關注過程 凸顯應用
——一道應用型試題的命題過程及其思考

●潘小梅 (江東區教研室 浙江寧波 315000)

關注過程 凸顯應用
——一道應用型試題的命題過程及其思考

●潘小梅 (江東區教研室 浙江寧波 315000)

應用題是一類以實際問題為情境、圍繞客觀實際進行設問的試題.因為它不僅涉及數學知識和方法，還涉及生活、生產、社會和自然界中的問題，所以對命題者提出了較大的挑戰.但由于它能全面考查學生綜合運用數學知識建立有效模型解決數學問題的能力，因而成為歷年中考的必考題型之一.筆者在2014年中考模擬試卷中編制了一道應用型試題，試題因其時尚的理念、新穎的形式、合理的設問備受關注.現與各位同行交流其命制過程.

1 試題展示

試題由問題、對話、解決3個部分組成，具體如下:

圖1

圖2

例1 問題圖1是底面半徑都為1 cm、母線長都為2 cm的圓柱體和圓錐體模型，現要用長為2π cm、寬為4 cm的長方形彩紙(如圖2所示)裝飾圓柱、圓錐模型表面.已知一個圓柱和一個圓錐模型為一套，長方形彩紙共有122張，用這些紙最多能裝飾多少套模型呢?

對話

師:長方形紙可以怎么裁剪呢?

生1:可按圖3方式裁剪出2張長方形.

生2:可按圖4方式裁剪出6個小圓.

生3:可按圖5方式裁剪出1個大圓和2個小圓.

圖3

圖4

圖5

師:盡管還有其他裁剪方法，但為了裁剪方便，我們僅選用這3位同學的裁剪方法.

解決

1)計算:圓柱的側面積是______cm2，圓錐的側面積是______cm2.

2)1張長方形彩紙剪拼后最多能裝飾______個圓錐模型;5張長方形彩紙剪拼后最多能裝飾______個圓柱模型.

3)求用122張彩紙最多能裝飾的圓錐、圓柱模型套數.

2 解法探究

1)4π，2π.2)2，6.

3)解法1設用這些紙最多能裝飾x套模型.若按圖5方式裁剪，每張紙可以裝飾2個圓錐模型，則裝飾x套圓錐模型需要張紙;若將5張紙中的3張按圖3方式裁剪、2張按圖4方式裁剪可以做6個圓柱，則裝飾x套圓柱模型需要張紙.根據題意得，解得，由于x是6的倍數，取x=90，裝飾90套模型后剩下長方形紙片的張數為122－(45+75)=2張，2張紙不能裝飾一套模型，因此最多能裝飾90套模型.

解法2設用這些紙最多能裝飾x套模型.因為每張紙可以裝飾2個圓錐模型，所以可裝飾2x個圓錐模型;又因為一個圓柱和一個圓錐配成一套，所以應裝飾2x個圓柱模型.5張紙最多能裝飾6個模型，平均每個模型需要張紙，因此2x個模型最少需要張紙.由于圓柱、圓錐所用的紙張數最多是122張，可以得到，解得，取x=45，此時可以裝飾90套模型，剩余2張紙，而2張紙不能裝飾一套模型，故最多能裝飾90套模型.

3 命題過程

3.1 試題緣起

根據模擬試卷的題型分布，需要命制一道有實際背景的應用型試題，為了公平合理地評價學生的學習水平，試題力求原創或改編.聯想到浙教版教材中一道“配套問題”的問題情境反復出現于教材中的“二元一次方程組”和“一元一次不等式”，筆者決定根據浙教版七年級下冊課本中“二元一次方程組”的一道例題進行改編，使得試題源于課本又高于課本，既能有效地考查學生的學習情況，又能引發教師研究學生普遍感覺困難的“配套問題”的教學策略，發揮試題良好的導向作用.

該例題的內容如下:

圖6

圖7

例2用圖6中的長方形和正方形紙板作側面和底面，做成如圖7所示的豎式和橫式2種無蓋紙盒.現在倉庫里有1 000張正方形紙板和2 000張長方形紙板，問2種紙盒各做多少個，恰好將庫存的紙板用完?

3.2 改編過程

那么，如何改編例2呢?筆者想到以下2種思路:

思路1保持例題的情境不變，改變試題考查的側重點，比如將“方程組模型”改為“函數模型”.舉例如下:

例3某工廠用如圖6所示的長方形和正方形紙板做橫式、豎式2種長方體形狀的無蓋包裝紙盒(如圖7所示).若有長方形紙板171張，正方形紙板82張，要做橫式、豎式紙盒共50個.

1)若按紙盒的生產個數來分，有哪些生產方案?

2)已知橫式紙盒的利潤為每個8元，豎式紙盒的利潤為每個10元，若僅從銷售的利潤考慮，以上哪種方案的利潤最大?最大利潤是多少?

此題比較容易，作為本次模擬試卷規劃中的應用題不太理想.

思路2改變試題呈現形式，比如將試題中呈現的“長方體”改為其他幾何體.按照這樣的思路，需要找到2個有一定關聯的立體圖形，比如它們由相同的圖形組合而成.于是想到以下2種方案:

方案1

例4如圖8，將“橫式無蓋長方體和豎式無蓋長方體”改為“正三棱柱和正三棱錐”.

圖8

方案2

例5如圖9，將“橫式無蓋長方體和豎式無蓋長方體”改為“圓柱和圓錐”.

