一道數學中考題的美學價值研究

●陳 平 (富陽區鹿山中學 浙江杭州 311400)

●盛志軍 (富陽區郁達夫中學 浙江杭州 311400)

一道數學中考題的美學價值研究

●陳 平 (富陽區鹿山中學 浙江杭州 311400)

●盛志軍 (富陽區郁達夫中學 浙江杭州 311400)

數學是美麗的，但數學的美麗是一種“冰冷的美麗”.為了讓這份“冰冷的美麗”在學生面前熠熠生輝，數學教師應盡可能激起學生進入“火熱的思考”，培養學生熱愛數學、學習數學的熱情.這種火熱的“數學思考”和數學美的欣賞，是數學課程標準所要求學生達成的數學學習目標之一，也是賦予教師教學的一項根本任務.完成任務就需要教師在教學中不斷探尋教學內容的美、數學思想和方法的美.為此，我國著名數學教育家張奠宙提出了幫助學生欣賞數學美的4個層次:美觀、美好、美妙和完美，努力提升數學的美學價值，最終實現數學教學目標［1］.

2014年浙江省杭州市的一道中考數學題，是學生認識數學美學價值的好材料.筆者不局限于探求這道題的“學術形態”，而是從“教育形態”出發，通過挖掘數學的美學思想，提高數學學科能力和思維能力.

題目菱形ABCD的對角線 AC，BD相交于點 O，，BD=4，動點P在線段BD上從點B向點D運動，PF⊥AB于點F，四邊形PFBG關于BD對稱，四邊形 QEDH與四邊形PFBG關于 AC對稱.設菱形ABCD被這2個四邊形蓋住部分的面積為S1，未被蓋住部分的面積為S2，BP=x.

圖1

1)用含x的代數式分別表示S1，S2;

2)若S1=S2，求x的值.

1 條件觀察，在美觀的圖形欣賞中加深感知

這是一道集幾何、代數和三角函數知識于一身的綜合題.在教學中引導學生審題是首要工作.學生看題就像看卡通一樣，首先引入眼簾的顯然是美觀的軸對稱圖形.為此，教師順應學生的認知特點，緊緊抓住圖形的軸對稱性，再利用文字給出的條件，幫助觀察、分解、感知有密切相關的軸對稱圖形(如圖2).通過數形結合，弄清問題的顯性條件、隱性條件和需要解決的問題.

1)觀察①，菱形ABCD是軸對稱圖形.

2)觀察②，由四邊形PFBG關于BD對稱，四邊形QEDH與四邊形PFBG關于AC對稱.因此，又觀察④，知△PFB與△PGB關于BP對稱;觀察⑤，△QDE與△QHD關于QD對稱.

3)觀察③，四邊形AEMF與四邊形CHNG關于BD對稱，又它們各自關于AC對稱.

圖2

由此可見，觀察能讓學生感受到本題把軸對稱性的美表現得淋漓盡致，顯示出數學獨特的魅力.同時，在教學中，通過師生和生生的合作，讓學生宏觀上感知該題構建的框架，為進一步探究打下基礎.

2 經驗回溯，在美好的知識回顧中積極思考

有了觀察打下的基礎，接下來教師不應急于求成，而應讓學生根據觀察到的圖形和題目給出的條件，回顧已有的學習經驗和已形成的舊認知結構，細細品嘗，流連忘返于美好的數學內容并投入到積極思考中.下列一些知識與技能，由教師適當、適時地點撥，讓學生儲存在頭腦中的有關該題顯性的、隱性的美好信息不斷激活和涌現，并逐步梳理:

1)從條件菱形ABCD出發，得AB=BC=CD= DA;AO=CO，BO=DO，AC⊥BD;∠BAC=∠BCA=∠DCA=∠DAC……

3)從條件PF⊥AB于點F，BP=x出發，可得

4)又由圖形的對稱性可知

通過上述分析，菱形的性質得到了充分彰顯，等邊三角形的判定和性質得到了充分運用，直角三角形性質的作用得到了充分發揮，三角函數等重點知識和技能得到了充分回顧.與此同時，教師從圖形和條件出發，從不同路徑引領學生層層演繹推進，深入思考.學生在美好數學的體驗、感受、熏陶下，素養得到了良好地提升.

3 問題探究，在美妙的整體分解中促進生成

從問題的結構上看，第1)小題是函數式的構建問題;第2)小題是方程問題.考查學生的函數和方程思想，本身是數學中一件美好的事情.教師如何引領學生探究這2個問題，這是本題的核心.而本題中蘊含的圖形整體與部分的關系是解決問題的美妙玄機.

