高精度慣性平臺十六位置自標定方案

孟衛鋒，袁愛紅，賈天龍，江一夫

（1. 航天時代電子公司第16研究所，西安 710100；2. 解放軍邊防學院司令部工作教研室，西安 710108）

高精度慣性平臺十六位置自標定方案

孟衛鋒1，袁愛紅1，賈天龍2，江一夫1

（1. 航天時代電子公司第16研究所，西安 710100；2. 解放軍邊防學院司令部工作教研室，西安 710108）

針對慣性平臺系統多位置自標定的誤差系數個數還較少的現狀，提出了一種平臺十六位置自標定方案。通過對慣性平臺系統慣性器件輸出誤差模型和慣性器件安裝誤差的詳細分析，推導出了包含51項誤差參數的平臺系統誤差模型。結合方程組有最小二乘解的理論，提出了適合平臺多位置自標定系統的可觀測性分析方法，并以此為指導，提出了平臺多位置自標定系統的優化指標。根據此指標，結合平臺信息矩陣的特點，得到了一種最優位置組合的數值搜索算法，并得到十六位置自標定方案。仿真結果顯示，此十六位置自標定方案可以較高精度的估計出平臺系統的全部51項誤差參數。研究結果表明，用盡可能少的位置來高精度的辨識出盡可能多的平臺誤差參數是可實現的。

慣性平臺；自標定；最小二乘；最優位置

制導工具誤差和方法誤差是影響導彈命中精度的主要因素，前者占主要成份。而慣性儀表的精度在很大程度上決定了慣性平臺系統的使用精度，因此在使用時必須進行補償。對于高精度慣性平臺，對誤差進行標定并進行補償就顯得更為重要[1]。目前，對慣性平臺系統誤差模型的研究多數停留在對陀螺儀和加速度計誤差系數的模型上，而對加速度計和陀螺儀的安裝誤差考慮的較少，而這些安裝誤差如果得不到補償，將會對慣性平臺系統的精度產生較大影響[2]。文獻[3]討論了一種可以標定54項誤差系數的多位置自標定方法，但未涉及加速度計和陀螺儀的安裝誤差。文獻[2][4-8]雖然給出了陀螺儀和加速度計安裝誤差的標定方案，但未能標定陀螺儀全部的二次項誤差系數和加速度計的二次誤差系數，也就是標定的誤差系數不夠多。同時，位置的選擇是慣性平臺多位置自標定的決定性因素，因為位置組合的選擇影響誤差系數標定的個數和精度[2]。然而位置組合的選擇又是一個很困難的非線性優化問題，研究位置選擇的還比較少，甚至是回避此問題，位置選擇主要依靠工程經驗[2]。論文[2]雖然給出了一種最優多位置組合的實驗方法，分析了位置選擇對自標定精度的影響，但這種最優只是在選用的指標是使信息矩陣的行列式達到最大時才有效；對于最小二乘估計，選擇條件數最小作為優化指標更為合理。

本文首先從慣性平臺的結構出發，推導出完整的慣性平臺系統誤差模型。在此基礎上分析了系統觀測矩陣和信息矩陣的特征，通過使觀測矩陣的條件數最小這一優化指標得出最佳位置組合選擇算法，并在此算法基礎上得出基于本論文誤差模型的最佳16位置。將此16位置應用到平臺系統自標定中，并對仿真結果做簡要分析。

1 慣性平臺結構與平臺誤差模型

本文研究的慣性平臺由三個單自由度液浮陀螺儀、三個撓性擺性加速度計組成。三個陀螺和三個加速度計的敏感軸正交安裝，分別沿X、Y、Z方向。陀螺儀、加速度計在平臺上的安裝示意圖如圖1。

