高中數(shù)學(xué)中含參問(wèn)題的解題初探

喻金武

摘 要：近幾年的高考中，含參問(wèn)題出現(xiàn)的頻率越來(lái)越高，其涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，題目復(fù)雜多樣，它既是高考考查的熱點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn).以具體的例子介紹一些常見(jiàn)含參問(wèn)題的求解方法.

關(guān)鍵詞：參數(shù)；變?cè)环诸悾淮鷵Q

含參問(wèn)題一般是把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合在一起，綜合性強(qiáng)、解法靈活等特點(diǎn)成為近幾年高考及高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的熱點(diǎn)之一.含參問(wèn)題的解題方法是多樣的，涉及各種數(shù)學(xué)思想和方法，下面通過(guò)例子來(lái)展示各種解題方法.

一、變量易位

變量易位是含參問(wèn)題的一種重要解題策略.含參問(wèn)題，一般含有兩個(gè)或多個(gè)變?cè)覀冊(cè)诮忸}過(guò)程中可視其中一個(gè)為主元，其余都看作參數(shù)，可將多元問(wèn)題化為一元問(wèn)題，常常可以降低思維難度.變量易位可分為兩種：

1.主次元互換

一般的，把已知范圍的變量看作自變量，另一個(gè)看作常量.

例1.對(duì)于0≤p≤4的一切實(shí)數(shù)，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范圍.

分析：解決這個(gè)問(wèn)題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程實(shí)數(shù)根分布原理，這是比較復(fù)雜的.若把x與p互換一下角色，即將p視為變量，x為常量，則上述問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為關(guān)于p的一次函數(shù)在[0，4]內(nèi)大于0恒成立的問(wèn)題.

解：設(shè)f（p）=（x-1）p+x2-4x+3

當(dāng)x=1時(shí)，不滿足題意，

當(dāng)0≤p≤4時(shí)，f（p）>0恒成立，只要f（0）>0且f（4）>0

即x2-4x+3>0且x2-1>0解得x>3或x<-1.

2.多元問(wèn)題確定主元

例2.對(duì)任意a∈[-1，1]，函數(shù)f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值總大于0，求x的取值范圍.

解析：f（x）的表達(dá)式是以x為主元的，若按此思路做下去，就會(huì)被騙了，若以a為主元，則發(fā)現(xiàn)g（a）=f（x）=（x-2）a+x2-4x+4是以a為自變量的一次函數(shù).只要同時(shí)滿足g（1）>0及g（-1）>0即可，而

g（1）=（x-2）+x2-4x+4=x2-3x+2>0，g（-1）=（x-2）（-1）+x2-4x+4=x2-5x+6>0即x>3或x<1.

二、分段討論

合理分段討論是處理含參問(wèn)題的基本思路，含參問(wèn)題的字母取值范圍的求法通常需要用分段討論的方法來(lái)解決.

1.異元分類

例3.解不等式（log3x）2+（k+）x+1<0.

解：令log3x=t，則原方程可化為t2-（k+）t+1<0，即（t-k）（t-）<0，

當(dāng)k>即k>1或-1

當(dāng)k=，即k=k±1時(shí)，t∈？覫；

當(dāng)k<，即k<-1或0

故原不等式的解集為：當(dāng)k∈（-1，0）∪（1，+∝）時(shí)，x∈（，3k），當(dāng)k∈（-1，1）時(shí)，x∈？覫

2.同元分類

例4.設(shè)logx（2x+1）

解：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)x進(jìn)行分類：

當(dāng)03x>1解得x∈（，），當(dāng)x>1時(shí)，可得x>1且2x2+1<3x<1，解得x∈？覫，

綜上所述，x的取值范圍是（，）.

3.轉(zhuǎn)變視角

利用等價(jià)變形、函數(shù)奇偶性及公式的合理選用，變換視角去

解題.

例5.設(shè)f（x）是偶函數(shù)，x∈[-2，2]，且x∈[0，2]時(shí)，f（x）為減函數(shù)，解不等式f（1-a）

解：因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，則有f（-x）=f（x）=f（x）

從而不等式f（1-a）

又x∈[0，2]時(shí)，f（x）為減函數(shù)，所以1-a>a，-2≤1-a≤2，-2≤a≤2，解得-1≤a≤.

故原不等式的解集為{a？誆-1≤a≤}.

4.數(shù)形結(jié)合

有些問(wèn)題，僅限于數(shù)方面的考慮，在解決問(wèn)題時(shí)，過(guò)程較為繁瑣，若既能分析數(shù)式特征，又能揭示幾何意義，巧妙結(jié)合，則更有利于問(wèn)題的解決.

例6.設(shè)關(guān)于x的方程lg（ax-1）-lg（x-3）=1有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：原方程可化為：lg（ax-1）=lg10（x-3）從而ax-1=10（x-3）（x>3）

設(shè)y1=ax-1，y2=10（x-3）（x>3），其圖象分別為l1，l2，

如圖可知：當(dāng)

總之，對(duì)于含參問(wèn)題，因其覆蓋的知識(shí)點(diǎn)多，方法多，應(yīng)充分運(yùn)用到各種思維策略和方法.

參考文獻(xiàn)：

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編輯 張珍珍