美妙1S1，S2表示什么?學生顯而易見，S1表示菱形ABCD被這2個四邊形蓋住部分的面積，S2表示未被蓋住部分的面積.菱形ABCD整體的面積是S1+S2(如圖3).

圖3

美妙2怎樣用含x的代數式表示S1.直接法很難表示S1，只能用間接法:

上述2個等式“S菱形ABCD=S1+S2，S2=4S△AFM”是解題的關鍵，美妙的事物存在于客體之中，需要教師幫助學生去再創造.而等式

都是關于x的二次函數關系式.它們由形到數轉化，也正是數學要尋求的美妙之處.

4 結論追尋，在思考動點運動問題中達到完美

本題給出的圖形僅僅是為學生數學思考的一個方面的直觀提示，并沒有“如圖”2個字.因此在審題上:一方面要讓學生面對此類題型在細節上引起重視，以增強學生全面性思考問題的的意識，說明該題需要分類討論;另一方面，讓學生明確分類討論是一種數學思想，如何分類達到問題解決，要有一種有效的方法.為此，把學生的關注點聚焦在“動點”上.

不妨這樣啟發學生:

1)如何理解“動點P在線段BD上從點B向點D運動”?

2)動點P從點B出發，終點到了哪里?經過什么特殊點?在這個過程中覆蓋面積怎樣變化?

3)在“BP=x”中，x是一個什么量?作為一個變量，是怎樣變化的?

通過上述3個問題的引領，呈現如下2個圖形(如圖4和圖5所示)，并由此確定x的取值范圍.

圖4

圖5

而當0＜x≤2時，覆蓋面積部分容易直接用含x的代數式來表示.由此，師生一起完美解答第1)小題:

1)①當點P在BO上，即0＜x≤2時(如圖4所示).因為四邊形ABCD是菱形，，BD= 4，所以

(或通過勾股定理求出AB=4=BD，又因為AB= AD，所以△ABD為等邊三角形，故∠ABO=60°.)

在Rt△BFP中，因為∠BFP=90°，∠FBP= 60°，BP=x，所以

又因為四邊形PFBG關于BD對稱，四邊形QEDH與四邊形PEBG關于AC對稱，所以

因為四邊形PFBG關于BD對稱，四邊形QEDH與四邊形PEBG關于AC對稱，所以

至于第2)小題，相應地給出2種情況予以解答，不難得到如下結論:

當點P在BO上，即0＜x≤2時，S1=S2的情況不存在;當點P在OD上，即2＜x≤4時，若S1= S2，則x的值為.

5 二次開發，在拓展中走進更美的數學境地

上述第2)小題，利用分類討論，完美地考查了方程思想以及不等式范圍內的取值問題.然而，二次開發該題的課程資源，是提升審美價值的有效途徑.為此，我們反思該題的整個探索過程，發現四邊形蓋住部分的面積為S1，未被蓋住部分的面積為S2，其實都是關于x的二次函數.

因此，教師不妨把本題的研究衍生到函數的有關性質中去，把學生帶進更美的數學境地.在原題的基礎上，再設計以下2個問題:

3)若動點P在線段BD上從點B向點D運動，當覆蓋面積S1達到最大時，求S1與菱形ABCD的面積之比.

4)若動點P在BD延長線上運動時，覆蓋面積為S1.問:S1是否存在最大值?如果存在，求出這個最大值和自變量x的取值范圍;如果不存在，請說明理由.

解存在.因為動點P在BD延長線上運動時，x＞4.而PF⊥AB于點F，因此

①當點F與點A重合時，適合關系式

當x=8時，S1取得最大值.

②當點F在BA的延長線上時，S1的最大值恒為.此時，x＞8.

綜上所述，S1的最大值是，自變量x的取值范圍是x≥8.

從審美的角度出發，把握“美觀、美好、美麗和完美”的整個探究過程，層層遞進，火熱思考，讓一道“冰冷的美麗”的中考數學題，盡顯光彩.既激發了學生學習數學的興趣，增強了積極自信的態度，也達到了本題所要求的數學知識與技能學習目標，強化了簡單化、數形結合、方程和函數、分類討論等數學思想以及相應的數學方法，大大提高了學生的思維水平和數學問題解決的能力.

參考資料

［1］張奠宙，李士锜，李俊.數學教學導論［M］.北京:高等教育出版社，2003:158-224.