角度化灰色T型關聯度模型及應用研究

徐國東, 郭 鵬， 李雪梅， 賈穎穎

(1.陜西師范大學 國際商學院，陜西 西安 710119; 2.西北工業大學 管理學院，陜西 西安 710072; 3.南京航空航天大學 經濟與管理學院，江蘇 南京 211106)

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角度化灰色T型關聯度模型及應用研究

徐國東1, 郭 鵬2， 李雪梅3， 賈穎穎2

(1.陜西師范大學 國際商學院，陜西 西安 710119; 2.西北工業大學 管理學院，陜西 西安 710072; 3.南京航空航天大學 經濟與管理學院，江蘇 南京 211106)

通過對現有灰色關聯度模型及算法的分析，首次提出了角度化灰色T型關聯度模型。在分段線性表示的基礎上，使用相鄰線段間的夾角構成的角度序列近似表示時間序列，并給出了相關灰色關聯系數和灰色關聯度的計算方法。角度化灰色T型關聯度模型不僅能夠反映序列的正負相關關系，并且滿足對稱性、唯一性、可比性和規范性等性質。最后，通過實證分析證明了該模型的實用性和有效性。

灰色系統理論；角度化；灰色T型關聯度；時間序列

0 引言

以往的研究中，多因素統計分析往往采用傳統的相關或回歸方法[1]，但在現實中有時存在著大量樣本數據有限、波動較大且缺乏典型分布規律的數列[2]，即在實際決策中廣泛存在著一些不精確與不確定性問題，決策信息的不完備性與決策問題的復雜性使得決策者往往無法給出精確的判斷值[3]，為此，往往需要借助某種模型或算法對決策對象進行比較[4]，并對對象間的關系進行刻畫，以此實現對決策的指導，而灰色系統理論(GRT)為我們提供了一些解決這類問題的思路和方法。該理論以“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”的不確定性系統為研究對象，通過對“部分”已知信息的有效挖掘，最終實現對系統運行行為、演化規律的正確描述和有效監控[5]，作為灰色系統理論中十分活躍的一個分支[6]，灰色關聯分析已逐漸成為該理論分析、建模、預測與決策的基石[7]。并且由于該方法具有簡單、實用及可操作性強等優點[8]，目前，已被廣泛應用于經濟、社會、工業、農業、礦業、交通、教育、醫學、生態、水利、地質、航空航天等眾多領域[9]，解決了這些領域中的眾多決策性問題[10]，并已成為灰色系統理論中應用最廣、成果最多的分支之一[7]。灰色關聯分析的基本思想是根據序列曲線幾何形狀的相似性來判斷不同序列之間聯系的緊密程度[11]，具體操作中主要依靠線性插值的方法將系統因素的離散行為觀測值轉化為分段連續的折線，進而根據折線的幾何特征構造測度關聯程度的模型。

圍繞灰色關聯分析的基本思想以及鄧聚龍教授提出的灰色關聯公理，學者們紛紛提出了若干灰色關聯模型，這些模型對于推動灰色系統理論的發展起到了重要作用。縱觀灰色關聯模型的發展歷程，主要有以下三個方面的特點：(1)研究范圍上，從曲線之間的關系分析拓展到曲面之間的關系分析，再到三維空間立體之間的關系分析，乃至n維空間中超曲線之間的關系分析；(2)研究內容上，從早期基于點關聯系數的灰色關聯分析模型到基于整體或全局視角的廣義灰色關聯分析模型；(3)研究方法上，從基于接近性測度相似性的灰色關聯分析模型，到分別基于相似性和接近性視角構造的灰色關聯分析模型[6]。在這一歷程中，比較有代表性的學者如梅振國按照因素的時間序列曲線的相對變化態勢的接近程度提出了絕對關聯度模型及計算方法[12]；唐五湘基于時間序列曲線變化態勢的接近程度提出了T型關聯度模型[13]；王清印教授結合事物之間位移的同一性、差異性等因素，提出了B型關聯度和C型關聯度模型[14]；黨耀國根據時間序列曲線斜率之間的接近程度提出了斜率關聯度[15]；劉思峰等根據兩條序列曲線之間所夾面積的大小不同作為衡量兩序列間關聯性的大小，并在此基礎上提出了廣義關聯度的概念[16]；張可以三維空間中的面板數據為應用背景，提出基于矩陣的擴展灰色絕對關聯度[17]。

