考慮交通量隨機波動的隨機用戶均衡配流模型

衛 翀，邵春福

（1.北京交通大學 城市交通復雜系統理論與技術教育部重點實驗室，北京100044；2.首都世界城市順暢交通協同創新中心，北京100124）

0 引 言

路網中交通量的隨機波動與路網運營質量緊密相關［1］，是建立交通配流模型時需要考慮到的一個重要現象。在以往的研究中，研究者們提出了多種可以在交通配流模型中描述交通量隨機波動 性 的 建 模 方 法。例 如，Cascetta［2］以 及Watling［3］提出了基于馬科夫鏈理論的逐日學習型交 通 配 流 模 型。Asakura等［1，4］，Shao 等［5］從OD 間交通需求隨機波動的角度出發討論了路網中 交 通 量 的 隨 機 波 動 性。Hazelton［6－7］基 于Hammersley－Clifford定理構建了一種遵循隨機效用理論并可以輸出路徑路段交通量統計特征的CSUE（Conditional stochastic user equilibrium）模型，但是該模型并不能給出交通量概率分布的具體形式，并且該模型的計算量會隨交通需求量的增加而增加。Watling［8］基于漸進均衡條件建立了廣義隨機用戶均衡模型（GSUE）并應用泰勒展開討論了模型的解法，但是該模型同樣不能明確交通量概率分布的具體形式。Wei等［9］討論了均衡網絡中交通量概率分布的情況，但是沒有考慮路網屬性的不確定性與交通量隨機波動性之間的關系。國內也有學者從交通系統演進的角度探討了交通量的隨機特性［10－11］，但是這些研究的目的并不在于探索均衡網絡中交通量的概率分布。在O－D 需求確定的隨機用戶均衡路網中路徑交通量的隨機性主要源于駕駛員的隨機路徑選擇行為和路網本身屬性的不確定性，并且交通量實質上是隨機變量，其概率分布的形式應在交通配流模型中得以明確體現。

本文提出了一種基于隨機效用理論，考慮到了隨機用戶均衡網路中交通量隨機波動性的交通配流模型，并開發算法根據模型反映出的交通量概率分布估計交通量的統計特征。

1 交通量的隨機波動性

1.1 通行能力確定的情況

下面將從隨機效用理論出發逐步推導出隨機用戶均衡路網中交通量的概率分布。基于隨機效用理論，可用下式來描述路徑選擇問題：

式中：P（subi｜ci）是一個條件概率，ci為駕駛員i的路徑選擇結果，subi表示駕駛員i服從隨機用戶行為（Stochastic user behavior）［7］。隨機用戶行為的定義如下：駕駛員選擇了一條他或她所感知的效用最大的路徑的這樣一種行為被稱為隨機用戶行為。應注意式（1）中條件概率的前提條件僅僅表明駕駛員的路徑選擇結果是ci；另一方面subi僅僅表示了駕駛員選擇路徑的行為規則，但是并沒有包含路徑選擇結果的信息。如式（1）所示，駕駛員i的路徑選擇結果是ci這一條件已給定的前提下subi可以被等價地表達為Uci＞Uh?h，hci，其中Uh為路徑h的隨機效用，隨機效用的可觀測部分Vh由路徑行程時間決定，εh為駕駛員對路徑行程時間的感知誤差。

接下來在交通網絡的背景下進一步擴展式（1）。為了方便起見，用I來表示網絡中所有駕駛員集合；用向量c表示cj?j∈I，即網絡中所有駕駛員的路徑選擇結果；用R 表示網絡中所有路徑的集合；用向量f 表示路徑交通量集合。參照式（1），當所有駕駛員的路徑選擇結果c為給定條件時，駕駛員i服從隨機用戶行為這一事件的概率可以表示為：

