真實(shí)估計(jì)，式(2)給出的輸出協(xié)方差Λi的表達(dá)式，將其寫作求和形式為:

式中，N為采樣數(shù);式(7)說(shuō)明只有在采樣數(shù)逼近無(wú)窮大時(shí)，輸出協(xié)方差才能無(wú)限接近其真實(shí)值;然而，在實(shí)際工程測(cè)試過(guò)程中，采樣數(shù)不可能為無(wú)窮大，只有用一個(gè)相對(duì)較大的值來(lái)求解輸出協(xié)方差的估計(jì)值

由SSI-cov的理論可知，系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A和輸出矩陣C可以表示為可觀矩陣Oi的表達(dá)式，因此要求解系統(tǒng)矩陣的不確定度，首先要求可觀矩陣Oi受外界擾動(dòng)后的不確定度。可觀矩陣的一階擾動(dòng)ΔOi可表示為:

式中:U、S分別為Toeplitz矩陣奇異值分解后的正交矩陣和對(duì)角矩陣;ΔU、ΔS分別表示受外界誤差影響后的正交矩陣和對(duì)角矩陣的一階擾動(dòng)。此時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何估計(jì)ΔU和ΔS。需要指出的是，這里忽略了可觀矩陣二階及其以上的高階擾動(dòng)。狀態(tài)矩陣A的一階擾動(dòng)可以表達(dá)為:

文獻(xiàn)［15］在分析系統(tǒng)矩陣對(duì)可觀矩陣一階擾動(dòng)的敏感性基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了系統(tǒng)矩陣的一階擾動(dòng)，并分析出因外界擾動(dòng)引起的試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)的方差。由于整個(gè)分析過(guò)程考慮了模型誤差及測(cè)試誤差，且識(shí)別時(shí)所用的是單個(gè)測(cè)試組的時(shí)域響應(yīng)數(shù)據(jù);因此分析得到的模態(tài)參數(shù)的方差能夠表征單個(gè)測(cè)試組數(shù)據(jù)識(shí)別的模態(tài)參數(shù)的不確定度。

4 工程實(shí)例

以菜園壩長(zhǎng)江大橋拱肋環(huán)境振動(dòng)測(cè)試為例，來(lái)說(shuō)明衡量SSI-cov識(shí)別的模態(tài)參數(shù)的不確定度的方法。菜園壩長(zhǎng)江大橋(圖1)為公軌兩用橋，主橋?yàn)殇撹炝骸撓湎禇U拱組合結(jié)構(gòu);主跨為420 m的提籃拱。拱肋的環(huán)境振動(dòng)測(cè)試為全橋靜動(dòng)力荷載試驗(yàn)的一部分。下游側(cè)拱肋的環(huán)境振動(dòng)試驗(yàn)測(cè)點(diǎn)布置如圖2所示，共布置19個(gè)測(cè)點(diǎn)，均位于吊桿頂部;其中，測(cè)點(diǎn)15為參考點(diǎn)，連續(xù)測(cè)試。每個(gè)測(cè)試組由一個(gè)移動(dòng)點(diǎn)和參考點(diǎn)組成，測(cè)試橋梁在環(huán)境隨機(jī)荷載作用下的加速度響應(yīng)，總計(jì)19個(gè)測(cè)試組。信號(hào)采集由INTCH動(dòng)態(tài)信號(hào)采集儀完成，采樣頻率為20 Hz，采樣時(shí)間為3～5 min不等。

圖1 菜園壩長(zhǎng)江大橋Fig.1 Caiyuanba yangtze river bridge

圖2 下游側(cè)拱肋測(cè)點(diǎn)布置Fig.2 Configuration of measuring points on the downstream arch rib

