多種方法解“婦人洗碗問題”

張小艷

《張丘健算經》中有一道“婦人洗碗問題”：有一個婦女在河邊洗碗，旁人問她：“為什么洗這么多碗？”婦女說：“家里來了客人。”旁人又問：“有多少客人？”婦女回答：“2人共用一個飯碗，3人共用一個湯碗，4人共用一個肉碗，總共用了65個碗。你說說，有多少客人？”

這道題的解法很多，下面從不同的角度來分析。

【解法1】歸一法 因為“2人共用一個飯碗”，即平均每個人用飯碗個；“3人共用一個湯碗”，即平均每個人用湯碗個；“4人共用一個肉碗”，即平均每個人用肉碗個。因此，平均每個人共用碗++= （個）。再求出65里有幾個，就求出了客人的總數，即65€？ 60（人）。

【解法2】分組法 “2人共用一個飯碗，3個共用一個湯碗，4人共用一個肉碗”，最少要多少人才能保證用的各種碗都是整數個？我們知道2、3、4的最小公倍數是12，所以我們可以把12人編為一組。每組用飯碗12€？=6（個），湯碗12€？=4（個），肉碗12€？=3（個），共用碗6+4+3=13（個）。65個碗可供65€？3=5（組）人使用。因為每組12人，所以客人共有12€？=60（人）。

【解法3】假設法 因為客人的人數和碗的個數都應為整數，所以由“2人共用一個飯碗，3人共用一個湯碗，4人共用一個肉碗”可知，客人的總數應是2、3、4的公倍數，我們不妨假設是12人，則他們共用碗12€？+12€？+12€？=13（個）。按假設客人數求出的碗數（13）相當于實際碗數（65）的 ，說明假設的客人數也相當于實際人數的 ，因此客人共有12€？=60（人）。

【解法4】份數法 把肉碗數看作1份，那么飯碗數就是4€？=2（份），湯碗數就是4€？= （份），從而可知碗的總份數是2+1+ = （份），每份有碗65€？=15（個），即肉碗有15個。因為“4人共用一個肉碗”，也就是說客人總數是肉碗數的4倍，所以客人共有15€？=60（人）。

【解法5】比例法 因為“2人共用一個飯碗”，即平均每個人用飯碗個；“3人共用一個湯碗”，即平均每個人用湯碗個；“4人共用一個肉碗”，即平均每個人用肉碗 個。所以，每個客人所需飯碗、湯碗、肉碗的比是 ： ： =6：4：3，由此可求得65個碗中飯碗有65€？30（個），進而求出共有客人30€？=60（人）。

【解法6】方程法 設客人共有x 人，則他們用了 x 個飯碗，用了 x 個湯碗，用了 x 個肉碗，依題意可得方程： x + x+ x =65。解方程， x=60，即客人共有60人。

【解法7】列表法 因為客人的人數和碗的個數都應為整數，所以由“2人共用一個飯碗，3人共用一個湯碗，4人共用一個肉碗”可知，客人的總數應是2、3、4的公倍數，即12、24、36、48、60、72……。我們可以通過列表的方法找出正確答案：

從表中可以看出，當共用65個碗時，客人數是60人。