頻繁低幅次同步振蕩引起的軸系扭應力在線評估

顧煜炯， 陳東超， 徐 婧， 任治政， 何成兵

（華北電力大學 國家火力發電工程技術研究中心，北京102206）

為了提高遠距離輸電能力和輸電穩定性，高壓直流輸電（high voltage direct current，HVDC）系統在電力系統中得到廣泛應用［1］.相關研究表明，HVDC系統可能導致電力系統次同步振蕩（subsynchronous oscillation，SSO）和汽輪發電機組軸系扭 振 故 障 的 發 生［2］.1977 年，在 美 國 的Square Butte HVDC輸電系統中首次發現了這種機電耦合現象［3］.

近年來，我國呼倫貝爾市等地區的火力發電機組所發電量經直流或者交直流混合輸電系統送出，機組軸系的扭振模態出現頻繁超過其疲勞累計閾值的低幅值振蕩（以下稱為頻繁低幅SSO）［4］.這種振蕩將導致軸系的疲勞累計損傷，從而縮短機組軸系的有效服役時間.因此，應對頻繁低幅SSO 引起的軸系疲勞累計損傷進行在線監測和評估，并且當疲勞累計損傷超過一定閾值時，采取跳機保護等有效措施防止頻繁低幅SSO 對機組產生破壞［1］.

獲得軸系危險截面的扭應力時間歷程后，可由雨流 計 數 法［5］、應 力 壽 命 曲 線［6］以 及Palmgren－Miner等疲勞累計損傷理論確定材料的疲勞損傷程度［7］.因此，扭應力的計算是壽命損耗評估的關鍵性環節.已有文獻對扭應力的計算方法進行了研究［8－14］，但 這些方 法 仍 有 許 多 不 足 之 處.劉 超 等［8－11］采用有限元等數值仿真方法獲得軸系危險截面的扭應力，此方法數學模型復雜、計算量大，主要用于扭應力的離線評估，不適合在線使用.楊昆等［12－14］利用實測的發電機三相電流和三相電壓計算電磁力矩，并將其作為外施力矩作用在軸系上，通過求解軸系扭振的微分方程實時獲得軸系危險截面的扭矩和扭應力，此方法在線計算復雜，無法準確考慮阻尼等因素對扭應力計算結果的影響.雖然此方法對于短時間的沖擊性扭振引起的扭應力分析效果較好，但其從計算速度和求解精度方面都無法滿足頻繁低幅SSO 下扭應力的求解要求.

針對以上問題，筆者在已有工作的基礎上提出一種適用于頻繁低幅SSO 下軸系扭應力的在線計算方法.考慮到實測的扭角信號中已經包含了系統復雜運行工況下阻尼等因素的影響，因此采用實測的機頭扭角信號以及發電機機端三相電流和三相電壓信號，結合離線配置在程序中的扭振振型和軸系危險截面理論應力集中系數等參數，實時計算軸系危險截面的扭應力.該扭應力在線計算方法避免了復雜的數學計算，易于計算機實現，且計算結果更加準確、可靠.應用筆者提出的方法分析了某1 000 MW 機組發生頻繁低幅SSO 后的軸系危險截面扭應力的變化情況.

1 算法基本流程

汽輪發電機組各段轉子的形狀均為中間直徑較大、兩端直徑較小，軸系的轉動慣量和剛度主要集中在各段轉子中部，扭振的振型節點也往往出現于此；根據軸系在穩定工況下的扭應力分布情況，頻繁低幅SSO 下軸系扭振危險截面主要出現在扭矩較大、直徑較小且容易出現應力集中的部位，如軸系上的軸頸、聯軸器螺栓等，離線分析即可確定各個軸系危險截面的位置.在此暫不考慮聯軸器螺栓，只考慮大軸上各軸頸處危險截面的扭應力，其實時評估流程如圖1所示.

圖1 頻繁低幅SSO 引起的軸系扭應力在線評估流程圖Fig.1 Flow chart of real－time estimation of torsional stress due to SSO with low amplitudes

步驟1：離線整定和存儲相關參數.

在進行軸系危險截面扭應力在線評估之前，需要將離線計算和整定的參數存儲到扭應力在線評估程序中，主要包括：扭振的各階固有頻率和振型；零相位帶通濾波器和低通濾波器參數；軸系危險截面所在的微元軸段的扭轉剛度和軸系危險截面理論應力集中系數以及各汽缸的功率分配系數等.