利用每個(gè)測(cè)試組的加速度響應(yīng)的協(xié)方差構(gòu)建Toeplitz矩陣，并利用SSI-cov識(shí)別其模態(tài)參數(shù)。圖3為利用測(cè)試組15數(shù)據(jù)所得到的穩(wěn)定圖。需要指出的是，由于參考點(diǎn)進(jìn)行連續(xù)測(cè)試，采樣數(shù)較大，從式(7)可以看出，當(dāng)采樣數(shù)逼近無(wú)窮時(shí)，輸出協(xié)方差逼近其真實(shí)值，因此由參考點(diǎn)構(gòu)建的輸出協(xié)方差更為精確，識(shí)別的穩(wěn)定圖也更為清晰，離散點(diǎn)較少。對(duì)每個(gè)測(cè)試組得到的穩(wěn)定圖拾取穩(wěn)定軸，獲取拱肋的模態(tài)參數(shù)，并按照文中介紹的方法計(jì)算19個(gè)測(cè)試組識(shí)別的頻率和阻尼比的數(shù)學(xué)期望及標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果如表1所示;限于測(cè)試時(shí)間較短，并未識(shí)別出振型，因此論文以量化頻率和阻尼比的不確定度來(lái)進(jìn)行問(wèn)題的說(shuō)明。從表中可以看到，拱肋前8階固有頻率的標(biāo)準(zhǔn)差較小，表明由19個(gè)測(cè)試組識(shí)別出的頻率整體上較穩(wěn)定，精確度較高;而阻尼比的標(biāo)準(zhǔn)差較大，表明阻尼比的不確定度高，反映了目前對(duì)結(jié)構(gòu)阻尼比計(jì)算假設(shè)仍需改進(jìn)。以19個(gè)測(cè)試組識(shí)別得到的第三階固有頻率作為樣本，利用這19個(gè)樣本分別構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)和正態(tài)累積分布函數(shù)，如圖4所示;從圖中可以看到，Empirical CDF和Normal CDF之間吻合良好，表明由19個(gè)測(cè)試組得到的第三階固有頻率基本符合正態(tài)分布，這也反映了各組測(cè)試組在環(huán)境隨機(jī)荷載下的拱肋的被激勵(lì)程度相當(dāng)。

圖3 測(cè)試組15的穩(wěn)定圖Fig.3 Stabilization diagram of setup 15

圖4 第三階固有頻率的累積分布函數(shù)Fig.4 Cumulative distribution function of the 3rd natural frequency

表1 拱肋的前8階模態(tài)參數(shù)的數(shù)學(xué)期望及標(biāo)準(zhǔn)差Tab.1 Expectation and standard deviation of first 8 modal parameters of the arch

圖5 測(cè)試組15帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖Fig.5 Stabilization diagram with confidence intervals of setup 15

為了衡量單個(gè)測(cè)試組識(shí)別的模態(tài)參數(shù)的不確定度，利用文中介紹的基于可觀矩陣的敏感性分析計(jì)算識(shí)別的模態(tài)參數(shù)的方差;仍以測(cè)試組15為例，將計(jì)算出的頻率的方差繪制在穩(wěn)定圖上，構(gòu)造如圖5所示的帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖。限于量化單個(gè)測(cè)試組識(shí)別的頻率的不確定度的計(jì)算量較大的原因，這里的穩(wěn)定圖系統(tǒng)階次上限取為40。這也導(dǎo)致與圖3比較，穩(wěn)定軸略有差異。但不影響量化單個(gè)測(cè)試組識(shí)別的頻率不確定度作用說(shuō)明。從圖5可以得出:① 用誤差圖表示的置信區(qū)間直觀的顯示了各穩(wěn)定點(diǎn)的可信程度，在穩(wěn)定軸清晰的穩(wěn)定點(diǎn)上，置信區(qū)間較小，可信程度高;在離散穩(wěn)定點(diǎn)處，置信區(qū)間較大，可信程度低;② 量化的單個(gè)測(cè)試組的不確定度可以用作剔除穩(wěn)定圖虛假模態(tài)的一個(gè)指標(biāo)，即設(shè)定不確定度的大小，以刪除不可信的離散穩(wěn)定點(diǎn)，提高人工拾取穩(wěn)定軸的效率。

5 結(jié)論

通過(guò)構(gòu)建試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)整體置信區(qū)間以及量化單個(gè)測(cè)試組識(shí)別的模態(tài)參數(shù)不確定度，形成了對(duì)多測(cè)試組試驗(yàn)識(shí)別的模態(tài)參數(shù)可信程度從整體到局部的評(píng)價(jià);并將不確定度量化的結(jié)果用于穩(wěn)定圖中，構(gòu)造了帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖，有效地協(xié)助人工拾取結(jié)構(gòu)真實(shí)模態(tài);進(jìn)一步利用菜園壩橋拱肋試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了論文的研究;可以得到如下結(jié)論:

(1)多個(gè)測(cè)試組數(shù)據(jù)識(shí)別的頻率和阻尼比的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差能夠反映其整體大小和離散程度;構(gòu)建95%保證率下的總體置信區(qū)間能夠反映識(shí)別的模態(tài)參數(shù)整體上的不確定度:即置信區(qū)間越小，不確定度越低，模態(tài)參數(shù)越精確;

(2)利用基于可觀矩陣敏感性分析計(jì)算得到模態(tài)參數(shù)的方差，能夠反映單個(gè)測(cè)試組數(shù)據(jù)識(shí)別的模態(tài)參數(shù)的不確定度:標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明識(shí)別的模態(tài)參數(shù)不確定度越低，可信程度高;

(3)構(gòu)造的帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖有助于剔除虛假模態(tài)，協(xié)助人工拾取結(jié)構(gòu)真實(shí)模態(tài)。

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