式中：Vh（c）為根據所有駕駛員的路徑選擇結果所確定下來的可觀測效用。具體來說，Vh（c）包含了下面一系列的關系：由于路徑交通量是路徑選擇結果的疊加，所以根據c可以計算出路網中的路徑交通量f，并且這個結果是唯一確定的；根據路徑交通量又可以計算出每條路徑的行程時間，路徑的行程時間進而又決定了Vh的值。

在隨機用戶行為的基礎上，Hazelton［7］指出隨機用戶均衡可以表達為：當路網上所有的駕駛員都服從隨機用戶行為時，路網處于隨機用戶均衡狀態。如果用sue 來表示路網處于隨機用戶均衡狀態，那么sue 可以等價地表示為subi?i∈I。當所有駕駛員的路徑選擇結果c 作為給定條件時，路網處于用戶均衡狀態這一事件的概率為：

式中：fr（c）為根據所有駕駛員的路徑選擇結果c所確定的路徑r的交通量；p（r｜c）為在路徑選擇結果c作為條件給定的情況下，路徑r的效用為最大這一事件發生的概率。

需要補充說明的是，式（3）中假設所有駕駛員都是同質的（homogeneous），也就是說如果ci＝cm。式（3）所顯示的概率實際上是路徑選擇結果的似然函數，應用貝葉斯定理可以從似然函數反過來推導出在路網已處于用戶均衡狀態這一條件給定的情況下路網上駕駛員路徑選擇結果是c的概率：

式中：駕駛員的路徑選擇結果是隨機變量，從貝葉斯統計學的觀點來看，P（c）可以被理解為是路徑選擇結果的先驗概率，這個先驗概率是一個均勻分布；P（sue）表示網絡處于用戶隨機均衡的概率，這一概率的值并不受路徑選擇結果c的影響。基于以上兩點原因，式（5）可以被改寫為：

對于一個交通配流問題，研究的重心在于分析交通量的分布情況，而不僅僅是掌握所有駕駛員的路徑選擇行為結果。交通量實質上是駕駛員路徑選擇結果的疊加，所以可以通過式（6）推導出網絡已處于隨機用戶均衡狀態下路徑交通量的概率分布。在開始推導之前，應該先注意到如果所有駕駛員的路徑選擇結果c已經給定，路網中所有路徑的交通量可以被唯一確定下來。但是反過來，如果網絡中路徑交通量給定，與之對應的路徑選擇結果c并不是唯一確定的，而是有M 種可能的情況。M 的計算公式為：

式中：f（c）為根據c算出的路徑交通量向量；?c：f（）c ＝f 表示所有可以使等式f（c）＝f 成立的路徑選擇結果；N 為網絡中OD 對的集合；Rn為第n 對OD 之間的路徑集合；qn為第n 對OD 之間的交通需求。

根據式（6）（7），網絡處于隨機用戶均衡狀態下路徑交通量為f 的概率可以表示為：

式中：

Vr（f）的可觀測效用是由與路徑交通量對應的路徑行程時間所確定的。

需要指出的是，式（8）所示的概率模型與Sheffi［12］提出的多項式概率模型是完全不同的。Sheffi模型中路徑行程時間是恒定不變的，不受路徑交通量大小的影響，所以其模型并非本文所討論的均衡模型范疇。

1.2 通行能力不確定的情況

式（8）反映了隨機路徑選擇行為與路徑交通量隨機波動性之間的關系。本文接下來進一步考察路網屬性的不確定性對路徑交通量隨機波動性的影響。這里僅討論路段通行能力的不確定性這一因素。但是提出的模型具有普遍性，其他因素可以通過相同的方法來考慮。

用s來表示路段通行能力并且設通行能力服從正態分布。用μ、σ分別表示該正態分布的均值和標準差。在交通配流問題中，sue、μ 和σ 被視為給定的條件，配流結果可以用條件概率P（f｜sue，μ，σ）來表述。推導P（f｜sue，μ，σ）和推導P（f｜sue）的思路類似，可以從P（sue｜c，s）開始討論。該概率表示如下：