步驟2：軸系危險截面實時扭矩計算.

頻繁低幅SSO 引起的軸系扭矩可以分為2部分：一部分是次同步電磁力矩分量激勵起的波動扭矩，另一部分是維持正常發電功率的穩態扭矩.

（1）計算波動扭矩.在機頭安裝磁阻傳感器，根據時序脈沖原理［1］測得機頭扭角實時變化；當監測到頻繁低幅SSO 發生時，對實測扭角進行零相位帶通濾波，得到機頭傳感器處各模態扭角分量；根據預先存儲的振型，計算得到軸系危險截面處的各模態扭角分量；根據模態疊加原理，得到軸系危險截面處的波動扭角.結合軸系危險截面所在微元軸段的扭轉剛度，得到軸系危險截面處的波動扭矩.

（2）計算穩態扭矩.通過現場的電流和電壓互感器測得發電機機端的三相電流和三相電壓，計算得到電磁力矩；對電磁力矩進行零相位低通濾波，得到總的軸系穩態扭矩，根據預先存儲在程序中的各汽缸功率分配系數，計算得到每個軸系危險截面的穩態扭矩.

（3）將同一個軸系危險截面處的波動扭矩與穩態扭矩相加，得到軸系危險截面的實時扭矩.

步驟3：軸系危險截面實時扭應力計算.

（1）根據軸系危險截面的實時扭矩和斷面內、外徑求得軸系危險截面處的實時名義扭應力.

（2）將軸系危險截面實時名義扭應力與軸系危險截面理論應力集中系數相乘，得到軸系危險截面的局部扭應力實時變化情況.

2 算法的具體實現

由扭應力的在線評估流程可以發現，在扭角的測量精度一定的情況下，扭應力的計算精度主要由軸系扭振振型、實測機頭扭角的濾波效果以及軸系危險截面扭轉剛度等決定.

2.1 扭振固有特性計算

研究頻繁低幅SSO 問題時所關注的軸系扭振模態的阻尼很小，是否考慮阻尼對扭振固有特性的計算幾乎沒有影響，因此計算無阻尼下的軸系扭振固有特性即可（此結論將在后文驗證）.盡管阻尼很小，但它會影響頻繁低幅SSO 時的軸系扭振響應特性，進而影響軸系的壽命損耗及其累積效應.這也是筆者采用包含阻尼影響的實測扭角計算扭振響應的重要原因之一.

與以往使用較多的傳遞矩陣法［15］相比，利用有限元法（finite element method，FEM）計算軸系扭振固有特性的精度更高.基于FEM，軸系的無阻尼自由振動方程可以表示為［16］

采取合適的算法求解式（1），便可得到軸系扭振的固有特性.

2.2 實測扭角信號的模態濾波

由測量所得機頭扭角換算到各截面的波動扭角時，可能因為濾波后不同模態扭角相位的偏移，在扭振響應疊加時出現較大誤差，并直接影響扭應力的計算結果.因此，為了盡量減少實測扭角濾波后的相位偏移，采用零相位數字濾波器對實測扭角信號進行了濾波.利用濾波器H（ω）構造的零相位數字濾波器HZP（ω）如式（2）所示，濾波輸出相位偏移為零［17］.

采用2階巴特沃斯濾波器設計零相位帶通數字濾波器，實現扭角信號的模態濾波.在設計帶通數字濾波器時，以扭振各階固有頻率為濾波器的中心頻率，在滿足濾波精度的情況下，帶寬應適當大些，以使各模態扭角分量順利通過.筆者重點關注HVDC系統中頻繁低幅SSO 引起的軸系扭應力響應情況，在這一過程中，低于工頻的一個或幾個扭振模態對軸系扭振響應起主導作用，而高于工頻的扭振模態對響應的貢獻很小，因此通過對實測扭角進行濾波，主要得到工頻以內的各模態扭振分量，用來計算頻繁低幅SSO 引起的軸系扭振響應，這種做法能夠保證頻繁低幅SSO 引起的軸系扭應力的分析精度.但需要說明的是，并不是所有情況下都可以忽略高于工頻的扭振模態的影響，例如當帶有長葉片分支的葉軸彎扭耦合系統的避開頻率設計不合理時，在電網三相負荷不平衡和各種不對稱短路等情況下可能發生振動頻率高于工頻（一般在二倍頻附近）的超同步共振，此時就不能忽略高于工頻尤其是二倍頻附近的扭振模態的影響.超同步共振是有別于SSO 的另一類扭振故障，這類故障下葉軸彎扭耦合系統的振動特性和安全性分析也是扭振問題中另一個值得研究的問題，本文不展開討論.

