瑞典法三角函數(shù)積分解析式及滑面搜尋改進(jìn)方法

許年春，吳同情,，林軍志，李成芳，陳 奎

(1.重慶科技學(xué)院 建筑工程學(xué)院，重慶 401331；2.重慶交通大學(xué) 水利水運(yùn)工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400074；3.重慶市建筑科學(xué)研究院，重慶 400020)

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瑞典法三角函數(shù)積分解析式及滑面搜尋改進(jìn)方法

許年春1，吳同情1,2，林軍志2，李成芳3，陳 奎3

(1.重慶科技學(xué)院 建筑工程學(xué)院，重慶 401331；2.重慶交通大學(xué) 水利水運(yùn)工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400074；3.重慶市建筑科學(xué)研究院，重慶 400020)

為提高瑞典條分法的工程分析效果，通過三角函數(shù)積分得到均質(zhì)邊坡穩(wěn)定系數(shù)解析式，將該積分式用于邊坡分析，不僅可以節(jié)省計(jì)算工作量，還可以得到瑞典法精確解；為了解決目前邊坡滑面搜尋方法的不足，提出了通過搜尋圓弧在坡頂面的截距和圓弧半徑來確定出最危險(xiǎn)圓弧面，該方法不僅能減小搜尋用時(shí)，還能保證滑面追蹤的準(zhǔn)確性。

巖土工程；瑞典條分法；三角函數(shù)積分；穩(wěn)定性系數(shù)；解析式；最危險(xiǎn)滑面

0 引 言

在建筑、礦山、交通以及港口工程中都有大量的邊坡工程，而邊坡滑坡是自然界和巖土工程中主要的地質(zhì)災(zāi)害之一，往往給人類生命財(cái)產(chǎn)造成巨大損失。邊坡穩(wěn)定性分析方法有極限平衡法、極限分析法、有限元數(shù)值分析法等，其中采用最廣泛的是極限平衡法[1]。1927年，W. Fellenius[2]根據(jù)極限平衡原理，在前人工作的基礎(chǔ)上，提出了瑞典條分法，目前，對于一般的土質(zhì)邊坡，該方法仍是工程界應(yīng)用最普遍的極限平衡方法之一[3-4]。

瑞典條分法假定滑動(dòng)面為圓柱面且滑動(dòng)土體為不變的剛體，同時(shí)假定不考慮土條側(cè)面上的作用力，W. Fellenius給出了邊坡穩(wěn)定系數(shù)瑞典條分法計(jì)算式，如式(1)。

(1)

由式(1)可見，要得到邊坡的穩(wěn)定系數(shù)K，需先對邊坡體進(jìn)行條塊劃分，條塊劃分?jǐn)?shù)目越多，計(jì)算精度越高，一般取條塊寬度為0.1R(R為滑面圓弧半徑)[5-6]。顯然，條分求和法計(jì)算工作量較大，不易得到精確解。實(shí)際上，對于一般的均質(zhì)邊坡，可通過積分得到K的解析表達(dá)式，蔣楚生[7-8]采用的是代數(shù)函數(shù)積分法，積分過程繁雜，解析表達(dá)式龐大；蔣斌松，等[9]針對純黏土(內(nèi)摩擦角φ=0)得到邊坡穩(wěn)定系數(shù)解析解；蔣斌松[1]，楊庚宇，等[10-11]同樣采用代數(shù)函數(shù)積分法，但得到的解析表達(dá)式比蔣楚生的要精簡得多。

筆者擬通過三角函數(shù)積分得到瑞典條分法邊坡穩(wěn)定系數(shù)解析式，同時(shí)針對目前搜尋邊坡最危險(xiǎn)滑面方法的不足，提出滑面搜尋改進(jìn)方法。

1 邊坡穩(wěn)定系數(shù)三角函數(shù)積分解析式

如圖1，某邊坡，坡高為h，坡角為α，坡體重度γ，抗剪強(qiáng)度參數(shù)分別為c，φ。對于均質(zhì)坡體，滑裂圓弧通過坡腳[11-12]，因此當(dāng)圓心坐標(biāo)(x0，h+y0)確定后，即可確定圓弧半徑值R。

(2)

圖1 邊坡穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算示意

分別得到滑裂圓弧在坡腳a處傾角θ1、坡肩豎向投影b處傾角θ2和與坡頂交點(diǎn)c處傾角θ3：

(3)

(4)

(5)

式中：xh為坡肩至c點(diǎn)的水平距離。

對于式(1)，因?yàn)橛衏i=c，φi=φ，li=R·dθi，當(dāng)dxj足夠小時(shí)，圓弧bc段上條塊重量可表示為Wj=γdxjhj，由圖1可知dxj=R·dθj，hj=Rcosθj-y0=Rcosθj-Rcosθ3，可得：

Wj=γR2·dθj·cosθj(cosθj-cosθ3)

(6)