圖1 平臺組成圖Fig.1 Platform geometry

設陀螺儀i軸繞其o、s軸的安裝誤差為Δoi、Δsi，加速度計i軸繞其p、o軸的安裝誤差為θpi、θoi，i=x,y,z。

陀螺儀靜態誤差模型[10]：

式中：kg0是陀螺儀常值漂移，kg1i(i=1,2,3)是陀螺儀一次項誤差系數，kg2i(i=1,2,3,4)是陀螺儀二次項誤差系數；ai、ao和as分別表示陀螺儀輸入軸、輸出軸和自旋軸上的比力。

加速度計輸出誤差[10]：

式中：ka0是加速度計零偏，ka11是加速度計比例誤差系數，ka2i(i=1,2,3)是陀螺儀二次項誤差系數；ai、ao和ap分別表示陀螺儀輸入軸、輸出軸和自擺軸上的比力。

設陀螺儀 i 軸繞其o、s 軸的安裝誤差為Δoi、Δsi，加速度計 i 軸繞其p、o 軸的安裝誤差為θpi、θoi，i=x,y,z。假定這六個安裝誤差均為小角度。陀螺儀和加速度計的安裝誤差分別如圖2和圖3所示。

圖2 陀螺儀安裝誤差Fig.2 Gyro-platform geometry

結合圖1和圖2可得，平臺坐標系p到X、Y、Z陀螺儀坐標系的變換矩陣為：

同理，平臺坐標系p到X、Y、Z加速度計坐標系的變換矩陣為：

如果在翻滾實驗中先繞臺體軸旋轉，再繞外環軸轉，轉動角度分別是α和γ，則地理坐標系n到平臺坐標系p的轉換矩陣為（假設地理坐標系n為東北天坐標系）：

考慮上文定義的安裝誤差后，將式(3)～ (5)代入式(1)和(2)，得陀螺儀和加速度計的誤差模型分別為：

式中：g0為當地重力加速度，本文取值為9.794 m/s2；λ0為當地緯度，本文取值為34°10′36.1′，ωie為地球自轉角速度，本文取值為7.292×10-5rad/s。上述誤差模型中一共有51個待估參數，其中，陀螺儀儀誤差系數共8×3=24個，加速度計誤差系數5×3=15個，陀螺儀安裝誤差2×3=6個，加速度計安裝誤差2×3=6個。由于待估參數較多，需要更多的位置才有可能得到較高的估計精度，而同時希望標定時間越短越好。綜合考慮這兩方面因素，作者選用十六位置自標定方案。在下一小節將深入探討如何選擇最優的十六位置組合。

2 最優位置選擇

在多位置標定中，位置的選擇決定了估計誤差系數的個數以及估計精度，因此選擇多少位置以及選擇什么樣的位置組合是非常重要的一點。工程經驗位置組合無法標定加速度計的二次項誤差系數。研究位置選擇實際上是研究系統的可觀測性和可觀測度，也就是說系統可觀測，所有的誤差系數就能估計出。而某個參數的可觀測度大小決定了估計的精度，觀測度越高，估計精度越高，觀測度越小，估計精度越差。本文中參數估計問題實際上是一個最小二乘估計問題，其數學模型為[9]：

式中：Z為觀測向量，在本文中就是不同位置出陀螺儀和加速度計的輸出組成的列向量；H為量測矩陣，在本文中就是待估參數的系數組成的矩陣；X為狀態變量，在本文就是待估誤差和相關安裝誤差組成的列向量；ε為系統量測噪聲，本文設為零均值高斯白噪聲。式(8)的最小二乘解即為狀態變量X的最小二乘估計。

為了方便描述，給出信息矩陣的定義如下式：

由最小二乘估計的形式可以看出，當M滿秩，也就是可逆時，此時狀態變量 的所有分量才能得到估計，也就是系統完全可觀測；同時根據最小二乘估計理論知道，對于最小二乘問題（如式(8)），當信息矩陣M某一特征值較小時，信息矩陣的條件數很大，此時最小二乘估計精度很差。矩陣的條件數定義為：