圖9

顯然，方案1中我們需要的是正三角形和長方形2種不同的紙片，完全可以模仿例題編制類似的試題，但是問題比較單調，是一種低水平的重復.方案2是圓柱和圓錐，圓柱的側面展開圖是長方形，圓錐的側面展開圖是扇形，這樣一來，即使圓柱和圓錐的底面圓相同，也需要給出3種不同的圖形，才能模仿例題來編制試題.2種圖形制作立體圖形的關系已經錯綜復雜，更不要說3種圖形的組合，一時陷入窘境.仔細思考下去，這些形狀的紙片從何而來?一定是用統一的紙片裁剪而來的，于是想到了利用長方形紙片來裁剪出各種需要的圖形:長方形、小圓、扇形，這樣圓柱、圓錐模型的個數就取決于長方形紙片的張數安排了.于是決定選用方案2繼續研究.

接著開始畫圖思考怎樣的長方形紙片可以裁剪出圓柱側面(長方形)、圓柱底面(圓)、圓錐底面(圓)、圓錐側面(扇形)?通過多次嘗試，畫出了以下4種裁剪方法(如圖10所示):

圖10

接下來遇到的問題是:裁剪方法其實還遠不止以上4種，不可能讓學生在考試中有如此周密的思考，更何況這么多裁剪方法若都允許，則無疑會給問題的解決增添很大的難度.于是，決定舍棄第4種裁剪方法，那么怎樣將其他3種裁剪方法“暗示”給學生?又怎樣告知其他的裁剪方法不用考慮?一種方式就是以“云圖”形式溫馨提醒學生，但比較直白且至少需要2個云圖，在排版上也有困難，那么何不營造“師生對話”的場景呢?讓學生感受到解決試題的過程猶如平時課堂教學中師生對話的情景，并在對話的過程中進行暗示和引導.

接下來考慮試題的設問.由于解決問題中提出的“紙張分配問題”沒有一定的程式，學生需要把實際問題抽象成數學問題，經過建模并綜合運用數學知識解決問題，確實有一定的困難.為了合理地控制難度，筆者計劃幫助學生設置臺階.學生要解決“紙張分配問題”，首先要知道如何合理安排彩紙做圓柱、圓錐模型，顯然為了使做出的圓柱、圓錐模型個數最多，紙張應盡可能少浪費.那么，學生在解決該問題時應該怎樣有序地進行思考呢?要弄清楚圓柱、圓錐模型所需紙怎樣裁剪，這些紙怎樣組合在一起比較節省.于是按從易到難、從特殊到一般的要求設計了既有關聯又層層遞進的3個小題:第1)小題讓學生計算圓柱、圓錐的側面積，入口低，讓所有學生都有信心參與本題的解決.第2)小題的主要目的是幫助學生理清“圓柱、圓錐的裁剪方法”，提出“一張長方形彩紙剪拼后最多能裝飾幾個圓錐模型”，必然使得學生思考發現用圖10所示的第3種裁剪方法能做成2個圓錐模型，也使得學生通過這個小題聯想到第1和第2種裁剪方法也可以做圓柱模型.緊接著設問“5張長方形彩紙剪拼后最多能做幾個圓柱模型”，使得學生思考“怎樣合理組合可以使得做成的圓柱模型最多”.在這里，由于5張紙數量少，學生通過充分地思考后能夠認識到3張裁剪為長方形、2張裁剪為小圓組合最多有6個圓柱模型，同時也為第3)小題作較好地鋪墊.第3)小題要求學生解決最初提出的問題“用122張紙最多能裝飾多少個圓柱和圓錐模型”，達到了對學生思維深度的充分考查，較好地考查了學生綜合運用知識解決問題的能力.

4 命題說明

4.1 發揮試題的評價導向功能

本道應用型試題(例1)讓人耳目一新，它的情境取材于課本中的一道例題(例2)，背景公平，通過從易到難的3個小問題，不僅考查了圓柱和圓錐側面展開圖的形狀及其計算，還考查了學生綜合運用圖形組合、不等式模型解決實際問題的能力以及化歸、數形結合等思想方法，較好地考查了知識技能、數學思考、問題解決，發揮了試題良好的評價導向功能.

4.2 關注學生學習過程的考查

本題先提出需要解決的問題，讓學生通過閱讀“師生對話”幫助學生思考，通過理解、分析、計算逐步尋求解決問題的策略，經歷“問題提出→問題思考→問題解決”的過程，關注了過程與方法、數學思考、創新思維、學習能力的考查，倡導了學生自主思考的新課程理念，將考試評價的過程變成一種指導學生自主思考解決問題的過程.

4.3 體現應用型試題的命題特點

由于應用型試題往往具有一定的實際背景，又要蘊含豐富的數學知識，因此命制應用題時需要在試題的表述上下大功夫，努力減少文字量，使語義簡潔通俗、形式活潑.本題以“師生對話”的形式真實再現了課堂中教師引導學生思考的情景，又把“裁剪方法”暗示其中，使得試題貼近學生，呈現形式新穎，表述簡潔，降低了考試本身帶給學生的心理壓力.

潘小梅，女，浙江省寧波市江東區初中數學教研員，曾獲浙江省優秀教研員、寧波市名師、寧波市優秀教師、寧波市骨干教師、中國數學奧林匹克教練員、全國初中數學競賽優秀輔導教師等榮譽稱號，多次參與浙江省寧波市中考、數學競賽的命題工作，廣受好評.在《中學數學教學參考》、《數學教學》、《中國數學教育》、《中學教研(數學)》等各類數學期刊發表文章50余篇，其中5篇被中國人民大學報刊復印資料中心全文轉載.多年來，主持省、市多項重點規劃課題，多次榮獲省、市級基礎教育教研課題一、二等獎，近5年應邀各地講學、上課100多次，學術成果在全國各地有較大影響力.