減少變量(參數)
——含有多個變量(參數)問題解題思路一探

●陸 峰 (杭州綠城育華學校 浙江杭州 310012)

減少變量(參數)
——含有多個變量(參數)問題解題思路一探

●陸 峰 (杭州綠城育華學校 浙江杭州 310012)

含有多個變量(參數)的問題是中學數學中常見的一類難題.此類題目題型眾多，解法也很多，學生在面對含有多個參數的問題時，最大的困擾就是不知從何處下手，且此類問題常常一題一解法，學生總結不出規律.因此，教師在講解此類問題時，應幫助學生找到此類問題解題的切入點，使學生能通過這一切入點來探尋這一類題目的解法，構建起此類問題的解題框架，以一概全，以少勝多，多題一解.

下面，筆者通過幾個例題來談談解此類問題的一種思路:減少變量(參數).

例1設a＞0，b∈R，函數(其中0＜x≤1).

1)求函數f(x)的最小值;

2)若f(x)+|2a－b|≥0在區間(0，m］上恒成立，求實數m的最大值.

(2014年浙江省杭州市高二教學質量檢測試題)

分析第1)小題是常規的參數分類討論問題，解(略)，答案為

對于第2)小題，學生都能去掉絕對值，得

但之后卻無從下手.其原因在于本題含有多個參變量(a，b，m)，而學生不知從哪里尋找突破，反映出學生在處理含有多個參變量問題時缺少解題的想法，找不到解題的切入點.

我們從“減少參數”這一思路入手:當b≤2a時，很自然地可以得到

同理可得，當b＞2a時，

此時，參數減少了1個，而2個不等式的右邊可化簡為同一表達式.由題設a＞0知，只需，解得.又因為，所以m的最大值為.

在“減少參數”這一思路的引導下我們順利求解了此題.

點評許多教師在看到這一解法后說:這是放縮法，我們還沒給學生講過這種方法，學生怎么會做.這個題目放在高二考不合適，不符合學生的實際學情.學生也說:這種方法我們沒有學過.

但請仔細分析求解此題的思路:“減少參數”.式(1)和式(2)是在“減少參數”這一思路下利用條件“b≤2a”和“b＞2a”得到的.就算學生沒學過放縮法，也能得到這一解法.在正確的想法指引下，解法自然呈現，過程流暢自然，水到渠成.

例2已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c，且0＜f(－1)=f(－2)=f(－3)≤3，則 ( )

A.c≤3 B.3＜c≤6

C.6＜c≤9 D.c＞9

(2014年浙江省數學高考理科試題第6題)

分析1由f(－1)=f(－2)=f(－3)可得

分析2與例1一樣，本題含有多個參數.而從選項知本題是求其中一個參數的范圍，那么另外2個參數就是障礙(能否去掉這2個參數).從條件f(－1)=f(－2)=f(－3)可知題目給了3個等式，而1個等式可以求1個未知數的值，也就是說可以減少1個參數，那么3個等式減少2個參數是足夠的，可見這一想法可行，從而產生了新的解法.

解由f(－1)=f(－2)=f(－3)，得

點評分析1的解法結合函數、方程、零點的知識，一氣呵成，解法巧妙.但要求學生掌握豐富的數學知識和較高的解題技能，不是大多數學生都能想到這樣的解法.而分析2的解法源自“能不能去掉這2個參數”這一想法，想法樸素，符合絕大多數學生的認知規律及知識水平，也體現了數學從已知到未知的解題特征.

教師在講解題目過程中應重視學生的實際情況，提供符合學生認知水平的解題想法，引導學生通過想法去尋找解法，鍛煉學生分析問題的能力，提升學生的數學思維水平.

例3若實數x，y滿足x2+y2=4，則的取值范圍是______.

(2015年浙江省杭州市七校高三上期末模擬聯考試題)

分析1條件x2+y2=4可變形為

由平方差公式得

分析2我們從“減少變量”這一思路入手分析.令x+y=t，由條件x2+y2=4可得

這是一個常規的二次除以一次的分式表達式，結合新元t的范圍，本題也就不難求解了.

點評分析1技巧性強，對學生解題能力的要求較高，學生需找到條件與目標表達式間的內在聯系，從而作出正確的化簡運算，而這是不容易做到的.分析2是通過換元來“減少變量”.在這一思路引導下，學生沒有也不需要去探究條件與目標表達式的內在聯系，不需要太多的技巧，在減少變量后簡單地運用函數知識就能解決本題.

教師在教學過程中不應過多地向學生展示和強調解題技巧，而應在講解問題的過程中教會學生如何分析問題、如何尋找解題思路，幫助學生構建起解題的思想框架，用框架激活學生的思維，使學生能順桿而上，找到解題的切入點.

例4設正實數x，y，z滿足x2－3xy+4y2－ z=0，則當取得最大值時，的最大值為______.

(2013年山東省數學高考理科試題)

分析因為z=x2－3xy+4y2(其中x＞0，y＞0，z＞0)，所以

一步操作，我們減少了一個變量，之后繼續思考如何進一步減少變量，注意到分子、分母是齊次式，從而

這樣雖然看上去還有2個變量，但注意到它們的倒數關系，也可以理解成只有1個變量了.因此

當且僅當x=2y時等號成立.此時z=2y2，從而

我們成功地將3個變量“減少”成1個變量，接下來的求解也就不難了.答案為D.

點評教師在講解過程中應促使學生感悟解法，例4的考點是基本不等式，例5考查函數和不等式知識，2道題的考點并不相同，解法也不相同.但2道題都要求學生處理多個變量，因此解題的思考切入點是一樣的:減少變量.不同的解法，相同的想法，以一概全，以少勝多，多題一解.

由式(3)和式(4)可得，a=3，b=1，即BC=3.

本題是標準的利用正(余)弦定理求解三角形邊角問題.上述解法思路清楚，方法得當，但計算量大，過程繁瑣.在求解過程中引入了2個變量，于是要尋找2個方程來求解.能否也“減少變量”，只利用1個變量來求解呢?

圖1

圖2

分析2如圖2建立直角坐標系，則由已知，AB=2可求得點B的坐標.再設AC=3a，則D(2a，0)，C(3a，0)，由可求得a的值，也就求得了點C的坐標，再用兩點間的距離公式就可求得BC的長了.

點評分析2是“減少變量”思想在解題應用中的一種提升，從“能不能減少現有變量”到“能不能少引入幾個變量”，是學生解題能力的提升，也是學生認知水平的提升.

當前中學數學教學中存在一種普遍現象:重解法，輕想法.教師在講解題目時常常只強調該題的解法:第1步怎么辦，第2步怎么辦，卻沒有重視講解這一解法背后的想法:這一步是怎么想到的?為什么要這么做?下一步應該怎么去想等.教師只在低層次的解法教學上繞圈，沒有在解法的講解中融入更高層次的想法講解，沒有進入解題思路的突破與整體框架的建構，而學生在數學學習中也存在“將解法當知識、重記憶輕理解”的現實情況，從而降低了教學的整體質量.

筆者認為:教師在講解題目過程中應當重視向學生呈現解題思路形成的思維過程，比如:看到這樣的條件我會怎么想?這個問題要我做什么?要解決這個問題我已有了什么條件，還缺什么?我是怎么想到這樣做的.總之，要使學生在教師的講解過程中獲得學習的感悟，構建起屬于自己的從想法到解法的解題體系.