非均勻噪聲下基于BOOTSTRAP和特征空間投影的信源數估計

郭立民，馮 凱

（哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，哈爾濱150001）

0 引 言

陣列信號處理在許多應用領域有著重要作用。信源數檢測作為信號參數估計的先決條件，是陣列信號處理中至關重要的問題［1－2］。最早的信源數檢測問題是采用假設檢驗，需要人為地設置門限［3］，因而人們提出了預先設定包含門限置信區間的檢測方法［4］。經典的信源數檢測方法以AIC和MDL 信息論準則為基礎［5］，AIC 準則缺乏一致性，MDL 準則是一致估計，但在低信噪比和小快拍數的情況下不能保證檢測性能。在文獻［6，7］中對MDL 準則做出一些修改來提高其檢測性能。近年來，為了適應更加真實的信號環境，提出了許多新方法：文獻［8］使用了觀測值的概率密度函數，在信息論準則的框架下從樣本協方差矩陣獲得樣本特征值，其缺點是在實際陣列系統中數據分布往往是未知的。一般的信源數檢測方法都假設噪聲為空間均勻的，噪聲的均勻性能夠完全利用數據協方差矩陣的特征值所包含的信息，然后實際的陣列噪聲往往是空間非均勻的，即各傳感器信道噪聲不一致時，使得大部分的算法失效。在文獻［9］中提到了空間非均勻噪聲下信源數檢測問題的模型。蓋氏圓方法［10－12］能夠適用于空間非均勻噪聲的環境，但其在信噪比較低時常常會產生欠估計或過估計，且需要對（M－1）×（M－1）階的矩陣特征值分解，而在波達方向估計中需要M×M 階特征值分解，因此在獲得波達方向是需要做兩次矩陣特征值分解，運算量過大。

在許多實際的系統中，高斯數據和大樣本數量的假設是無法滿足的［13］，所以本文提出了一種基于假設檢驗的替代方法。提出的假設檢驗以特征空間投影為基礎。零假設下的檢驗統計量的分布是使 用Bootstrap 方 法 來 估 計 的［14－15］，這 種 方法對高斯分布和大部分非高斯分布都是有效的，且其優點是估計在確定樣本數量下的經驗分布，而不是漸進分布。因此，提出新方法的優點是可以解決不滿足高斯分布和漸進分布條件下的問題。仿真結果表明，所提出的方法在少的樣本數量和低信噪比下，有較好的估計性能。

1 數據模型

設N 個遠場窄帶信號入射到由M 個陣元組成的均勻線陣，入射角為θ1，…，θN，陣元間距為d＝λ／2。信源數N 為未知估計量，則線陣接收的陣列信號為［9］：

式中：X（）t，S（）t 和N（）t 為均值為零的隨機過程，為陣列導向矩陣，S（）t 是信號矢量，N（）t 是噪聲矢量。

加性噪聲假設為零均值的空間非均勻白噪聲，其協方差矩陣滿足下式：

這里（）·H為矩陣的共軛轉置算子，空間非均勻噪聲各傳感器能量各不相同信號和噪聲假設是不相關的，且各自分布未知。陣列協方差矩陣為：

2 信源數檢驗

2.1 非均勻噪聲下的MDL準則

由于傳感器噪聲能量各不相同，令陣列的任意元素失效來減輕各傳感器噪聲的作用。簡單而不失一般性，第M 個傳感器失效，協方差矩陣進行分塊：

取M－1維方差的特征空間（即特征矩陣E，滿足EEΗ＝I 且RM＝EΣ′EΗ）構成酉變化矩陣［11］：

這樣酉變化之后的矩陣為：

矢量c的元素cm幅度值是蓋氏圓半徑［11］，其指出了特征值多樣性和特征矢量對應空間［16］：

從上式可以清楚地看出，兩個不同的圓盤，前N個半徑ρ1…ρN代表了信號子空間，最小的M－1－N 半徑代表了噪聲子空間。

當噪聲為空間非均勻的情況下，不能通過協方差矩陣的特征值排序來進行信號源檢測，我們用所包含的信息來代替。容易得到觀測數據的負對數似然方程為［17］：

式（5）定義的酉矩陣TTΗ＝I，我們可以用協方差變換矩陣RT代替式（8）中的R，省略獨立于N 的部分，最終我們推導得出的負對數似然函數變為：

根據文獻［5］，罰函數可以用來進行信息論準則的信源數檢測。一般，MDL 準則可以表達如下：

MDL準則的罰函數被定義為：

2.2 基于蓋世圓半徑的假設檢驗

在實際中，如果所有的蓋氏圓半徑都對應于噪聲空間，統計量T1i（半徑平方累計和）和T2i（算術均值和幾何均值的差異）將非常小（接近于0），否則會比零值大很多。根據這種變化，進行以下一系列獨立的假設檢驗［19］：