式中：p（r｜c，s）表示在c和s作為給定條件的情況下，路徑r的效用為最大這一事件發生的概率，其中路徑的可觀測效用由c和s決定的。

通過P（sue｜c，s）可以進一步得到P（f，s｜sue，μ，σ），有：

式中：P（μ，σ）和P（sue，μ，σ）為常數，因為這些概率的值都不受f 和s影響；P（sue｜c，s）已經由式（10）給出；p（r｜f，s）表示在f和s作為條件給定的情況下，路徑r的效用為最大這一事件發生的概率；P（s｜μ，σ）表示給定均值和標準差的情況下路段通行能力為s的概率。

由P（f，s｜sue，μ，σ）可以最終推導出當sue、μ 和σ 為給定條件時，路網中路徑交通量為f 的概率：

式（12）給出了路徑交通量f所對應概率密度函數的一般形式，概率密度函數的具體表達將隨著與p（r｜f，s）相對應的路徑選擇模型的不同而變化。通過概率密度函數的表達式實際上并不能直觀地反映出路徑路段交通量的均值和方差等特征，因此本文將通過馬科夫鏈－蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo）算法來根據推導出的概率密度函數估計出交通量的均值和方差等特征。

2 交通量的統計特征

根據已知概率密度函數可以計算隨機變量的統計特征。式（12）反映了路徑交通量這一隨機變量所對應的概率密度函數。雖然該概率密度函數的形式較為復雜，但可用馬科夫鏈－蒙特卡洛算法［13－14］來估計交通量的統計特征值。馬科夫鏈－蒙特卡洛算法的數學基礎是馬科夫過程，Andrieu等［15］詳細介紹了該算法的基本原理。應用該算法可以產生一系列來自概率分布P（f｜sue，μ，σ）的隨機樣本。通過匯總這些隨機樣本便可以得到f 的統計特征值。然而，馬科夫鏈－蒙特卡洛算法在運行過程中需要計算式（12）所示的概率密度函數，因此會產生頻繁的積分計算。本文通過將數據擴張技術（Data augmentation）與馬科夫鏈－蒙特卡洛算法結合使用來避免積分計算。所設計的算法并不直接從概率分布P（f｜sue，μ，σ）中抽取f 的隨機樣本，而是從式（11）所示的聯合概率分布P（f，s｜sue，μ，σ）中抽取f和s的隨機樣本，然后用抽出的f的隨機樣本來估計出路徑交通量的均值和方差等統計特征。

以下用ft和st表示從P（f，s｜sue，μ，σ）中抽取的第t個樣本。用馬科夫鏈 －蒙特卡洛算法抽出ft和st的過程可簡要概括如下：

步驟1 抽出一個隨機數f＊，再從多維正態分布中抽取一個隨機樣本s＊，該多維正態分布均值為st－1，協方差矩陣是一個維數與st－1相對應的單位矩陣。

步驟2 計算

步驟3 以min（1，τ）的概率接受f＊，s＊為抽取的第t個樣本，即以min（1，τ）的概率設ft＝f＊，st＝s＊，以1－min（1，τ）的概率設ft＝ft－1，st ＝st－1。

在抽出第一個樣本ft、st之前需要設定一個初始值f0、s0，這個初始值并不影響抽樣過程，可以任意設定。在上述算法中f＊是來自一個多項式概率分布的隨機樣本。該分布的參數由ft－1決定，其概率密度函數為：

算法中P（ft－1｜f＊）的值可通過交換式（14）中ft－1和f＊的位置后進行計算。

重復上述步驟t次后產生的結果f1，s1，f2，s2，…，ft，st是從式（11）所對應的概率分布中抽取出的一組隨機樣本。

3 數值計算示例

本文用文獻［9］中的含有13個節點的路網測試了提出的交通配流模型。路網中有3 對O－D對，分別是點1到點2，點1到點3，和點4到點2。三對O－D 對之間的交通需求分別是50，30和30。本文中用下面的Logit模型來計算p（r｜f，s）的值并用β表示Logit模型的參數。在實際應用中β也可被設置為隨機變量［16］。

