超冗余多軸液壓振動臺的內力耦合控制

魏 巍，楊志東，曲志勇，韓俊偉

（1.中國工程物理研究院機械制造工藝研究所，四川 綿陽621900；2.哈爾濱工業大學 機電學院，哈爾濱150001）

超冗余多軸液壓振動臺主要用于大型結構件的地震及其他振動環境下的模擬試驗［1］。為了獲得更大的出力，這類多軸振動臺的液壓缸數量往往遠多于其控制的自由度數［2－5］。雖然冗余驅動有良好的承載能力，但是運動過程中各液壓作動器參數和特性的不一致以及安裝誤差等因素會使得各個驅動器之間產生很大的內力紛爭，這種內力耦合會降低系統的性能，減小激振系統的凈出力，嚴重時甚至會導致振動臺根本無法動作［6－8］。而超冗余振動臺由于具有更多的冗余自由度，因此其內力耦合的現象會更為嚴重。

內力耦合控制是指采用特定的控制策略來消除或減弱內力耦合，它是其他控制策略有效的基礎。關廣豐［9］提出壓力鎮定控制技術，其控制思想為液壓缸壓力同步控制思想，將液壓缸間壓力差別作為反饋量修正驅動信號，以達到減弱內力耦合的目標。Underwood［10］提出八自由度思想來解決冗余振動臺的自由度控制問題，在原有六自由度動作空間基礎上再引入兩個扭曲自由度，通過抑制這兩個自由度的輸出，達到抑制內力耦合的目的。這些方法在一定程度上起到了抑制內力耦合的效果，但是只適用于驅動冗余度比較小（冗余度為2）的情況，當冗余度較大時這些內力耦合抑制方法的效果將受到限制。傳統的壓力鎮定控制沒有對內力耦合空間進行分析，需要調整的控制參數與所需要的激振器數目相同，不適合驅動冗余度大的振動臺。本文將對超冗余振動臺的內力耦合空間進行分析，并在此基礎上對內力進行補償控制。

1 超冗余多軸液壓振動臺模型

本文中研究的超冗余多軸液壓振動臺的結構如圖1所示。12個液壓缸均布在x、y、z 三個互相垂直的方向。每個液壓缸通過兩個球鉸分別與上平臺和基礎相連。該超冗余多軸液壓振動臺的冗余度為6，其對應的俯視圖如圖2所示。

圖1 超冗余振動臺簡圖Fig.1 Hyper－redundant shaking table

圖2 超冗余振動臺的俯視示意圖Fig.2 Top view of hyper－redundant shaking table

1.1 機械系統模型

如圖1所示，動坐標系｛p｝與上平臺固連在一起，并隨著上平臺一起運動，而靜坐標系｛b｝固連在基礎上，始終保持不變。上平臺處于初始位置時，｛p｝與｛b｝的原點與上平臺的質心重合。超冗余多軸振動臺運動學的反解是通過給定上平臺的位姿計算出液壓缸的位移量，液壓缸的長度矢量為：

式中：li為第i個液壓缸的長度矢量；T∈R3×3為動坐標系｛p｝到靜坐標系｛b｝之間的旋轉變換矩陣；Ai∈R3為第i個上鉸點在動坐標系｛p｝下的坐標；為上平臺的平動位移；Bi∈R3為第i個下鉸點在靜坐標系｛b｝下的坐標。

對式（1）求導，可得上鉸點的運動速度vai為：

式中：lni為第i個液壓缸的單位方向矢量。

多剛體并聯機器人的動力學方程可以通過拉格朗日法、牛頓－歐拉法及虛功原理等不同的方法求解［11］。由于多軸振動臺的上平臺及負載質量遠大于各驅動缸的活塞桿質量，因此在求解其動力學方程時可以按照單剛體求解，本文采用凱恩法建立系統的單剛體動力學方程［12－13］：