檢測從H0開始，當接收H0時意味著沒有信號源存在，信號源數目為N ＝0。如果H0被拒絕，那么相對的）被接受，意味著至少存在一個信號，然而沒有信息能夠說明具體存在幾個信號。因此，通過逐步進行假設Ηi，最大的蓋氏圓半徑的作用被減小。當某一假設被接受或者到達HM－2時，檢驗停止。

對于給定的顯著水平α，其含義為當前沒有信號存在時，正確檢測數信號源數目N ＝0的概率被維持在1－α。因此，每個假設都在顯著水平α下被檢驗。

2.3 提出的新方法

我們知道R 的M－N 個最小的特征值是噪聲方差的估計值，為了減小噪聲的貢獻，執行降噪運算，取RX＝R－γ2I，其中γ2為陣列信號樣本協方差矩陣最小的兩個特征值的平均值，即γ2＝

由式（3）得出：

式中：bi是A 的行矢量，陣列協方差矩陣可表示為：

式中：Σ和UC分別為陣列信號協方差矩陣特征值組成的對角矩陣和特征矢量矩陣。可以證明，經過降噪處理的陣列信號協方差矩陣為：

式中：Σ′為陣列信號的特征值減去噪聲功率估計γ2后組成的對角陣；UC與降噪前相同，UC可以表示為，其中ui是RX的特征矢量，RX的特征值從大到小排列，ui按與其對應的特征值的大小排列，求RX在UC上的投影UΗCRX，其i列為：

由于信號特征子空間與導向矢量在同一空間內，

各信號的功率常常是不等的，為了提高估計性能，對信號功率進行歸一化以消除各個信號功率不同對信源數估計產生的影響。投影還可以表示為：

由上式，功率歸一化后，RX在UC上的投影就是，因此我們可以用UC估計目標數。ui表示為：第m 行元素模的均值為：

如果特征矢量對應于噪聲空間，則檢測統計量T1i和T2i接近于零。進行下面的一系列獨立的假設檢驗。實際估計信源數從Η0開始，當前假設被拒絕時進行下一個假設，直到接受為止。

這里顯著水平與式（14）的假設檢驗的顯著水平α相同，表示當前沒有信號存在時，正確檢驗出N＝0的概率被維持在1－α。

2.4 Bootstrap對于分布的估計

進行假設檢驗的顯著度估計需要檢驗統計量的空域分布知識，Bootstrap方法用來進行零假設下的非參數估計［18］。使用Bootstrap方法可以避免對數據分布做出假設。如前文提到的，這個優點是非常重要的。Bootstrap方法的原理是數據樣本代表了真實分布的經驗估計。因此用Bootstrap 方法重新采樣的數據集進行推理。Bootstrap方法避免了小樣本情況下的漸進估計的錯誤。類似地，文獻［20］強調了改善復雜的檢驗統計量的經驗分布的估計問題，例如對更少的樣本進行重采樣。

這里Ti為從數據X（）t 得到的檢驗統計量，為從重采樣樣本得到的檢驗統計量。

文獻［20，21］給出假設檢驗的顯著度定義如下：

這里I（）· 為指標函數。因此，檢驗量為α，從i＝0開始，如果Pi≥α，那么Ηi被接受，否則，設i＝i＋1并且重復檢驗。

3 仿真結果

線性均勻陣列陣元數目為M ＝5，真實信源數為N ＝2，快拍數為L＝100，重采樣次數B＝100，檢驗量α＝2%信號波達方向為θ ＝，信噪比SNR＝10dB，且最差噪聲比WNPR＝10。

這里SNR 和WNPR 定義如下：

蒙特卡洛實驗次數為1000，除了特殊說明，假設信號和噪聲為高斯分布。

圖1為檢測器性能與信噪比的關系對比圖。信噪比從－15dB變化到20dB，快拍數為100，可以看出，檢測器性能隨著信噪比的增大而提高。在非均勻噪聲的情況下，AIC 和MDL 信息論準則失效。在低信噪比下，所提方法的性能優于GBootstrap算法和NU－MDL 算法，同時在高信噪比下，新方法的檢測器性能略好。基于Bootstrap方法的檢測器因不需要任何數據分布的先驗知識而表現優異。