歸納起來，以上這些研究的出發點主要基于以下三個方面：(1)以距離定義為基礎的灰色關聯分析；(2)以斜率定義為基礎的灰色關聯分析；(3)以面積定義為基礎的灰色關聯分析。雖然這些研究成果對于推動灰色系統理論都有著不可估量的作用。但不可否認，有些模型仍然存在著不盡如人意的地方，如有些模型關聯度的值不具有唯一性[18]和對稱性[19]，有些模型不能滿足平行性和保序性[20]的特點，為此，有學者提出了一系列的改進措施，如孫玉剛、黨耀國提出的改進的灰色T型關聯度模型就很好地解決了傳統T型關聯度所存在的這些問題，但這些模型和方法仍然是基于以上三個出發點，為此，本文希望通過研究提出一個全新的視角，即從角度化的視角來實現灰色關聯度的確定。具體研究中，基于T型關聯度的理論和思路，從角度化的思想出發，以時間序列的不同分段之間構成的夾角序列作為標準化序列，然后利用(改進)T型關聯度模型的相關算法完成關聯度的計算。該模型在序列的標準化過程中，僅僅是以時間序列相鄰線段的長度作為計量基礎，規避了量綱等對算法本身的影響，從而在一定程度上保證了關聯度所具有的唯一性、平行性和規范性等性質，同時，該算法最大程度地利用了時間序列本身所包含的信息，從而更能保證計算結果的全面性和準確性。最后本文對幾種理財產品收益率的關聯性進行了相關分析與比較，以證明該模型的有效性。

1 角度化灰色T型關聯度算法介紹

本文所提出的灰色角度關聯度的計算是以T型關聯度作為理論基礎，將傳統的灰色關聯度的計算轉化為不同分段函數之間的角度算法。該方法的基本思想與傳統的(改進)T型關聯度基本思想一致，都是按照因素的時間序列曲線角度相對變化態勢的接近程度來計算關聯度。

1.1 時間序列的角度集表示

時間序列屬于典型的離散型數列，對于離散型數列的表示，當前學者們也提出很多方法，本文主要采用分段線性表示的方法，對時間序列進行量化。分段線性表示(PLR)是一種針對時間序列特征提取和維數約簡的重要方法。對于時間序列而言，由于具有固定的觀測點，因此，可以認為它是一種自適應性的分段線性表示，這種分段方式可以在分段線性表示的基礎上自動確定分段數量，基于這種方法，時間序列的分段線性可表示如下：

Xm={(xm(t1),xm(t2)),…,(xm(ti-1),xm(ti)),…,(xm(tn-1),xm(tn))}

(1)

其中，ti表示時間序列的觀測點(時刻)；m表示時間序列的個數；xm(ti)表示第m個時間序列在時刻ti時的測量值；(xm(ti-1),xm(ti))表示i第段直線的起點值和終點值(如圖1所示)。

圖1 時間序列的分段線性表示示意圖

定義1 在時間序列分段線性表示的基礎上，用相鄰線段間夾角構成的角度序列作為時間序列的角度表示方法，即定義Am={αm(t2)，αm(t3)，…，αm(tn-1)}為時間序列的角度序列。其中，n表示時間序列觀測點的個數；αm(ti)表示第m個時間序列相鄰線段(xm(ti-1),xm(ti))與(xm(ti),xm(ti+1))之間逆時針方向的夾角。

若假設βm(ti)表示第m個時間序列相鄰線段(xm(ti-1),xm(ti))與(xm(ti),xm(ti+1))之間順時針方向的夾角，則可以通過以下方法確定αi的值：

(2)

其中

1.2 增量序列的獲取

在增量序列獲取之前，參照文獻[13]，首先需要對角度序列均值化，

設

(3)

表示角度序列Am在時點tk-1到時點tk的增量的平均值

(4)

表示角度序列的均值化

zm(tk)=Δym(tk)=ym(tk)-ym(tk-1)

(5)

表示角度序列Am的增量，所有增量的集合將組成增量序列。

1.3 關聯系數與關聯度的計算

定義2 設[p,q]上存在兩時間序列，對應的角度序列分別為A1={α1(t2),α1(t3),…,α1(tn-1)}，A2={α2(t2),α2(t3),…,α2(tn-1)}，則定義它們之間的關聯系數如下：

(6)

在上式中，sgn(z1(tk)·z2(tk))主要是用來確定關聯系數ξ(tk)的符號，即當z1(tk)·z2(tk>0時，關聯系數ξ(tk)>0，表示X1與X2在tk-1到tk這一時段內是同方向變化的，即正相關，反之亦然。

定義3 設[p,q]上存在兩時間序列，對應的角度序列分別為A1={α1(t2),α1(t3),…,α1(tn-1)}，A2={α2(t2),α2(t3),…,α2(tn-1)}，則稱

(7)