令β＝0.35，μ＝40，σ＝5。應用前文描述的馬科夫鏈 －蒙特卡洛算法，從概率分布P（f，s｜sue，μ，σ）中抽取一系列路徑交通量f 的隨機樣本。圖1和圖2用抽出的隨機樣本的直方圖展示了通過節點1，12，8，2的路徑和通過節點4，5，9，10，11，2的路徑所承擔交通量的概率分布情況。從這些輸出結果可以看出：提案交通配流模型可以完整地描述路網中交通量的隨機波動性，而不是像傳統的配流模型那樣僅輸出交通量的均值。基于馬科夫鏈－蒙特卡洛算法抽取的隨機樣本還可以進一步估計出交通量的統計特征，其中交通量的方差具體反映了交通量的隨機波動性。

圖1 經過點1－12－8－2的路徑所承擔交通量的隨機樣本直方圖Fig.1 Histogram of simulated samples for the route that visits node 1－12－8－2

圖2 經過點4－5－9－10－11－2的路徑所承擔交通量的隨機樣本的直方圖Fig.2 Histogram of simulated samples for the route that visits node 4－5－9－10－11－2

模型參數β和σ 實際上分別反映了路徑選擇行為的隨機性和路網屬性的不確定性。其中β為路徑選擇模型的參數，該參數的取值越大，表明駕駛員對路徑行程時間的感知誤差越小，即路徑選擇的隨機性越小。又由于路徑選擇結果與交通量之間存在疊加關系，所以β的值對交通量的方差是有影響的。為了考察這一點，設μ ＝40，σ＝5，分別計算了β等于0.2，0.4，0.6，0.8，1和1.2時路網中路段交通量方差的平均值。各個路段交通量的方差可以用馬科夫鏈－蒙特卡洛算法所抽取的隨機樣本來計算。圖3顯示了計算結果。從圖中可以看到：隨著β取值的增大，或者說隨著駕駛員對路徑行程時間的感知誤差的減小，路段交通量方差的平均值將逐漸減小。

在交通配流模型中σ表示路段的通行能力。σ變大會使路徑行程時間的不確定性變大，與之相關聯的駕駛員路徑選擇結果的隨機性也會隨之加大。

圖3 β的取值對路段交通量方差的影響Fig.3 Effect ofβon the variances of link traffic flows

為了考察σ的取值對路段交通量隨機波動性的影響，設β＝0.35，μ＝40，分別計算了σ等于2，4，6，8和10時路網中路段交通量方差的平均值。圖4為計算結果。從圖中可以看出：隨著通行能力不確定性的增大，路段交通量方差的平均值也隨之增大。從σ對路徑選擇結果的影響以及路徑選擇結果與交通量的關系可以看出，這種交通量方差逐漸增大現象本質上是由于路徑選擇結果的不確定性相應變大引起的。

圖4 σ 的取值對路段交通量方差的影響Fig.4 Effect ofσon the variances of link traffic flows

4 結束語

在處于隨機用戶均衡的道路網中，路徑交通量是隨機波動的，其所對應的概率分布可以運用貝葉斯定理根據隨機效用理論推導出來。基于馬科夫鏈－蒙特卡洛算法可以進一步計算出隨機用戶均衡網絡中路徑路段交通量的均值和方差等統計特征值。研究結果表明：駕駛員的路徑選擇行為以及道路通行能力的不確定性均會影響到交通量的隨機波動特性，這種影響在路徑交通量的概率密度函數中有明確的體現。數值計算結果顯示，當駕駛員對行程時間的感知誤差較大時或道路通行能力的不確定性較高時都會使得路徑路段交通量的方差變大。基于隨機效用理論所建立的隨機用戶均衡配流模型可以描述出交通量的隨機波動性，為交通網絡可靠性分析提供必要的信息。

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