2.3 軸系危險截面實時扭矩計算

假設軸系危險截面位于第i個微元軸段，實時扭矩Ti（t）的計算公式為

式中：ΔTi（t）、Ti，0（t）分別為波動扭矩和穩態扭矩.

2.3.1 計算軸系危險截面波動扭矩

根據模態疊加原理［18］，由下式可計算出軸系危險截面的波動扭角：

式中：Δθi（t）為軸系危險截面的波動扭角；Δθi，k（t）和Δθe，k（t）分別為軸系危險截面和機頭傳感器處的第k階模態下的波動扭角；N 為模態總數；φi，k和φe，k分別為軸系危險截面和機頭傳感器處第k 階模態下的振型值.

圖2 危險截面扭矩和應力求解原理圖Fig.2 Calculation diagram of torque and stress response in the weak cross section

取出軸系危險截面所在的微元軸段，如圖2所示，其中D 和d 分別表示軸系危險截面橫斷面的外徑和內徑.設其扭轉剛度為Ki，軸段的左、右端面的實時波動扭角和可由式（4）求得，由下式可計算出軸系危險截面處的波動扭矩ΔTi（t）：

由于軸系危險截面所在的微元軸段一般為非規則形狀，Ki不容易由解析公式算出，此處采用FEM計算Ki.將圖2所示的微元軸段右端面固定，在左端面施加大小為T 的靜態扭矩，計算得到軸段左端的扭角θL，則有Ki＝T／θL.Ki需要離線計算并存儲在程序中.

2.3.2 計算軸系危險截面穩態扭矩

根據實時采集的機端三相電壓和三相電流，由下式計算發生頻繁低幅SSO 時的電磁功率：

式中：Pe（t）為電磁功率的實時計算值；ua（t）、ub（t）、uc（t）為三相電壓；ia（t）、ib（t）、ic（t）為三相電流.

由式（7）計算電磁力矩的實時變化值Te（t）：

式中：ωe（t）為機頭傳感器處的角速度，為扭角的一階導數.

與實測扭角模態濾波的流程類似，對電磁力矩進行零相位低通濾波，濾波器的特征頻率設為3 Hz，可得到總的基礎扭矩T0，由下式計算出各軸系危險截面處的穩態扭矩Ti，0（t）：

式中：λi表示從高壓缸到軸系危險截面處汽輪機輸出功率占總功率的百分比，可根據各汽缸的功率分配預先設置好.

2.4 軸系危險截面實時扭應力計算

因軸系危險截面形狀不規則，局部扭應力不能直接由常規的解析公式求出，其計算流程如下：

（1）計算軸系危險截面名義扭應力.

由材料力學可知，對于圓形截面軸，最大扭應力在軸的外表面.如圖2 所示，求得微元軸段扭矩Ti（t）后，軸系危險截面處的名義扭應力為

式中：τi，ns（t）為名義扭應力的實時變化；Wpi為軸系危險截面處的抗扭模量.

對于圖2所示的環形截面，其軸系危險截面處的抗扭模量可由下式計算：

（2）計算軸系危險截面理論應力集中系數.

在Ansys軟件中采用Solid 186實體單元建立軸系的有限元模型，求取其在滿負荷工況下的扭應力分布，獲得軸系危險截面處的最大局部剪應力τ′i，ls和相應的名義剪應力τ′i，ns，則理論應力集中系數ki，t可由下式計算：

ki，t需離線計算并存儲在扭應力評估程序中.

（3）計算局部扭應力.

考慮到頻繁低幅SSO 引起的扭應力一般不會超過材料的屈服極限，軸系危險截面的局部扭應力可由下式求得：

3 案例分析

3.1 分析對象

采用筆者提出的方法分析我國北部某大型火力發電廠百萬機組在頻繁低幅SSO 故障下的軸系扭應力.該電廠擁有4 臺機組，總裝機容量3 600 MW.該電廠機組經4臺升壓變壓器和三回500kV線路接入某背靠背換流站，部分電力經高壓直流輸電系統送出.經分析可知，該電廠存在發生頻繁低幅SSO 的危險，3號和4號機組（1 000MW 機組）安裝了扭應力繼電器（torsional stress relay，TSR），TSR 監測到2臺機組出現頻繁低幅SSO 現象.圖3和圖4分別為該電力系統的等值圖和百萬機組的結構簡圖.