圖2為拉普拉斯信號和高斯噪聲，圖3為高斯信號和拉普拉斯噪聲，可以看出，當信號或者噪聲不滿足高斯分布時，NU－MDL的性能并沒有在高斯分布的情況下表現出來。基于Bootstrap方法的檢測器不需要對數據分布做出假設，當信噪比增加時，性能優于NU－MDL。新算法因對陣列協方差矩陣降噪處理，應用信號子空間和噪聲子空間的正交性，易于表征投影的大小區分信號和噪聲的貢獻，所以性能優于GBootstrap算法。新算法的檢測性能同高斯分布的情況下基本相同，說明了檢測器的魯棒性較好。

圖1 在非均勻噪聲下改變信噪比的檢測器性能Fig.1 Probability of detection against SNR

圖2 在拉普拉斯信號下改變信噪比的檢測器性能Fig.2 Probability of detection with Laplacian signals

圖3 在拉普拉斯噪聲下改變信噪比的檢測器性能Fig.3 Probability of detection with Laplacian noise

圖4 為信源功率不相等的情況下，檢測概率隨信噪比的變化。兩個信號的功率比為1∶2，信噪比以最小信號功率為基準，由圖可見，在信源功率不相等的情況下，新方法依然好于其他兩種方法。

圖5說明了快拍數對檢測器性能的作用。與預期的一樣，在快拍數變化時，基于Bootstrap方法的檢測器性能隨著快拍數增加而提高，當快拍數達到60時，正確檢測概率不再變化，趨于穩定。

圖4 信源功率不等情況下改變信噪比的檢測器性能Fig.4 Probability of detection with signal’s power different

圖5 改變快拍數的檢測器性能Fig.5 Probability of detection against sample size

圖6 改變WNPR 時的檢測器性能Fig.6 Probability of detection against WNPR

圖6 說明當WNPR 變化時的檢測性能。這里假設最小噪聲功率為0.1，最大的噪聲功率為0.1×WNPR，其他噪聲功率在最小噪聲功率和最大噪聲功率之間隨機取值。令WNPR 的值從1變化到45。注意到WNPR 接近1，此時最大噪聲功率和最小噪聲功率相等，相當于噪聲為空間均勻的，所以檢測概率最高。從圖中可以看出NU－MDL和GBootstrap方法檢測器T1對非均勻噪聲的敏感性。這里為高斯數據，所提出的新檢驗方法性能優于NU－MDL 算法和GBootstrap算法，當WNPR 小于15時，檢測器T1的檢測概率接近于100%，當WNPR 大于20時，新方法的正確檢測概率不會隨著WNPR 的變化而變化。

圖7說明了信號角度分辨率對檢測性能的影響。這里令θ1＝10°，并且θ2設置為從10°逐漸變化到26°。檢測性能隨著角度分辨率的增加而提高，注意到，角度分辨率大于6°時，用所提出的方法的檢測器T1是一致估計。

圖7 改變角度分辨率的檢測器性能Fig.7 Probability of detection against the angular resolution

圖8 說明陣元數目M 和快拍數L 對檢測器T1性能的聯合作用。快拍數從20變化到120，通過不同的陣元數目來衡量其性能。一般來說，檢測器的性能隨著L 增加而得到改善。另一個重要的觀測結果是M 的作用，實際上，隨著X（t）維度的增加，Bootstrap需要更大的“最小”快拍數來估計不同變量的經驗分布。因此，在L ≤70，M＝8的檢測概率要小于M ＝6。另一方面，在某一個數值（比如L ＝80），Bootstrap可給出更好的結果，當增加M 和L，其聯合作用明顯地改善了檢測器的檢測概率。

圖8 陣元和快拍數的關系以及檢測器T1 的性能Fig.8 Relation between M and Land effect on the T1detector’s performance.

4 結束語

文章提出了一種在空間非均勻噪聲下的信號檢測模型。這種模型基于信號空間和噪聲空間的正交性，提出了一系列假設檢驗，并且數據分布的先驗知識未知。所提出的檢驗統計量是基于特征空間的投影，其在空域下的分布用Bootstrap 方法進行估計。仿真結果表明，所提出的方法在少量樣本的情況下，性能優于其他算法，尤其當數據為非高斯數據，或者在低信噪比等不理想的條件下。當重采樣次數B 增加時，計算量增大，然而仍在計算機可處理的能力范圍內。因此，提出的檢測模型在信源數估計問題中，性能優于其他算法。

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