式中：λ1、λn分別表示量測矩陣H的最大和最小奇異值。以X軸陀螺儀為例，若采用16位置，H的形式為：

將式(11)代入式(9)得M的具體形式為：

其中：

式中：i=1,2,…,16。從式(9)(11)(12)可以看出，信息矩陣M的形式非常復雜，包含了32個變量（16個αi，16個γi），用拉格朗日極值等解析的方法去分析信息矩陣M的秩和特征值以及矩陣H的條件數是極其困難的，因此需要轉變解決思路。

事實上，很多時候，工程應用中都是回避此問題的理論性研究，位置組合多數靠經驗來選擇[2]，也就是試湊法，但是這種經驗位置估計的參數個數非常有限，這與標定更多的誤差系數是相違背的。而也有學者試圖研究最優位置組合的選擇算法，如文獻[2]中給出了最優位置組合的選擇算法，但這種最優是在給定的28個位置中挑選出一個最優的16位置組合。顯然這種最優有很大的局限性，因為這并沒有徹底的解決最優位置的選擇問題；同時這種位置組合也僅僅估計出35項誤差系數，與高精度慣性平臺的要求還有一定距離。因此，尋找一種開創性、指導性、通用性的位置組合的選擇算法顯得極為迫切和重要。

但經驗也有啟示的作用，根據以往的選擇位置經驗，一般相鄰的α和γ之間相隔固定的角度[10]（一般為45°或者90°）。在這種經驗的啟示下，我們只需要起始位置(α1,β1)和相鄰α和γ的間隔(Δα,Δγ)，便可確定剩余的15個位置，這也就說將信息矩陣M和量測矩陣H的變量從32個減小到4個：α1、γ1、Δα、Δγ，其中，Δα和Δγ分別表示相鄰兩個α和γ之間相差的角度。此時的16位置模型如表1。

表1 16位置模型Tab.1 Model of 16 positions

在解析法非常困難時，作者選擇了數值方法，利用計算機計算出所有位置處的信息矩陣M和量測矩陣H，然后挑選出符合優化指標的最優位置組合，也就是利用仿真軟件仿真出最優位置組合。經過以上分析，最優位置組合的挑選算法如下描述：

① 設置α和γ步長，在這里選擇相等的步長3°（當然也可以選擇其他的步長，甚至α和γ步長的步長不相等），且α、γ∈[0°,180°]，設置Δα和Δγ的值，如依次取Δα=30°、45°、60°、90°，Δγ=30°、45°、60°、90°依次計算出不同位置處的量測矩陣H和信息矩陣M；

② 計算每一個M的秩和H的條件數并記錄下標；

③ 選出矩陣M的秩為10（X軸陀螺儀待估參數個數）并且H條件數最小的下標；

④ 根據下標計算出(α1,γ1)和(Δα,Δγ)，并依此確定出其他15個位置。

根據以上算法即可數值仿真出最佳的十六位置組合（步長為3°），具體見表2。

在仿真過程中發現：① 應避開90°整倍數角度位置；② 盡量避開α=γ的位置。因為這兩種情況均會使信息矩陣M的秩小于10（X軸陀螺儀待估參數個數）。

雖然上述位置只是以X軸陀螺儀為例是最佳位置，但是相對其他軸陀螺儀和加速度計也是最優位置，因為雖然它們的H不同，但只是交換了列的順序。由矩陣論知識可知，這種變換并不改變矩陣的奇異值，也就不會改變矩陣的條件數。