同理，圓弧ab上條塊重量可表示為Wi=γdxi(hi-Δhi)。

圖1中，根據(jù)各點(diǎn)相互關(guān)系和坡角可求Δhi：

Δhi=(x0+h/tanα-Rsinθi)tana=Rsinθ1tanα+h-Rsinθitana

可得：

Wi=γR2·dθi·cosθi(cosθi-cosθ3)-γR·dθi·cosθi(Rsinθ1tanα+h-Rsinθitanα)

(7)

因此，式(1)中各項(xiàng)可用積分式分別表示為：

∑cili=cR∫θ1θ3dθi

(8)

∑tanφiWicosθi=tanφ∫θ1θ2Wicosθidθi+

tanφ∫θ2θ3Wjcosθjdθj

(9)

∑Wisinθi=∫θ1θ2Wisinθidθi+∫θ2θ3Wjsinθjdθj

(10)

利用三角函數(shù)積分的相關(guān)公式，分別對式(8)～ 式(10)積分，得到積分結(jié)果：

∑cili=cR(θ3-θ1)

(11)

(cos3θ1-cos3θ2)

(12)

(13)

將式(11)～式(13)代入式(1)，并對三角函數(shù)公式作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，即可得到邊坡圓弧滑裂面穩(wěn)定系數(shù)的三角函數(shù)積分解析式。

(14)

式(14) 即為瑞典條分法穩(wěn)定系數(shù)的三角函數(shù)積分解析式，式中除土體參數(shù)常量和R外，均為滑面傾角的三角函數(shù)。

與文獻(xiàn)[1，10-11]中的代數(shù)函數(shù)積分解析式相比，式(14)偏長，但三角函數(shù)積分推導(dǎo)過程直觀，角度表示明確。

2 搜尋圓弧滑面改進(jìn)方法

目前，土力學(xué)教材都是通過搜尋圓心來確定最危險(xiǎn)圓弧滑面[5-6]，即對x0，y0取不同值分別計(jì)算出穩(wěn)定系數(shù)，根據(jù)Kmin確定出危險(xiǎn)圓弧面。但圓心的位置與滑裂圓弧在邊坡中的位置沒有清晰的對應(yīng)關(guān)系，導(dǎo)致圓心的搜尋范圍有較大的經(jīng)驗(yàn)性和隨意性，一方面增加了搜尋用時(shí)，另一方面還不能保證準(zhǔn)確追蹤到最危險(xiǎn)圓弧面。

筆者提出一種搜尋圓弧滑面改進(jìn)方法，如圖2，根據(jù)坡肩至c點(diǎn)的水平距離(后面稱之為圓弧在坡頂面的截距)xh、圓弧半徑R與圓心至坡腳的水平距離x0，圓心至坡頂?shù)呢Q向距離y0的相互關(guān)系，可列出方程：

(15)

圖2 搜尋圓弧滑面示意

求解方程(15)可得到x0，y0。

(16)

y0=kk·x0+bb-h

(17)

通過式(16)和式(17)可將圓心坐標(biāo)的搜尋問題轉(zhuǎn)換為xh，R的搜尋，下面將分別分析xh和R的搜尋范圍。

如圖2，當(dāng)以a，c點(diǎn)連線作為滑裂面時(shí)，邊坡破壞形式為直線滑動(dòng)，根據(jù)土力學(xué)相關(guān)理論，可確定出xh的范圍，xh∈(0，h)，在編制計(jì)算機(jī)分析程序時(shí)，為保證搜尋的全面性，可適當(dāng)擴(kuò)大搜尋范圍，如取xh∈(0，1.2h)。

當(dāng)xh取某一定值時(shí)，c點(diǎn)的位置即確定，滑裂圓弧的圓心必然位于a，c點(diǎn)連線的中垂線上，如圖2，而為了保證滑裂圓弧在c點(diǎn)處不會(huì)出現(xiàn)反坡(θ3>90°)，要求R >Rmin，Rmin可根據(jù)θ3= 90°時(shí)的相關(guān)幾何關(guān)系推導(dǎo)得出，結(jié)果見式(18)：

(18)

R沒有一個(gè)確定Rmax，選取不同參數(shù)作邊坡穩(wěn)定性分析，搜尋出的R≤Rmin+ 1.5h，在編制計(jì)算機(jī)分析程序時(shí)，可取Rmax=Rmin+ 1.5h，特殊情況下，可根據(jù)分析結(jié)果對Rmax調(diào)大。

3 算例分析

根據(jù)分析的搜尋方法和計(jì)算公式，在MATLAB平臺(tái)上編制程序，可以很容易地計(jì)算出邊坡的圓弧滑動(dòng)穩(wěn)定系數(shù)。表1列出了9個(gè)邊坡的穩(wěn)定系數(shù)K計(jì)算結(jié)果，并與商業(yè)軟件理正巖土計(jì)算出的K′相對照。

