在課堂教學中展現數學的特點和文化

蔣培杰

只見樹木不見森林，細節多、思想少，不見學科本質，可以說是當今中學數學課堂普遍存在的弊端。有的中學把做題當成整個數學教學的重心，誤導學生周旋于難題、偏題和怪題之間，嚴重影響了學生對數學的學習興趣，并在一定程度上扼殺了學生創造性思維和創造性能力的發展。近年來，筆者嘗試在中學數學課堂教學中體現數學的特點、講述數學的文化及其與其他學科文化的相互聯系和影響，進而滲透數學發現的方法論，以提高學生的學習熱情，培養學生的數學能力和數學素養，收到了良好的效果。

一、在課堂教學中展現數學的應用特點

抽象性、精確性和應用的極端廣泛性是數學學科有別于其他學科的三大特點。尤其數學應用的極端廣泛性，最迫切、最應該為學生在課堂中認識到。在課堂中空泛地講“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，日用之繁，數學無處不在”是不行的，這些是學生無法切身體驗的。事實上，任何問題只要能用數學加以討論和解決，就會程度不同地發生實質性的變化。我國在優化、控制與統籌，設計與制造，質量控制，預測與管理，信息處理，大型工程，資源開發與環境保護，農業經濟和數學物理[1]等方面都貫穿了數學的應用思想。在課堂教學中，教師應結合課程目標和教學內容，適當地介紹數學的應用，培養學生用數學分析、解決實際問題的能力。

比如學生在課堂上學習錯位相減法有很多很好的素材，但大多與純數列相關，和實際應用結合得較少。學生普遍認為這個方法太繁瑣，而且沒有實際意義。事實上，這個方法是可以有一些實用性很強的例子的。

【例】某公司有一基建項目，分6個年度投資，每年末投入40 000元，預計6年后建成。若該項目的投資來自銀行貸款，貸款利率為10%，試問該項投資的投資總額是多少？[2]

教學建議：在計算這道題時，學生很有可能回答總額為40 000×6=240 000（元），這便是沒有考慮資金的時間價值。學生之所以會回答錯誤，是受了長期理想化的、與實際無關的應用題的訓練“熏陶”。如有必要，這時可以向學生介紹“普通年金終值”的概念，即每期期末收入或支出等額款項的復利終值之和。在解題的時候，我們可以設S為普通年金終值，A為每期的收付款項，n為記息期數，則：

S=A（1+i）0+A（1+i）1+A（1+i）2+A（1+i）3+…+A（1+i）n-3+A（1+i）n-2+A（1+i）n-1 （1）

兩邊同時乘以1+i，得：

（1+i）S=A（1+i）+A（1+i）2+A（1+i）3+A（1+i）4+…+A（1+i）n-2+A（1+i）n-1+A（1+i）n （2）

（2）-（1），得：iS=A（1+i）n-A 從而S=

本題A=40 000，n=6，i=10%，

故S==308624（元）。

顯然，這個結果與240 000元差別很大。我們這里使用的方法便是錯位相減法。課堂中也有學生直接用等比數列求和公式計算的，這當然很好，但我們應該讓學生明白，等比數列前n項和公式事實上就是由錯位相減法演變而來，如果學生還能體會到其中的類比和化歸思想那就更好了。

需要指出的是，得到本題的答案并不意味著這個案例的結束。本例的求解過程已經建立了一個模型，即普通年金終值的計算模型：S=。以后我們可以直接利用這個模型來進行計算。事實上，財務管理就是這么做的，財務管理里把叫做普通年金終值系數，并且就i和n的不同取值編制普通年金終值系數表，使用起來很方便。實際課堂教學中，將這些應用呈現給學生，引導學生思考數學應用的廣泛性，對于學生的成長是大有裨益的。

二、在課堂教學中講述數學文化及其與其他學科的相互關聯

數學與哲學、數學與藝術、數學與自然科學等等都有密切聯系[3]，它們之間互相影響、相互為用。中學數學課堂教學不能割斷這些聯系：牛頓之所以發明微積分，是他研究物理問題的需要；愛因斯坦的廣義相對論是建立在黎曼幾何的數學基礎上，并且其論證方法為數學中的公理化方法；伽利略用數學符號表達物理概念，并認定宇宙之書是用數學語言寫就的；孟德爾從概率論的角度在數量上研究豌豆，發現了遺傳學定律；意大利數學家沃爾泰拉在一戰后不久創立了生物動力學；數學家瓊斯在扭結理論方面工作突出，并因之獲菲爾茲獎，生物學家將這一理論成果應用到DNA分析上，對認識DNA結構產生了重大影響；數學家H.Hauptman僅用古典數學就解決了難倒現代化學家的晶體結構的謎，并因之獲得諾貝爾化學獎；三角形的任意兩邊之和大于第三邊，構成了美國三權分立的政權架構的基礎；馬爾薩斯斷言人口以幾何級數增長，而生活資料以算數級數增長，聲稱戰爭等災難是有益的；統計學家凱特勒發現人類幾乎所有精神和物理特征都呈正態分布；達·芬奇說欣賞他作品的人幾乎都是數學家；諾貝爾經濟學獎得主應用數學的程度與物理相當，數學方法在其研究中起著相當本質的作用……總之，數學作為一門基礎學科，與其他學科有著廣泛的聯系，且相互為用。那么，如何在課堂教學中體現這種相互關聯呢？

【例】如圖1，在彈性限度內，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置lm處，求克服彈力做功。

教學建議：對于彈簧變力做功問題，學生已經記得公式W=kx2，這里要引導學生思考公式是怎么得到的。在彈性限度內，拉伸（或壓縮）彈簧所需要的力F與彈簧拉伸（或壓縮）的長度x成正比，即F=kx，其中k是比例系數。下面，我們分析并解決這個問題。

用n+1個點x0，x1，x2，…，xi，…，xn，將拉長的長度l分割為等距的n小段，則每小段克服彈力做功近似為

Wi=kxi=k=k.

對n段功求和，得：

Wi=k=ki=k=kl2+kx2.

當分割足夠細的時候，這個和就充分接近我們要求的克服彈力所做的功W，即

W=Wi=（kl2+kl2）=kl2.endprint