基于風險偏好與滿意度的區間值合作對策

鄒正興， 李登峰， 何 云

(1.北京理工大學 管理與經濟學院，北京 100081; 2.福州大學 經濟與管理學院，福建 福州 350108; 3.燕京理工學院 數學實驗室，河北 三河 065201)

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基于風險偏好與滿意度的區間值合作對策

鄒正興1,3， 李登峰2， 何 云3

(1.北京理工大學 管理與經濟學院，北京 100081; 2.福州大學 經濟與管理學院，福建 福州 350108; 3.燕京理工學院 數學實驗室，河北 三河 065201)

研究區間Shapley值一般是以超可加區間值合作對策或凸區間值合作對策為前提，但這限制了區間Shapley值的適用范圍。本文以區間數的接受指標及局中人對風險的偏好水平為基礎，提出了局中人滿意度的概念，并利用滿意度對區間值合作對策進行了探討。通過計算區間值合作對策的局中人與聯盟對其區間Shapley值的滿意度，來判斷區間Shapley值是否被局中人或聯盟接受，形成的聯盟是否穩定，拓展了區間值合作對策Shapley值的適用范圍。同時，得到了當區間值合作對策滿足一定條件時滿意度的一些性質。

區間值合作對策；區間Shapley值；接受指標; 區間數；風險偏好；滿意度

0 引言

合作對策在經濟管理中的應用越來越廣泛，Shapley值是合作對策最常用的解之一。由于現實的不確定性，聯盟收益往往不是一個精確的數，而是一個變化的范圍，由此區間值合作對策成為一個重要的研究熱點。Wang[1]提出了區間值合作對策的概念，并利用基于區間中點的區間數排序方法，給出了區間Shapley值的公理體系，證明了區間Shapley值的唯一性。Branze[2]通過研究銀行破產對策，建立了具有區間收益的模糊合作對策模型，并提出了類似于Shapley值的解。Alparslan等[3～7]研究了區間值合作對策的性質，對區間Shapley值進行了公理化定義，并對集合形式解的概念進行了拓展。Mallozzi等[8]以三角模糊數為基礎，給出了模糊區間值合作對策的截對策的定義，并研究了其區間核心的性質。Graziano等[9]將區間值合作對策拓展到多準則區間值合作對策，并對其核心進行了討論。張強等[10]指出了區間值合作對策的區間核心非空的充要條件為凸區間值合作對策，同時也說明不能直接將經典合作對策的結論套用到區間值合作對策。高作峰等[11]將局中人對收益的偏好關系引入到區間值合作對策，并對其區間核心進行了研究。

在研究區間Shapley值時，一般是將區間值合作對策限制為超可加區間值合作對策或凸區間值合作對策，可以得到較好的結果與性質，但是這大大限制了區間Shapley值的適用范圍。針對此問題，本文以文獻[12]中區間數的偏好關系為基礎，根據文獻[13]的研究思路，提出了基于區間數接受指標與局中人風險偏好的滿意度的概念，利用滿意度分析區間值合作對策的分配，并據此判斷分配是否合理、聯盟是否穩定，可極大地拓展區間Shapley值的適用范圍。

1 預備知識

1.1 區間數及其運算

1.2 區間值對策的概念及其區間Shapley值

設(N,v)為經典合作對策，如果?S,T?N，且S∩T=，滿足v(S)+v(T)≤v(S∪T)，則稱(N,v)為超可加合作對策。如果滿足v(S)+v(T)≥v(S∪T)，則稱(N,v)為次可加合作對策[14]。

(1)

顯然，超可加區間值合作對策等價于區間數左、右端點構成的對策是超可加的；次可加區間值合作對策等價于區間數左、右端點構成的對策是次可加的。很多文獻[1～9]是基于此進行研究的。

則稱(N,Vw)為凸區間值合作對策。

(2)

(3)

其中，s,t分別為聯盟S,T中局中人的個數。

因為超可加區間值合作對策的區間Shapley值滿足個體合理性，凸區間值合作對策的區間Shapley值包含在區間核心中[4,5]，因此在研究區間Shapley值時，一般是將區間值合作對策限制在超可加區間值合作對策或凸區間值合作對策上。

從理論上講，區間值合作對策中局中人或聯盟獲得的收益可能是收益區間中的任意值，那么，區間值合作對策只要存在選擇對策滿足超可加性，穩定的聯盟就可能形成，就可以討論區間Shapley值。更一般地，就算區間值合作對策所有的選擇對策都不是超可加對策(顯然不是超可加區間值合作對策)，其區間Shapley值也存在，而且可能每個局中人或聯盟都接受該分配方案。