以該電廠機組發生的頻繁低幅SSO 中比較典型的一次為例，對扭應力進行求解和分析.2013年2月10日22時，4號機組負荷501MW，500kV 母線電壓548kV.22時17分55秒，4號機組TSR 監測到發生頻繁低幅SSO，啟動告警，4號機組轉速偏差以模態2分量為主，含有很少的模態1分量和模態3分量.通過現場的TSR 監測界面觀察到，轉速偏差的模態2分量經過大約17s的時間發散到最大值0.932 8rad／s（對應的扭角為0.006 3rad），之后以該值做等幅振蕩，持續約25s 后模態收斂.將TSR 記錄的轉速偏差的模態2分量轉換成扭角后的時域曲線如圖5所示，圖中Δθ2表示扭角的模態2分量.

圖3 某電力系統等值圖Fig.3 Equivalent diagram of a power system

圖4 百萬機組結構簡圖Fig.4 Schematic diagram of a 1 000 MW turbo－generator set

圖5 TSR 記錄的2階模態扭角時域曲線Fig.5 Torsional angle history of the second mode recorded by TSR

3.2 扭矩在線求解方法的驗證

扭矩的計算是扭應力求解最為關鍵的一環，筆者首先對扭矩求解方法進行驗證.由于TSR 數據記錄方式及保密原因，無法獲得整個頻繁低幅SSO 過程的故障量文本數據.為了驗證所提出的扭矩求解方法的準確性，采用國際上通用的電磁暫態仿真軟件PSCAD／EMTDC對圖3所示的電力系統進行頻繁低幅SSO 仿真分析，復現TSR 監測界面觀測到的頻繁低幅SSO 現象.

由于PSACD／EMTDC 內置的軸系模型為4～6質量塊模型，從驗證扭矩求解方法的角度出發，4號機組軸系采用了5質量塊模型，計算得到其工頻以內的固有頻率為13.50 Hz、23.96 Hz和26.56 Hz，對應的振型值如表1所示.

采用PSACD／EMTDC仿真得到了與實際觀測值基本相同的機頭扭角以及三相電壓和三相電流等頻繁低幅SSO 特征信號.對扭角信號進行零相位帶通濾波，得到各階模態扭角分量見圖6.圖6 中，Δθ1、Δθ2和Δθ3分別表示1階、2階和3階模態扭角分量.結合5質量塊軸系模型參數以及振型值，由式（4）和式（5）可計算各軸段之間的波動扭矩；根據仿真得到的三相電流和三相電壓，由式（6）和式（7）計算得到電磁力矩，對其進行低通濾波后，可由式（8）得到各軸段間的穩態扭矩，將其與相應的波動扭矩相加，計算得到各軸段間的扭矩，如圖7所示.在圖7中，THP－IP、TIP－LPA、TLPA－LPB和TLPB－GEN分別表示高壓缸和中壓缸、中壓缸和低壓缸A、低壓缸A 和低壓缸B以及低壓缸B和發電機間的扭矩.

表1 5質量塊模型對應的振型值Tab.1 Mode amplitude corresponding to the model with five lumped masses

圖6 各階模態扭角時域曲線Fig.6 Torsional angle history of each mode

圖7 實時扭矩時域曲線Fig.7 Real－time trosional torque history

不失一般性，以低壓缸和發電機間的扭矩為例，對比分析采用筆者提出的扭矩計算方法計算得到的扭矩與直接在PSCAD／EMTDC 中仿真得到的扭矩，如圖8所示.圖8（a）和圖8（b）分別為在頻繁低幅SSO 發散階段和穩態階段截取1s內的扭矩對比圖.其中，0～1s處于濾波起始時段，在開始濾波時會有0.5s左右的邊界失真，但后續的計算結果與仿真結果吻合得非常好.通過觀察其他各個軸段間的扭矩對比結果也可以得到相同結論.限于篇幅，不再一一列出其余扭矩對比圖.

圖8 扭矩對比圖Fig.8 Torque history comparison

3.3 軸系危險截面扭應力求解

為驗證筆者提出的扭矩計算方法的有效性，采用了簡單的5質量塊模型.由于簡單質量塊模型無法獲得軸系局部結構的扭矩，因此不適合實際工程應用.