式中：M（Θ）∈R6×6為上平臺及負載的質量矩陣；為離心力及科氏力系數矩陣；G（Θ）為重力項；fq∈R6為自由度空間的力系向量。

多軸振動臺垂直方向的液壓缸都有平衡缸系統，通過平衡缸的預先加壓來抵消上平臺及負載重力的影響。另外，多軸振動臺一般僅在零位附近做小幅值的振動，轉角很小，離心力及科氏力對系統的動態特性的影響可以忽略［14］。同時考慮到自由度空間的力系矢量可以由關節空間的力（即液壓缸的出力）轉換得到，式（5）可以變為：

式中：fa為12個液壓缸出力構成的力向量。

1.2 液壓系統模型

電液伺服系統由伺服閥和液壓缸組成，如圖3所示［15］。電液伺服閥的閥芯位移與給定電流之間可以用一個二階傳遞函數表示［16］：

式中：xv為伺服閥閥芯位移；ωv、ζv 分別為伺服閥的固有頻率和阻尼比；u為輸入電流信號；kv為閥芯位移與電流信號之間的比例系數。

圖3 電液伺服系統Fig.3 Electro－hydraulic servo system

按照零開口四通滑閥建立伺服閥的流量方程，流入液壓缸左腔的流量q1和右腔的流量q2分別為：

式中：cd為流量系數；w 為伺服閥節流窗口的面積梯度；p1、p2分別為液壓缸左腔壓力與右腔壓力；ps、pr分別為供油壓力與回油壓力；ρ為液壓油密度。

圖3中所示的液壓缸為雙作用對稱液壓缸，其左腔與右腔的流量連續性方程分別為：

式中：A 為液壓缸有效作用面積；l為液壓缸的伸長量；βe為液壓彈性模量；ctc為液壓缸的總泄漏系數；v1和v2分別為左腔與右腔的容積，表示為：

式中：v為液壓缸處于中位時腔室的容積。

液壓缸的輸出力fa為：

式中：Bc為液壓缸的黏性摩擦因數。

2 內力耦合空間分析

2.1 位移變換分析

對于冗余的多軸振動臺，系統的給定信號一般為負載在自由度空間的位姿信號Θ，包括平動位移和轉動位移。除了這部分自由度位移外，冗余自由度上的位移λ 則體現在上平臺的柔性變形上，這部分的變形是由系統的內力造成的。對于小位移的運動，由上平臺的位移（包括剛體自由度位移及變形位移）到液壓缸的位移可以由下面的線性公式表示［6］：

選擇S ∈R6×12為液壓缸位移到上平臺剛性位移之間的變換矩陣，則對于任意λ 有［5］：

式（17）對于任意λ 均成立，將式（17）及λ ＝0代入式（15）則有：

式中：I12∈R12×12為單位方陣。

由于變換矩陣C 不是方陣，因此，式（18）中S的解不唯一。本文選擇C 的最小二乘偽逆作為S的解：

式（20）表明D 由S 矩陣零空間的基底組成，矩陣D 不唯一。本文采用 Matlab 的命令函數null（S），通過奇異值分解的方法，以S 矩陣零空間的單位正交基底作為D 的解。

2.2 力變換分析

根據能量守恒原理，液壓缸驅動力所做的功等于上平臺剛體自由度空間力做的功與冗余自由度空間內力所做的功之和，即：

定義矩陣P ∈R6×12為液壓缸位移到變形位移的轉換矩陣，將式（17）及P 代入式（21），得到：

定義矩陣Q ∈R6×12為液壓缸出力到內力的轉換矩陣，則對任意fq有［5］：

式（23）對于任意fq均成立，將式（23）及fq＝0代入式（22）則有：

將式（22）左乘Q，結合式（23）得到：

與式（20）比較可得：

矩陣Q 即為液壓缸出力到冗余內力的變換矩陣。

3 內力耦合控制策略

由第2 節得到內力變換矩陣，引入控制量U：

由于矩陣D 和Q 均為正交向量組成，內力空間的基底互相垂直，且均為單位長度。各液壓缸的出力通過該矩陣合成的冗余內力為同一個度量空間。因此，kf1＝kf2＝…＝kf6。式（27）變為：

12個液壓作動器在上平臺的布置方式如圖2所示，其中1號與4號液壓缸之間的距離為1m；2號與3號液壓缸之間的距離為0.5m；5號與8號液壓缸之間的距離為1m；6號與7號液壓缸之間的距離為0.5m；9號與10號液壓缸之間的距離為1m。由此得到內力耦合控制策略中的各變換矩陣分別如下。

