掌握基礎 提高能力

顏世波

中心對稱圖形在日常生活中極為常見，本章先是研究了圖形的旋轉，然后過渡到中心對稱與中心對稱圖形，進而到中心對稱圖案的設計，接著研究屬于中心對稱的四邊形——平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念、性質及判定，最后介紹了三角形中位線的有關問題. 從生活到實踐，從實踐到探索，從探索到發現，從發現到歸納，再把歸納的理論、總結的知識應用到實際問題中. 要掌握本章的知識，務必掌握以下幾個要點：

一、 旋轉的定義及旋轉對稱的理解

在平面內，將一個圖形繞一個定點旋轉一定的角度，這樣的圖形運動稱為圖形的旋轉，這個定點稱為旋轉中心，旋轉的角度稱為旋轉角.

【注意】將一個圖形繞一個定點按某個方向轉動一個角度，意味著圖形上的每個點同時都按相同的方向轉動相同的角度.

例1 下列現象中屬于旋轉的有（ ）.

①地下水位逐年下降；②傳送帶的移動；③方向盤的轉動；④水龍頭開關的轉動；⑤鐘擺的運動；⑥蕩秋千運動.

A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個

【分析】圖形的運動有三種：平移，翻折，旋轉. 其中①②屬于平移，而③④⑤⑥屬于旋轉.

【答案】C

【點評】本題考查的是旋轉的定義.

二、 中心對稱的定義及中心對稱的基本性質的理解

兩葉片圖，圖1左邊的葉片只要繞一定點，順（或逆）時針旋轉180°便會得到右邊的葉片，同樣右邊的葉片繞一定點，順（或逆）時針旋轉180°也會得到左邊的葉片，圖2風車的變換說法同上，這種旋轉變換也叫中心對稱變換. 這個定點是兩葉片任一對應點連線的中點，這個定點我們稱它為對稱中心.

【注意】中心對稱有一個對稱中心，將一個圖形繞對稱中心旋轉180°（特殊旋轉）后與另一個圖形重合.

例2 下列四組圖形中，屬于中心對稱的圖形是_____.

【分析】中心對稱的特征是將一個圖形繞對稱中心旋轉180°（特殊旋轉）后與另一個圖形重合.

【答案】①②③

【點評】本題考查的是中心對稱的定義.

三、 中心對稱圖形定義的理解

把一個平面圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心.

【注意】（1）中心對稱圖形有一個對稱中心，將這個圖形繞對稱中心旋轉180°，旋轉后的圖形能與原來的圖形重合.

（2）中心對稱圖形是對一個圖形來說的，是一個圖形所具有的性質.

（3）中心對稱與中心對稱圖形的區別：①中心對稱是指兩個圖形的關系，中心對稱圖形是指一個具有某種性質的圖形；②成中心對稱的兩個圖形的對稱點分別在兩個圖形上，中心對稱圖形的對稱點在一個圖形上. 中心對稱與中心對稱圖形的聯系：若把中心對稱圖形的兩部分看成兩個圖形，則它們成中心對稱；若把中心對稱的兩個圖形看成一個整體，則它是中心對稱圖形.

例3 在下列圖形中，屬于中心對稱圖形的是（ ）.

A B C D

【分析】確定中心對稱圖形的關鍵是：這個圖形繞圖形上的某一點旋轉180°后是否仍能與圖形本身重合. A繞中心旋轉72°與本身重合，B繞中心旋轉120°與本身重合，D為軸對稱圖形，只有C繞中心旋轉90°、180°均能與本身重合.

【答案】C

【點評】解此類題必須嚴格按照軸對稱及中心對稱圖形的概念、特征去判定.

四、 平行四邊形的定義、性質及判定的應用

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形. 平行四邊形用符號“?”表示. 如平行四邊形ABCD記作?ABCD，讀作“平行四邊形ABCD”.

【注意】（1）平行四邊形的定義有兩層意思：①是四邊形；②兩組對邊分別平行. 這兩個條件缺一不可.

（2）平行四邊形的定義是判定一個四邊形是否平行四邊形的重要依據之一.

例4 在?ABCD中，∠A∶∠B=2∶3，求∠A、∠B的度數.

【分析】由平行

四邊形的定義可知，對邊平行，相鄰的角是互補的，所以∠A+∠B=180°，由此可列式求出角度.