為時間序列的角度化型灰色關聯度。

1.4 角度集合的時間對等

圖2 時間序列時間對等示意圖

對于一組理想的時間序列，其觀測點應該具有時間對等的特點，但是在有些情況下，時間序列在進行分段表示以后，各端點對應的時刻以及每段對應的長度均不完全一致，因此有必要首先進行角度集的時刻對等才能進行更為嚴密的研究(如圖2所示)。

定義4 時刻對等過程就是按照角度序列的端點重新劃分對應匹配區間，使對應線段的橫坐標等長，并根據時間(角度)序列內部角度的相似程度調整其順序，以滿足算法的要求。并規定，對等時刻端點相鄰線段間的夾角為π。

例如：已知兩個時間序列的角度序列為(如圖2)：

A1={α1(t3),α1(t4)}，A2={α2(t2),α2(t5)}

進行時間對等過程以后，兩個時間序列分別增加了兩個角度，即α1(t2)=α2(t3)=α2(t4)=α1(t5)=π。在應用角度化T型關聯度模型時，還需要根據角度的相似程度調整相關角度的位置，從圖2中可以看出，α1(t3)與α2(t2)、α1(t4)與α2(t5)相似程度較高，基于此，進行時間對等后的兩個時間(角度)序列調整如下：

在進行時間對等以后，才可利用角度化型關聯度模型進行相關計算。

1.5 角度化灰色T型關聯度的特征

定理1 角度化灰色T型關聯度r具有如下性質：

(1)|r|≤1;

(2)對稱性，即r(X1,X2)=r(X2,X1);

(3)唯一性;

(4)可比性。

以上性質的證明過程如下：

性質(1)的證明：

性質(2)的證明：

由公式(5)(6)可知，若Z1(tk)、Z2(tk)不同時為0，

若Z1(tk)、Z2(tk)同時為0，r(X1,X2)=r(X2,X1)=1，即性質(2)成立。

性質(3)的證明：由公式(6)可知，對于給定的時間序列，區間[p,q]，Δtk以及ξ(tk)都是唯一的，因此，r也是唯一的。

性質(4)的說明：由性質(3)可知性質(4)也成立。

定理2 設存在兩個時間序列X1和X2，r(X1,X2)=1 的充要條件是X2(tk)=X1(tk)+c及k=1,2,…,n;c為常數)，此時序列X1與X2平行，且稱角度化T型灰色關聯度滿足規范性要求[13]。

證明 因為|r(X1,X2)|≤1

同理可證：r=-1?X2(tk)=X1(tk)+c?序列X1與X2平行。

其中：c=α1(t1)-α2(t1)。

2 角度化灰色T型關聯度模型應用

2.1 實例分析

自從支付寶依托天弘基金推出余額寶(YEB)以來，在一定程度上改變了中國金融界的格局，在不到一年的時間內，余額寶擁有會員超過4000萬，籌集資金超過2500億；在其影響下，其他一些機構也紛紛推出了類似的理財產品，如蘇寧易購依托廣發基金和匯添富基金推出了零錢寶(LQB)，騰訊微信也是依托匯添富基金推出了財付通(CFT)。但是近一段時間投資者發現，余額寶及其他類似產品的收益率一直在走低，但幅度有所差別，在這種情況下，原先在余額寶投資的會員是繼續投資于此還是轉移陣地呢？這一問題的解決就可以借助于角度化T型關聯度模型。具體研究中，本文將對這三種理財產品2014年3月份的收益率進行分析，以得出相關結論并證明該模型的有效性。

表1 四種理財產品三月份收益率統計表

數據來源：余額寶、零錢包及財付通網站。以上數據均為七日年化收益率(100%)。

應用公式(2)，可以得到相應的夾角序列，如下表所示。

根據公式(3)、(4)、(5)、(6)可得到關聯系數ξ(tk)的值(鑒于篇幅的原因，此處將余額寶作為基準序列，求得其他理財產品與余額寶的關聯系數)如下表所示。

表3 余額寶與其他三種產品的關聯系數

根據公式(7)，可以得出相應的關聯度r。

2.2 結果討論

通過以上的計算結果可以得出余額寶與其他三種理財產品關聯度之間的關系為：

|rYL1|>|rYL2|>|rYC|

從結果來看，余額寶與零錢寶(廣發)之間關聯度的絕對值最大，但是由于其結果為負數，這說明其關聯度雖大，但是總體變化趨勢與余額寶趨于相反，且從圖3四種理財產品收益率的走勢來看，顯然余額寶與零錢寶(廣發)之間的走勢存在一定的相似性，但零錢寶(廣發)的波動較為劇烈，這也是導致它們之間存在負相關關系的主要原因。