考慮軸系的局部結構特點，建立了軸系的連續質量模型，采用FEM 計算其固有特性.在Ansys中采用Solid 186實體單元建立該1 000 MW 機組軸系的有限元模型，如圖9所示，其中葉片以附加轉動慣量的形式添加到響應的軸向位置.

圖9 1 000 MW 機組軸系有限元模型Fig.9 Finite element model of the 1 000 MW turbogenerator shafts

前文已經提到，SSO 問題研究中所關注的軸系扭振模態的阻尼很小，是否考慮阻尼對扭振固有特性幾乎沒有影響，下面對這一結論進行驗證.軸系扭振模態的阻尼與機組形式、軸系結構、材料特性、油膜特性和運行工況等多種因素有關，目前還沒有一種完善的方法對軸系扭振模態的阻尼進行理論分析和計算.實際工程中，通常采取電網側擾動實驗的方法獲得機組軸系扭振各階模態的衰減系數和模態阻尼比.根據一些機組的軸系扭振模態的阻尼實測結果可知，研究頻繁低幅SSO 問題時所關注的工頻以內的各階軸系扭振模態的衰減系數一般不超過0.5 s－1，模態阻尼比一般不超過0.003［19－20］.為了充分驗證本文結論的正確性，采用FEM 計算了待研究的1 000MW 機組在不考慮阻尼和工頻內的模態衰減系數都為1s－1時的扭振固有特性.2 種情況下，求得工頻以內的3 階固有頻率分別為13.26 Hz、23.61Hz和26.35Hz，對應的振型曲線如圖10所示.由圖10可知，是否考慮阻尼對于前3階振型幾乎沒有影響.筆者也曾對國內其他幾種典型的600 MW 機組進行過類似的對比分析，所得結論與本文一致.

該1 000 MW 機組大軸上的扭振危險截面在2～9號軸頸上最大應力集中處，采用圖9所示的有限元模型，計算得到機組在1 000 MW 負荷下各軸系危險截面的最大局部剪應力、名義剪應力和理論應力集中系數（見表2）.

表2 各軸系危險截面的理論應力集中系數Tab.2 Theoretical stress concentration factor of each weak cross section

圖10 前三階振型曲線對比圖Fig.10 Comparison of vibration curve among the first three torsional modes

結合各階模態扭角、振型曲線、發電機三相電流和三相電壓以及軸系危險截面的應力集中系數等參數，根據筆者提出的方法可求得各個軸系危險截面等局部結構的扭應力.4號和9號軸頸上危險截面的局部扭應力見圖11.限于篇幅，其他各個軸系危險截面的扭應力響應情況不再一一羅列.得到了軸系危險截面的扭應力后，便可根據材料的應力壽命曲線計算軸系危險截面的疲勞累計損傷.

由扭應力的求解過程可以發現，應用筆者提出的方法在線計算頻繁低幅SSO 引起的軸系扭應力時，除了濾波部分計算量稍大，其余各計算環節只涉及簡單的加減乘除運算.相比于傳統的通過求解多段集中質量模型扭振微分方程的扭振響應計算方法［12－14］，該 方 法 計 算 更 加 簡 便、快 捷，更 適 合 于HVDC系統中頻繁低幅SSO 引起的軸系扭應力計算.另一方面，傳統的扭應力計算方法過分依賴軸系扭振多段集中質量模型建立的準確性，無法準確考慮阻尼等因素對扭振響應求解結果的影響，而筆者采用已包含系統阻尼影響的實測扭角信號，配合連續質量模型計算出的扭振振型等參數計算軸系扭應力，計算結果更加準確、可靠.

圖11 4號和9號軸頸處危險截面的扭應力Fig.11 Torsional stress in weak cross section of journal 4 and journal 9

4 結 論

由頻繁低幅SSO 引起的軸系扭應力的在線計算是壽命損耗評估的關鍵環節.筆者提出了一種新的HVDC系統中頻繁低幅SSO 引起的軸系扭應力的在線評估方法，采用實時采集的扭角信號以及發電機三相電壓和三相電流信號，結合離線求解并配置在程序中的扭振振型以及軸系危險截面應力集中系數等參數，實時、準確地計算軸系危險截面的扭應力.應用該方法分析了某1 000 MW 機組在發生頻繁低幅SSO 后的軸系危險截面扭應力的變化情況.結果表明：所提出的扭應力在線計算方法避免了復雜的數學計算，易于計算機實現，且計算結果準確、可靠.

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