自由度分解矩陣C 為：

自由度合成矩陣S 為：

冗余位移分解矩陣D 為：

內力變換矩陣Q 為：Q ＝DT。

多軸振動臺的控制一般采用的是自由度零位線性化控制［7］，液壓缸的位移經過自由度合成矩陣變換為位姿反饋信號參與自由度閉環，自由度控制信號則經過自由度分解矩陣變換為電液伺服系統的伺服閥輸入信號。將內力耦合控制策略加入自由度零位線性化控制結構中，可以得到圖4所示的超冗余振動臺的整體控制框圖。液壓缸的壓力信號經內力變換矩陣轉為冗余內力參與內力閉環控制，內力控制信號經過冗余位移分解矩陣變為伺服閥輸入信號，將其與自由度零位線性化控制策略得到的伺服閥輸入信號進行合成，實現冗余內力的解耦控制。

圖4 超冗余振動臺的整體控制策略Fig.4 Overall control system of hyper－redundant shaking table

4 仿真分析

在Simulink下，根據液壓系統模型和機械系統模型建立超冗余多軸振動臺的仿真模型，并搭建圖4所示的振動臺整體控制策略。由于本文超冗余振動臺的頻寬為40Hz，因此選擇1ms的定步長為模型及控制算法的仿真周期，仿真采用Runge－Kutta解算器。仿真模型中的參數如下：上平臺及負載質量為1000kg；伺服閥固有頻率為628rad／s；伺服閥阻尼比為0.5；液壓缸黏性阻尼系數為10000N／（m·s－1）；液壓缸有效作用面積為18.849cm2；供油壓力為1.8×107Pa；油液彈性模量為6.9×108Pa；油液密度為845kg／m3；流量系數為0.64；液壓缸總泄漏系數為4×10－12m3·s－1·Pa－1。

在x 方向給定幅值5mm，頻率5Hz的正弦信號進行仿真分析。當各個液壓缸參數相同時，x 方向四組液壓缸的出力及合成的內力如圖5所示。x向各缸的出力相同，內力空間合成的內力很小，這時的內力是由于系統零位線性化控制誤差造成的。

將x方向的4個液壓伺服系統分別設置不同的增益（k1＝1.02、k2＝0.98、k3＝0.99、k4＝1.01）來模擬液壓缸在工作過程中的不一致。不采用內力耦合控制策略時，x 向各液壓缸的出力及合成的內力如圖6所示。與圖5對比可知，各液壓缸之間動作的不一致使得超冗余振動臺產生了內力，在同一給定位移下，液壓缸需要更大的出力來平衡內力的作用，液壓缸的最大出力由1100 N 提高到了2000N，增大了近一倍。

圖5 相同參數下液壓缸出力及合成內力Fig.5 Cylinder and internal forces under same parameters

圖6 不同參數下液壓缸出力及合成內力Fig.6 Cylinder and internal forces under different parameters

采用本文提出的內力耦合控制策略時，x 方向各液壓缸出力及合成的內力如圖7所示。對比圖6和圖7可以看出：采用了內力耦合控制策略后，內力矩陣合成的內力有了顯著的減低，最大內力降到了未采用耦合控制策略時的10%以下，x方向各液壓作動器的出力也趨于一致，并且降低到各缸參數一致時的出力大小。

5 結束語

提出了一種改進的內力耦合控制策略，用來降低超冗余液壓振動臺在運動過程中由于液壓作動器參數不一致導致的內力耦合現象。通過對上平臺自由度空間和冗余度空間的分析，得到了內力耦合空間的正交基底，并在此基礎上給出了只有一個控制參數的內力補償控制策略，與傳統的壓力鎮定方式相比，該控制策略顯著簡化了參數調整過程，更容易實現內力耦合的最優控制。基于液壓系統非線性和機械系統動力學模型的仿真試驗也表明，采用該內力耦合控制策略可以有效減小系統的內力，增大系統的凈出力，提高超冗余振動臺的運動能力。

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