表2 最佳16位置Tab.2 Optimal 16 positions

3 誤差系數標定

在第1節中推導了完整的誤差模型，第2節給出了最佳十六位置組合，則誤差系數標定的仿真也就水到渠成了。誤差系數仿真真值設置如表3。

表3 仿真真值Tab.3 True values of simulation

表3中陀螺儀誤差系數kg0i(i=x,y,z)的單位為(°)/h，kgij(i=1,2,3，j=x,y,z)的單位為((°)·h-1)/g2，kg2ij(i=1,2,3,4，j=x,y,z)的單位為(″)，Δij(i=s,o，j=x,y,z)的單位為(″)；加速度計誤差系數ka0i(i=x,y,z)的單位為0.001 m/s2，ka11i(i=x,y,z)的單位為0.001 m/(s2·g)，ka2ij(i=1,2,3，j=x,y,z)的單位為0.001 m/(s2·g2)，ka3i(i=x,y,z)的單位為0.0001 m/(s2·g3)，θij(i=p,o，j=x,y,z)的單位為(″)。陀螺儀漂移隨機誤差標準差為0.001 (°)/h，加速度計測量隨機誤差標準差為1×10-6m/s2。

在表1所列位置組合下，各陀螺儀及加速度計的各項誤差將相繼受到重力加速度和地球自轉角速度的激勵。定義相對誤差：

式中：μ為真值，μ為估計值。

在給定的標定方案下，平臺51項誤差系數的標定結果見表4。

從表4可以看出：陀螺儀誤差系數估計相對誤差最大為0.7%，估計精度比較高，而安裝誤差估計相對誤差最大達到21.5%，估計精度較差；加速度計誤差系數估計相對誤差最大為0.68%，估計精度較高。陀螺儀安裝誤差估計精度較低的主要原因在于其激勵是地球自轉角速度，而地球自轉角速度相對于重力加速度而言非常小，這使得陀螺儀安裝誤差的可觀測性較差，導致其估計效果不佳。

4 結 論

本文首先推導了較為完整的慣性平臺系統的誤差模型，包含誤差系數及安裝誤差共51項，在此基礎上給出了基于條件數最優的16個位置組合的選擇算法，并仿真得到最優的16個位置。文中所提算法意義簡單明了，充分展示了數值方法的魅力，在解析法很困難的時候，數值方法往往能讓問題得到大大的簡化。同時這一選擇算法具有一般性，可以用在慣性平臺其他多位置自標定以及相關最小二乘估計問題中。自標定仿真結果顯示誤差模型中的51項誤差系數都能被估計出，而且估計精度非常理想，再次說明本文得到的16個位置非常理想。研究結果表明采用盡可能少的位置高精度的辨識出盡可能多的慣性平臺誤差系數是可能的。

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16-position self-calibration of high-accuracy inertial platform

MENG Wei-feng1, YUAN Ai-hong1, JIA Tian-long2, JIANG Yi-fu1
(1. Institute No.16 of China Aerospace Times Electronics Corporation, Xi’an 710100, China; 2. Operation Room in Command Centre of Xi’an Army Academy, Xi’an 710108, China)

A 16-position self-calibration scheme for inertial platform is proposed to solve the problem that only few error coefficients of the inertial platform can be estimated by the present multi-position self-calibration method. Combining with the output error model and installation error of the inertial device, an error model of the inertial platform with includes 51 error coefficients is deduced. An appropriate observability analysis for the inertial platform self-calibrated system is proposed, and then the optimization criterion of the inertial platform self-calibrated system is given. According to this criterion and combining with the characteristic of the platform system’s information matrix, an optimal position combination numerical searching algorithm is proposed, and a 16-position self-calibration scheme is obtained. The simulation results prove that this 16-position self-calibration scheme can estimate all the 51 error parameters of the inertial platform with high precision, showing that the number of positions can be as less as possible in identifying the error parameters of inertial platform with high precision.

inertial platform; self-calibration; least-square; optimal position

V441

A

1005-6734(2015)02-0150-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.02.003

2014-11-25；

2015-01-23

總裝預研基金（51309040501）；第二炮兵武器裝備預研項目（203010201）

孟衛鋒（1972—），男，博士，研究員，主要從事導航與控制技術研究。E-mail：mwfwp@163.com