根據定義9，該區間Shapley值包含在區間核心中，即滿足個體合理性與集體合理性，故任意局中人及聯盟均接受此分配方案。為拓展區間Shapley值的適用范圍，本文不是去尋找區間值合作對策滿足的條件，而是先利用公式(3)計算出區間值合作對策的區間Shapley值，然后再判斷該區間Shapley值是否被所有局中人或聯盟接受。

2 區間數的序關系的定義及性質

兩個區間具有包含、相交、重疊等多種不同情形。定義3僅以區間的兩個端點為基礎建立區間數的序關系，具有一定的局限性。為能比較任意兩個區間數的大小或序關系，下面對區間數的序關系進行探討。

2.1 區間數的接受指標

(4)

2.2 基于風險偏好的滿意度

根據接受指標的概念，可以將區間數的中點理解為收益的期望，將區間數的區間半徑理解為不確定性，即區間中點越大，期望收益就越大，區間半徑越小，收益就越確定。因為區間數是一類特殊的模糊數，其模糊性決定了局中人對區間數的態度往往不是嚴格的接受或拒絕，而是取決于區間數之間的序關系以及局中人對風險的態度。下面在接受指標的基礎上，結合文獻[15]的定義方法，考慮局中人具有風險態度水平時區間數的序關系。

局中人(或決策者)對風險的態度不同可以分為風險厭惡型、風險中立型、風險偏好型等。對于風險厭惡型局中人，當區間數的均值相同時，認為區間半徑越短越好。本文從風險厭惡型局中人的角度給出如下假設：

(1)收益越大越好，即區間數的區間中點越大越好；

(2)收益值越精確越好，即區間數的區間半徑越短越好；

(3)當收益越大，但是對應的不確定性也越大時，局中人會綜合考慮收益與風險；

(4)風險厭惡型局中人認為上述假設(2)比假設(1)重要。

(5)

為簡化問題，本文以聯盟收益為局中人決策的參考點。

(6)

表1 語言變量與風險偏好水平的對應關系表

3 基于滿意度的區間值合作對策

利用滿意度的概念，下面定義區間值合作對策中局中人或聯盟對區間Shapley值的滿意度。

(7)

設局中人的最低滿意度向量為h=(h1,h2,…,hn)∈Rn，且hi∈(0,1]，則當πi≥hi(?i?N)時，任意局中人i都接受區間Shapley值，即對單個局中人來說，區間Shapley值是合理的分配方案。

(8)

對其他分配的滿意度可以類似地定義。如果有局中人或聯盟S的滿意度不存在或者小于其最低滿意度，則拒絕該分配方案。

當πS≥hS(?S?N))時，則大聯盟N可以形成。否則，若存在T?N，使得πT

在例1中，若局中人對風險均持中立態度，即pi=1(i=1,2,3)。利用式(7)和式(8)算出各局中人與聯盟滿意度為：π1=1，π2=1，π3=1，π{1,2}=1，π{1,3}=1，π{2,3}=1，π{1,2,3}=1。故該區間Shapley值,被所有的局中人或聯盟接受，是合理的分配，且大聯盟也是穩定的。

盡管(N,vm)的Shapley值不一定包含在其核心中，但可以通過計算滿意度，分析分配不合理或聯盟不穩定的內在原因。

(9)

其中點對策(N,vm)的Shapley值為：

其半徑對策(N,vw)的Shapley值為：

證畢。

注2 如果半徑對策的Shapley值為負數，說明對應的區間Shapley值的左端點大于右端點，表明局中人的邊際貢獻隨著對策值的增大反而相對降低，因而邊際收益逐漸減小。但是在分析其滿意度時需將其調整為正常的區間數，則負數變為其絕對值。例如<4，-2>=[6,2]調整為[2,6]，即為<4,2>。即在分析區間數的滿意度時，區間Shapley值的區間半徑是半徑對策的Shapley值的絕對值。

