一道解析幾何高考題的題源探究與拓展應用

徐曉宇

數學教科書中，很多例題和習題都有很深的背景，有進一步拓展其數學功能、發展功能和教育功能的可行性.教學中應盡力尋找高考題、模擬題在課本中的“影子”，充分挖掘教材中例題和習題的功能.

本文通過對2013年全國大綱卷數學理第8題的解法探究，尋找它在課本中的“影子”，追根溯源，并對題源進行簡單的探究與應用.

一、考題呈現

（2013全國大綱卷理8）橢圓C：+的左、右頂點分別為A1，A2，點P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[-2，-1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是（ ）

A.[，] B.[，] C.[，1] D.[，1]

筆者在高三二輪復習中，將本題給學生測試，結果基礎一般的學生沒有很好的思路，基礎較好的學生多數是通過取直線PA2斜率的臨界值，求得此時點P的坐標，進而求出直線PA1斜率的臨界值得到答案.這種方法雖然能解出此題，但運算繁瑣.

由此可見這樣一道高考題對普通學生的“殺傷力”有多大，同時也反映出我們在高考的復習中對教材的挖掘之淺，對課本例題和習題的研究浮于表面.

二、追根溯源

如圖，設點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-.求點M的軌跡方程.

分析：由題設易得點M的軌跡方程為：+=1（x≠±5）.

本題源于人教A版教材選修2-1第41頁例3，在平時教學中，多數教師只是告訴學生解法，而缺少對本題的探究，學生會很快忘了此題，更不會在考試中應用.接下來，筆者將對本題作一些探究.

三、題源探究

由上例結果發現點M的軌跡是橢圓（除左右兩個端點），其中點A，B恰是橢圓的左右頂點，直線AM，BM的斜率乘積kAM·kBM=

-=-=-.由此猜想橢圓上任意一點（除左右頂點）與左右頂點連線的斜率乘積為定值，引出探究1.

探究1：已知點A，B是橢圓+=1（a>b>0）的左右頂點，點M是橢圓上異于點A，B的任意一點.探究直線AM，BM的斜率之積的特點.

探究1：中點A，B為橢圓的左右頂點，若將點A，B換成橢圓的上下頂點引出探究2.

探究2：已知點A，B是橢圓+=1（a>b>0）的上下頂點，點M是橢圓上異于A，B的任意一點.探究直線AM，BM的斜率之積的特點.

由探究1，探究2發現，點A，B是長軸端點或是短軸的端點，橢圓上任一點M（異于點A，B）與這兩點連線的斜率之積為定值-.若將點A，B一般化引出探究3.

探究3：已知點A，B是橢圓+=1（a>b>0）上關于原點對稱的兩個點，點M是橢圓上異于點A，B的任意一點.探究直線AM，BM的斜率之積的特點.

通過上述三個遞進的探究，可得出如下結論.

結論1：若點A，B是橢圓+=1（a>b>0）上關于原點對稱的兩個點，點M是該橢圓上異于點A，B的任意一點.則直線AM，BM的斜率之積為定值，且kAM·kBM=-.

雙曲線與橢圓的標準方程具有相同結構形式，對于雙曲線也有類似的結論.

結論2：若點A，B是雙曲線+=1（a，b>0）上關于原點對稱的兩個點，點M是雙曲線上異于點A，B的任意一點.則直線AM，BM的斜率之積為定值，且kAM·kBM=.

四、拓展應用

應用結論1，2013全國大綱卷理第8題就迎刃而解了，大大簡化了運算，提高了準確率和效率.上述結論有著廣泛的應用，能有效地解決與頂點有關的一類問題.

例1.設橢圓+=1（a>b>0）的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點.

（1）若直線AP與BP的斜率之積為-，求橢圓的離心率； （2）略.

（2012年天津高考數學理19題）

分析：利用結論1得kAM·kBM=-，從而很快得到橢圓的離心率為.有必要指出的是，作為主觀題，一定要先推導出這個結論，不能直接應用.類似的問題也出現在2011年江西高考理的第20題，只是背景為雙曲線，利用結論2即可求解，讀者可自行查閱.

例2.已知橢圓C：+y2=1的左右頂點分別為A，B，點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線l∶x=分別交于M，N兩點.求線段MN的長度的最小值.

分析：此題設點S的坐標不易求解，由結論1可得kAS·kBS=-，不妨設直線AS的斜率kAS=k（k>0），易得點M（，），N（，），從而得到MN=+≥.

例3.已知橢圓C：+

y2=1，點M1，M2，…，M5為其長軸AB的6等分點，分別過這五點作斜率為k（k≠0）的一組平行線，交橢圓C于P1，P2，…，P10，則直線AP1，AP2，…，AP10這10條直線的斜率乘積為（ ）

A.- B.- C. D.-

（浙江省五校2014屆高三第二次聯考數學理試題9）

分析：此題中點A，B為橢圓的左右頂點，聯想到結論1，不妨將這10個點與點B聯結，不難發現kAP=kBP，kAP=kBP，kAP=kBP，kAP=kBP，kAP=kBP

所以kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP

=kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kBP·kBP·kBP·kBP·kBP

=（kAP·kBP）·（kAP·kBP）·（kAP·kBP）·（kAP·kBP）·（kAP·kBP）

==-.

例4.已知橢圓C：+=1的左右頂點分別為A，B過點D（1，0）的直線MN與橢圓C分別交于點M（x1，y1），N（x2，y2），其中y1>0，y2<0，問是否為定值？若是求出該定值；若不是，請說明理由.

分析：本題直接求解很難得出答案，但考慮到點A，B為橢圓的左右頂點，由結論1可知kAM·kBM=-，因為=，且kAM·kBM為定值，所以只需求得kAN·kAM為定值.又因為通過聯立方程組，由韋達定理易得kAN·kAM=-，從而得到==2.

五、解題反思

近幾年的高考試題與教材關聯越來越密切，很多試題的背景都來源于課本又高于課本.作為一名高中數學教師，對課本例題和習題要有針對性地進行探索發現，并作相應拓展，在師生共同研究的氛圍中提高學生分析問題、解決問題的能力.讓學生在探究中感受知識的活力，在感悟中發展自己的思維與能力，真正做到走出題海，讓學生感受到課本就是一個巨大的寶庫，最終走向研究性學習.

編輯 薄躍華