平行四邊形易錯題剖析

孫中興

同學們在學習平行四邊形時，是不是往往很簡單的題都容易做錯啊，這很正常，只要我們找出問題所在，就可以很輕松地避免出錯. 那么，下面的幾道例題中分析的問題你遇到過嗎？請你用心看一看，“有則改之，無則加勉”.

一、 看題不仔細

例1 國家級歷史文化名城——金華，風光秀麗，花木蔥蘢. 某廣場上一個形狀是平行四邊形的花壇（如圖1），分別種有紅、黃、藍、綠、橙、紫6種顏色的花. 如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列說法中錯誤的是（ ）.

A. 紅花，綠花種植面積一定相等

B. 紫花，橙花種植面積一定相等

C. 紅花，藍花種植面積一定相等

D. 藍花，黃花種植面積一定相等

【錯解】B

【剖析】審題不清是同學們在做題中經常遇到的問題，本題要求把錯誤的找出來，而不是正確的.

【正解】C

【點評】根據平行四邊形的性質可知GH、BD、EF把一個平行四邊形分割成四個小平行四邊形，我們知道，一條對角線可以把一個平行四邊形的面積一分為二，據此可從圖中獲得S黃=S藍，S綠=S紅，S （紫+黃+綠）=S （橙+紅+藍），根據等量相減原理知，S紫=S橙，依次就可找出題中的錯誤說法.

本題考查的是平行四邊形的性質，平行四邊形的一條對角線可以把平行四邊形分割成兩個全等的三角形，兩條對角線把平行四邊形的面積一分為四，同時充分利用等量相加減原理解題.

二、 性質糊涂用

例2 如圖2，線段BD是平行四邊形ABCD的對角線，E、F分別為BC、AD上任意一點，連接EF交BD于點P，判斷PE=PF.

【錯解】對.

【剖析】平行四邊形的對角線互相平分，而此處線段EF不是平行四邊形ABCD的對角線.

誤用中心對稱性質，將P點看作對角線BD的中點（對稱中心）.

【正解】錯.

【點評】本題主要考查同學們能否合理運用平行四邊形的性質，熟練掌握中心對稱與平行四邊形的性質是解決本題的關鍵. 如果添加AF=CE這一條件，結果又會怎么樣呢？請同學們自己思考.

三、 考慮不全面

例3 如圖3，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線分BC為3.5 cm和4.5 cm的兩部分，求平行四邊形ABCD的周長.

【錯解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠BEA.

又AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE，

∴平行四邊形ABCD的周長為[3.5+（3.5+4.5）]×2=23（cm）.

【剖析】錯解錯在思維形成定勢，忽略了在分成的兩部分中，BE可以為3.5cm，也可以為4.5cm，因此本題有兩解.

【正解】

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠BEA.

又AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE，

∴平行四邊形ABCD的周長為[3.5+（3.5+4.5）]×2=23（cm）或[4.5+（4.5+3.5）]×2=25（cm）.

【點評】本題涉及分類討論思想，這是數學中的一個重要思想.

例4 在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB=5，AC=2，則?ABCD的周長等于_______.

【錯解】20.

【剖析】本題是在未給出圖形的基礎上解題，首先要畫出示意圖形來分析、解決問題. 常見的錯誤是未進行分類討論，此錯誤是只考慮一種情況，或者答題者只畫了一種情況的圖形.

【正解】12或20.

解：如圖4所示：

∵在?ABCD中，BC邊上的高為4，

AB=5，AC=2，

∴EC==2，AB=CD=5，

BE==3，

∴AD=BC=5，

∴?ABCD的周長等于20；

如圖5所示：

∵在?ABCD中，BC邊上的高為4，

AB=5，AC=2，

∴EC==2，AB=CD=5，BE==3，

∴BC=3-2=1，

∴?ABCD的周長等于1+1+5+5=12.

則?ABCD的周長等于12或20.

【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質以及勾股定理等知識，分類討論是解題關鍵，畫出清晰的圖形是解決問題的基礎.

同學們在學習平行四邊形時，首先必須熟練理解圖形的性質和判定，其次要具有基本作圖能力，這樣才能幫助我們解決問題. 同學們，學習中解題錯誤并不可怕，可怕的是我們知道自己的問題，而不去正視問題.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆區外國語學校）