(1)中點對策(N,vm)為超可加對策；

(2)半徑對策(N,vw)為次可加對策，且滿足vw(S)≤vw(T)(?S?T)；

則區間值合作對策中任意局中人對其區間Shapley值的滿意度均為1。

證明 (1)當中點對策(N,vm)為超可加對策，即對任意的S,T∈P(N)，且S∩T=?，有vm(S∪T)≥vm(S)+vm(T)。

當且僅當vm(S∪i)=vm(S)+vm(i)(?S?Ni)時，等號成立。

(2)當半徑對策(N,vw)為次可加對策，即對任意的i?S∈P(N)，有vm(S∪i)≤vm(S)+vm(i)，則

又因為對?S?T都有vw(S)≤vw(T)，得到vw(S∪i)≥vw(S)，故有φi(vw)≥0。

此命題的逆命題不成立。命題1中，半徑對策的次可加性條件可以減弱。若去掉半徑對策(N,vw)為次可加對策的條件，即為Alparslan[3～6]研究區間Shapley值的前提。由命題1可知，該區間Shapley值不一定會被局中人所采納，故本文是Alparslan研究基礎上的進一步探討。同時，當區間半徑退化為0時，此對策退化為超可加對策，其Shapley值滿足個體合理性，此性質與經典合作對策的性質[14]具有一致性。

注3 利用中點與半徑進行區間數減法運算時，區間半徑可以為負?，F實意義見注2。

故x是(N,vm)滿足有效性的分配。

(10)

即分配x滿足集體合理性。如果S是單個局中人，則說明分配x滿足個體合理性。

(11)

所以

(12)

證畢。

如果所有局中人與聯盟的滿意度存在，則需(N,vm)是平衡對策。但平衡對策檢驗較復雜，命題2的結論更為直觀。

引理2[14]當合作對策為凸對策時，其Shapley值包含在核心中。

(1)vm(S)+vm(T)≤vm(S∪T)+vm(S∩T)；

(2)vw(S)+vw(T)≥vw(S∪T)+vw(S∩T)；

(3)vw(S)≤vw(Q)(?S?Q)；

證明 條件(1)說明(N,vm)為凸對策，由引理2可知，其Shapley值Φ(vm)=(φ1(vm),φ2(vm)…,φn(vm))∈Rn包含在其核心中，即滿足

(13)

(14)

對于(N,vw)與(N,v)，由Shapley的可加性公理，可知

φi(vw)=d-φi(v) (?i∈N)

(15)

由式(14)和(15)可知

(16)

又根據條件(3)，可知

φi(vw) ≥0,(?i∈N)

(17)

(18)

命題3是區間值合作對策的區間Shapley值為可行的分配方案，且聯盟是穩定的必要條件。同時，也說明了區間值合作對策的中點對策是凸對策，聯盟也不一定是穩定的。

4 舉例：滿意度在區間值合作對策中的應用

根據定義4，可知該對策不是超可加區間值合作對策。首先，利用式(3)計算各局中人的區間Shapley值：

然后，利用式(7)計算各局中人的滿意度：

即單個局中人均對其分配的區間Shapley值接受。

最后，聯盟的風險偏好水平按照取大的方法，利用式(8)計算各聯盟的滿意度：

即聯盟{1,2}、{1,3}、{2,3}的滿意度均為1，因為1>0.5，故不會有局中人離開大聯盟。

綜合上述分析可知，該區間值合作對策是穩定的，且區間Shapley值是合理的分配。

利用式(3)計算各局中人的區間Shapley值：

利用式(7)和(8)計算各局中人或聯盟的滿意度：

由上述計算可知，雖然局中人1、2以及聯盟{1,3}、{2,3}對區間Shapley值的滿意度均為1，即接受該分配。但是，局中人3的滿意度不存在，說明局中人3不接受其分配到的區間Shapley值，其寧愿選擇單干得到收益[20,50]，即該區間Shapley值不是可行的分配方案。同時，聯盟{1,2}的滿意度也不存在，說明盡管局中人1與2接受該區間Shapley值，但是該區間Shapley值卻不能滿足聯盟{1,2}的要求，即{1,2}單獨結盟會得到更好的結果，所以穩定的大聯盟也不會形成。

5 結論

區間Shapley值的研究一般是限制在超可加區間值合作對策或凸區間值合作對策。本文利用局中人對區間Shapley值的滿意度，拓展了區間Shapley值的適用范圍。首先，以區間數接受指標為基礎，并考慮風險偏好對局中人的影響，從風險厭惡型局中人的角度，定義了區間數的滿意度的概念。然后，以滿意度為處理區間數的工具，分析區間值合作對策的局中人對區間Shapley值的滿意度，將滿意度作為分配是否合理，聯盟是否穩定的依據。最后，得到滿意度在一些特殊情形時具有的某些性質。本文的方法為處理區間值合作對策提供了一種新思路，對不確定性決策與對策具有一定的參考價值?；趨^間數的序關系，分析區間值合作對策聯盟的形成以及各聯盟之間的相互作用將是以后的研究重點。

[1] Shunmin Wang. Interval computations for fuzzy relational equations and cooperative game theory[D]. North Carolina State University, 2002.