表1 穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算結(jié)果

注：γ= 18 kN/m3。

由表1可見，K和K′十分接近，且有K≤K′，證明了積分公式的正確無誤，說明了解析解是條分法的下限解。在同一臺(tái)電腦上運(yùn)算，搜尋次數(shù)相同時(shí)，理正巖土計(jì)算用時(shí)明顯多于積分解析式法，這是因?yàn)槔碚龓r土通過條塊劃分(條塊寬度=0.5 m)求和得到穩(wěn)定系數(shù)，每次計(jì)算都要重新生成全部條塊數(shù)據(jù)。

采用筆者提出的圓弧滑面搜尋改進(jìn)方法，在相同的搜尋步距下，不僅能減少搜尋用時(shí)(搜尋范圍明晰)，而且能通過xh和R值清晰顯示出圓弧滑面在邊坡中的位置，對于一些特殊情況的邊坡分析，可以據(jù)此及時(shí)調(diào)整搜尋范圍，以進(jìn)一步準(zhǔn)確追蹤到最危險(xiǎn)圓弧滑面。

4 結(jié) 論

1)通過三角函數(shù)積分得到瑞典條分法穩(wěn)定系數(shù)解析式，推導(dǎo)過程直觀，角度表示明確，將該積分式用于邊坡分析，不僅可以節(jié)省計(jì)算工作量，還可以得到瑞典條分法的精確解。

2)通過搜尋圓弧在坡頂面的截距和圓弧半徑來確定出最危險(xiǎn)圓弧面，不僅能減小搜尋用時(shí)，還能保證準(zhǔn)確追蹤到最危險(xiǎn)滑面。

[1] 蔣斌松,蔡美峰,呂愛鐘.邊坡穩(wěn)定性的解析計(jì)算[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2004,23(16):2726-2729. Jiang Binsong, Cai Meifeng, Lv Aizhong. Analytical calculation of slope stability [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2004, 23(16):2726-2729.

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[3] 王小東,戴福初,黃志全.基于瑞典條分法進(jìn)行水庫岸坡最危險(xiǎn)滑動(dòng)面自動(dòng)搜索的GIS實(shí)現(xiàn)[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2014,33 (增刊1):3129-3134. Wang Xiaodong, Dai Fuchu, Huang Zhiquan. Realization of automated searching by GIS for most dangerous slip surface of reservoir bank slope based on Swedish slice method [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2014, 33 (Sup1): 3129-3134.

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[9] 蔣斌松,呂愛鐘,蔡美峰.純黏土邊坡穩(wěn)定性的解析計(jì)算[J].工程力學(xué),2003,20(5):204-207. Jiang Binsong, Lv Aizhong, Cai Meifeng. Analysis of stability for cohesive soil slopes [J]. Engineering Mechanics, 2003, 20(5): 204- 207.

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Analytical Formula of Sweden Method through Circular FunctionIntegration and Improved Method to Search Sliding Surface

Xu Nianchun1, Wu Tongqing1,2, Lin Junzhi2, Li Chengfang3, Chen kui3

(1. School of Civil Engineering & Architecture, Chongqing University of Science & Technology, Chongqing 401331, China; 2. Key Laboratory of Hydraulic & Waterway Engineering of the Ministry of Education, Chongqing Jiaotong University,Chongqing 400074, China; 3.Chongqing Construction Science Research Institute, Chongqing 400020, China)

In order to enhance the engineering analysis effect of the Sweden slices method, the circular function integration has been used to get the analytical formula of stability coefficient for a homogeneous slope. Applying this integration formula to analyze slopes, the amount of calculation will be saved and the most accurate result can be got. In order to resolve the shortcoming of current method, an improved method was put forward, according to which, the most dangerous circular surface can be confirmed through searching the circular arc’s intercept on the slope’s top face and radius. The improved method can not only reduce the searching time but also guarantee the success to track the dangerous sliding surface.

geotechnical engineering; Sweden slices method; circular function integration; coefficient of stability; analytical formula; the most dangerous sliding surface

10.3969/j.issn.1674-0696.2015.03.17

2014-12-13；

2015-04-08

重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(KJ1401304)；國家內(nèi)河航道整治工程技術(shù)研究中心暨水利水運(yùn)工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目(SLK2013B03)；重慶市科委基礎(chǔ)與前言研究計(jì)劃項(xiàng)目(CSTC2010BB7334)；重慶市建設(shè)城鄉(xiāng)委員會(huì)資助項(xiàng)目(城科字2011第(82)號(hào))

許年春(1977—)，男，安徽安慶人，副教授，博士，主要從事巖土參數(shù)現(xiàn)場測試技術(shù)及邊坡穩(wěn)定性方面的研究。E-mail：351601872@qq.com。

吳同情(1982—)，男，貴州江口人，講師，碩士，主要從事巖土力學(xué)方面的研究。E-mail：wutongq@163.com。

U416.1+4;TU457

A

1674-0696(2015)03-079-03