【答案】因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AD∥BC，所以∠A+∠B=180°. 又因為∠A∶∠B=2∶3，不妨設∠A=2k，則∠B=3k，即2k+3k=5k=180°，解出k=36°，所以∠A=2k=72°，∠B=3k=108°.

【點評】本題中已知∠A∶∠B=2∶3，只需根據已知條件再找出關于∠A、∠B的一組等量關系，即可列出方程.

例5 下列條件中，可以確定一個四邊形是平行四邊形的是（ ）.

A. 一組對邊平行，一組對角相等

B. 一組對邊平行，一組鄰角互補

C. 一組對邊平行，另一組對邊相等

D. 兩條對角線互相垂直

【分析】產生錯解的原因是沒有準確理解平行四邊形的判定條件. 在A中，由條件可知另一組對邊也平行.

【答案】A

【點評】產生錯誤的原因：（1）不能正確理解平行四邊形的性質；（2）錯誤地運用平行四邊形的判定條件.

五、 矩形的定義、性質及判定方法的理解

矩形的定義是學習矩形及其他知識的基礎，是考試的一個熱點，它既可以看做是矩形的性質，又可以看做是矩形的判別方法. 一個四邊形要滿足是矩形必須同時具備兩個條件：（1）四邊形是平行四邊形；（2）四邊形的一個角為直角. 兩者缺一不可.

【注意】（1）矩形的定義是建立在平行四邊形的條件下的，若給出的四邊形不是平行四邊形，就算給出一個角是直角，也不能判斷該四邊形是矩形. （2）矩形的定義也是矩形的最基本的判定方法，通常先說明一個四邊形是平行四邊形，再確定一個角是直角即可.

例6 下列命題正確的是（ ）.

A. 對角線相等的平行四邊形是矩形

B. 一組對邊平行，且有一個角是直角的四邊形是矩形

C. 對角線相等的四邊形是矩形

D. 對角線互相垂直平分的四邊形是矩形

【分析】本題考查的是矩形的判定. 所以同學們務必要理解判定一個四邊形是矩形的方法.

【答案】A

【點評】由于受到矩形的對角線相等的影響，誤以為“對角線相等的四邊形是矩形”.

六、 菱形的定義、性質及判定方法的理解

菱形的定義是最基本的概念，是得出其他相關知識的基礎，同學們必須熟練掌握. 該定義可以看做菱形的判別方法，一個四邊形只需滿足下列兩個條件便是菱形：（1）平行四邊形；（2）一組鄰邊相等. 這兩個條件也可以看做是菱形的性質，只要告訴某四邊形是菱形，便有該四邊形是平行四邊形，且一組鄰邊相等.

【注意】菱形是特殊的平行四邊形，特殊在邊這一元素上.

例7 在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，請添加一個條件，使四邊形ABCD是菱形，所添加的條件是_________.

【分析】解決菱形概念問題，必須緊扣定義.

【答案】AB=BC（或BC=CD或CD=AD）.

【點評】要注意菱形的定義.

七、 正方形的定義、性質及判定方法的理解

（1）正方形的定義有三個條件：①有一組鄰邊相等；②有一個直角；③是平行四邊形. 三個條件必須同時具備，缺一不可. （2）由定義可知正方形既是矩形，又是菱形.

【注意】正方形既是一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角是直角的菱形，如果缺少任何一個條件結論都是錯誤的.

例8 如圖4所示，四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，對角線AC與BD相交于點O，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加的條件是_________.

【分析】應該增加一個是矩形的條件.

【答案】AC=BD或∠ABC=90°（答案不唯一）.

【點評】正方形：既是矩形，又是菱形的四邊形.

八、 三角形中位線的定義及性質的理解

例9 如圖5所示，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，BE平分∠ABC的外角，且AE⊥BE.

求證：OE=（AB+BC）.

【分析】在?ABCD中，隱含了點O是AC的中點.延長AE交CB的延長線于點F，易證明點E是AF的中點，就可以利用中位線性質了.

證明：延長AE交CB的延長線于點F.

∵BE⊥AE，∴∠AEB=∠FEB=90°，

∵∠ABE=∠FBE，BE=BE，

∴△ABE≌△FBE，AE=EF，AB=FB.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，AO=OC，∴OE是△AFC的中位線，OE=FC，

∴OE=（FB+BC），∴OE=（AB+BC）.

【點評】三角形中位線是數形結合的典型范例，它的用途廣泛，能把大小關系與位置關系相互轉化，在運用時要與中線區別開.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆區外國語學校）