相比之下，余額寶與其他兩種理財產品之間的關聯度均為正，說明他們之間的整體變化趨于同向，并且余額寶與零錢寶(匯添富)之間的關聯度最大，而與財付通之間的關聯度最小。因此，總體來看，余額寶與零錢寶(匯添富)之間的相似程度最大，而與財付通之間的相似程度相對較小，圖3也能證明這一點。

圖3 四種理財產品收益率走勢圖

同時，為了進一步證明以上結論的有效性，參照文獻[7]提供的方法，以該案例為背景得出：rYL2=0.4060，rYC=0.0697，rYL1=-0.0401，從它們的絕對值關系來看，余額寶與財付通及零錢寶(廣發)之間的相似度相差不大，但是從圖3的走勢來看，雖然零錢寶(廣發)的波動不像余額寶及零錢寶(匯添富)那樣平緩，但是較財付通來說，它與余額寶之間的相似度顯然大于余額寶與財付通之間的相似度，為此，由文獻[7]提供的方法而得出的結果可能存在一定的誤差，為此，我們可得出，本文提出的角度化T型關聯度模型可能更為有效。原因在于本文提供的模型在由時間序列向角度序列轉化的過程中，多次利用了原始時間序列所包含的信息，即該模型更充分的挖掘了隱藏在時間序列內的數據，因此，結果可能也更為準確和客觀。

與現實情況相比，作為理性的投資者，在余額寶收益率持續走低的情況下，很多用戶進行了“資金轉移”，但是與基金、股票等投資產品相比，“寶類”產品依然具有投資風險低、收益可觀、資金支取靈活等優點，為此，很多投資者還是在“寶類”產品間進行資金轉移，面對“騰訊財付通”推出不久就已表現出強勁的活力，收益率一直居高不下，為此，很多消費者將資金轉移到了“騰訊財付通”這一產品上。這一“轉移”剛好可以用以上的結論解釋，首先，由于零錢寶(匯添富)與余額寶的關聯度最大，表明兩種產品的收益走勢基本類似，而單從收益率來看，零錢寶(匯添富)顯然低于余額寶，因此該產品并不是理想的轉移對象；其次，零錢寶(廣發)雖然與余額寶的關聯度為負數，且關聯度較大，但由于其收益波動較大，也不是理想的轉移對象；而財付通與余額寶的關聯度最小，并且從走勢圖來看，收益率顯然高于余額寶且比較平穩，因此，單從這三種理財產品而言，轉移到“騰訊財付通”這一產品上的確最為理想。

3 結束語

在傳統T型關聯度的基礎上，通過角度化轉換，實現了時間序列向角度序列的轉換，并進一步提出了灰色關聯系數和關聯度的計算方法。通過這種轉換，保證了灰色關聯度模型的對稱性、唯一性、規范性等特點，同時在角度轉化過程中更為充分的利用了原始數列中隱含的信息，進而保證了計算結果的準確性和有效性。但是在該模型中還有一些需要進一步完善的地方，主要體現在本文的研究實質上僅僅是在角度序列的獲取過程中使用了角度化轉換，在灰色關聯系數和關聯度的計算中仍然借鑒了傳統(改進)T型關聯度的計算方法，這可能是下一步需要深入研究的方向。

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Angle Grey T’s Relational Degree and Its Application

XU Guo-dong1, GUO Peng2, LI Xue-mei3, JIA Ying-ying2

(1.InternationalBusinessSchoolofShanxiNormalUniversity,Xi’an710119,China; 2.SchoolofManagement,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’an710129,China; 3.CollegeofEconomicsandManagement,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing211106,China)

The purpose of this paper is to develop a novel model called Angle Grey T’s Relational Degree based on the current grey relational model and algorithm, this model can enrich the theory of Grey Relational Analysis, and it can also be used to make predictions, make classifications and make decisions and so on. Employed the method of Piecewise Linear Representation (PLR), a time series can be approximately expressed as the form of angle series between adjacent line segments, and then the calculation methods of grey relational coefficient and degree are presented based on other studies in this paper. Angle Grey T’s Relational Degree model not only can show the correlation of positive or negative of different time series, but it has some characteristics including symmetry, uniqueness and comparability and so on. Finally, the validity of this novel model was to be proved through a case study.

grey system theory; angle; grey t’s relational degree; time series

2014- 05-18

國家自然科學基金資助項目(71272049)；教育部博士點基金資助項目(20126102110052)

徐國東(1982-)，男，山東臨沂人，講師，博士，主要研究方向：管理系統工程、統計分析、知識管理等；郭鵬(1962-)，男，陜西西安人，教授，博導，主要從事管理系統工程、項目評價、項目風險管理等研究。

N941.1

A

1007-3221(2015)06- 0192- 07

10.12005/orms.2015.0212