[2] Branzei R, Dimitrov D, Tijs S. Shapley-like values for interval bankruptcy games[J]. Economics Bulletin, 2003, 3: 1- 8.

[3] Alparslan G S Z, Miquel S, Tijs S. Cooperation under interval uncertainty[J]. Mathematical Methods of Operations Research, 2009, 69(1): 99-109.

[4] Alparslan G S Z, Branzei R, Tijs S. Convex interval games[J]. Journal of Applied Mathematics and Decision Sciences, 2008, 37: 1-18.

[5] Branzei R, Alparslan G S Z, Tijs S. Cooperative interval game: a survey[J]. Central European Journal of Operations Research, 2010, 18(3): 397- 411.

[6] Alparslan G S Z, Branzei R, Tijs S. The interval shapley value: an axiomatization[J]. Central European Journal of Operations Research, 2010, 18(2): 131-140.

[7] Alparslan G S Z, Branzei O, Branzei R, Tijs S. Set-valued solution concepts using interval-type payoffs for interval games[J]. Journal of Mathematical Economics, 2011, 47(4-5): 621- 626.

[8] Mallozzi L, Vincenzo Scalzo, Tijs S. Fuzzy interval cooperative games[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2011, 165(1): 98-105.

[9] Graziano P, Lucia P. Interval values for multicriteria cooperative game[J]. AUCO Czech Economic Review, 2010, 4(2): 189-200.

[10] Xuan Zhao, Qiang Zhang. A further discussion on cores for interval-valued cooperative game[J]. Knowledge Engineering and Management: Advances in Intelligent Systems and Computing, 2014, 214: 673- 682.

[11] 高作峰,鄒正興,馬棟. 局中人具有偏好關系的區間值合作對策問題[J].系統科學與數學,2013,33(6):528-540.

[12] Atanu S, Tapan K P. Fuzzy preference ordering of interval numbers in decision problems[M]. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2010.

[13] Deng-Feng Li. Decision and game theory in management with intuitionistic fuzzy sets[M]. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2014: 319-356.

[14] Branzei R, Dimitrov D, Tijs S. Models in cooperative game theory[M]. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2008.

[15] Deng-Feng Li, Jiang-Xia Nan, Mao-Jun Zhang. Interval programming models for matrix games with interval payoffs[J]. Optimization Methods and Software, 2012, 27(1): 1-16.

[16] Zimmermann H J. Fuzzy set theory and its application [M]. Boston: Kluwer Academic, 1991.

Interval-valued Cooperative Games Based on Risk Preferences and Satisfaction

ZOU Zheng-xing1,3, LI Deng-feng2, HE Yun3

(1.SchoolofManagementandEconomics,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081,China; 2.SchoolofEconomicsManagement,FuzhouUniversity,Fuzhou350108,China; 3.LaboratoryofMathematical,YanchingInstituteofTechnology,Sanhe065201,China)

The study of interval Shapley value is usually based on superadditive interval-valued cooperation games or convex interval-valued cooperative games, limiting the scope of the application of the interval Shapley value. Based on acceptability index——the fuzzy preference ordering for interval and the intensities of risk preferences for players, we discuss the concept of the players with degrees of satisfaction. In this paper, we find that the degree of satisfaction plays a key role of analyzing the interval-valued cooperative games. By calculating the degrees of satisfaction with the allocation for interval-valued cooperative games, we find it obvious to determine whether the allocation, including the interval Shapley value, is reasonable. And we can judge whether the coalitions of players who coordinate their actions is stable by using the degrees of satisfaction. The basis of this method is an extension of the application of the interval Shapley value. Furthermore, we get some useful properties when the interval-valued cooperative game is at particular situations.

interval-valued cooperative games; interval shapley value; acceptability index；interval number; risk preferences; degrees of satisfaction

2013-12- 05

國家自然科學基金重點項目(71231003)；國家自然科學基金資助項目(71171055,71071018,71371030)

鄒正興(1989-),男,湖北天門人,博士研究生,研究方向:對策論及其應用；李登峰(1965-),男,廣西人,博士(后) ,博士生導師,教授,主要從事模糊決策與對策的理論及應用。

O225

A

1007-3221(2015)06- 0034-10

10.12005/orms.2015.0192