基于灰色馬爾可夫鏈模型的水質(zhì)預(yù)測

劉 冰

（遼寧省環(huán)境監(jiān)測實驗中心，遼寧沈陽 110161）

水質(zhì)預(yù)測是水環(huán)境研究的重要內(nèi)容，其目的是預(yù)測未來的發(fā)展趨勢，是水環(huán)境管理、保護和治理的一項重要的基礎(chǔ)性工作。目前，常用的預(yù)測方法主要有時間序列法、灰色系統(tǒng)模型法、回歸分析法、模糊分析方法、馬爾可夫鏈方法、小波分析方法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法等。在選擇了某種預(yù)測方法的同時，既接受了該方法的優(yōu)點，又默認了該方法的缺點。灰色模型預(yù)測由于其原始數(shù)據(jù)的起伏性和無序性，且原始數(shù)據(jù)的個數(shù)有限，難以將預(yù)測帶限制在一個較小的范圍之內(nèi)，導(dǎo)致灰色預(yù)測模型在大多數(shù)情況之下是粗糙的［1］。國內(nèi)外學(xué)者專家在灰色模型基礎(chǔ)上，進一步運用馬爾可夫鏈模型對其結(jié)果進行優(yōu)化，即用灰色模型預(yù)測曲線來反映其發(fā)展規(guī)律，用馬爾可夫鏈模型來反映波動規(guī)律，給出預(yù)測值的大體范圍，兩者相結(jié)合能很好地解決實際問題。筆者應(yīng)用灰色馬爾可夫鏈模型對太子河干流化學(xué)需氧量進行水質(zhì)預(yù)測。

1GM(1，1)模型

GM(1，1)模型是利用隨機過程中的潛在規(guī)律性建立灰色模型對灰色系統(tǒng)進行預(yù)測，是基于GM模型作出的定量預(yù)測。目前常用的灰色模型包括 GM(1，1)、GM(l，N)、GM(0，N)等。其中，GM(l，1)是基本預(yù)測模型，應(yīng)用最為廣泛。GM(1，1)模型的特點是利用單變量時間序列數(shù)據(jù)進行預(yù)測，將無規(guī)律的原始數(shù)據(jù)經(jīng)過生成后，使其變?yōu)檩^有規(guī)律的生成數(shù)列再建模［2］。筆者采用2002～2011年太子河干流化學(xué)需氧量的年度均值作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，對化學(xué)需氧量進行預(yù)測，以2012年數(shù)據(jù)驗證模型。2002～2011年太子河化學(xué)需氧量各年度均值分別為 22.7、24.2、25.5、22.4、22.4、22.7、17.3、16.3、11.9、11.4 mg/L。設(shè)原始數(shù)據(jù):X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))=(22.7，24.2，25.5，22.4，22.4，22.7，17.3，16.3，11.9，11.4)。

1.1X(1)為 X(0)的1 -AGO 序列X(1)=(x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n))。其中，為X(1)的緊鄰均值生成序列:Z(1)=(z(1)(1)，z(1)(2)，…，z(1)(n));z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1))，k=2，3，…，n)。X(1)=(22.7，46.9，72.4，94.8，117.2，139.9，157.2，173.5，185.4，196.8)。

1.2 對X(1)作準光滑性檢驗 由得 ρ(2)≈1.066，ρ(3)≈0.54，ρ(4)≈0.31 ＜0.5。當(dāng)k＞3 時，準光滑條件滿足。

1.3 檢驗X(1)是否具有準指數(shù)規(guī)律 由，得σ(1)(2)≈2.06，σ(1)(3)≈1.54，σ(1)(4)≈0.31。當(dāng)k＞3 時，σ(1)(k)∈［1，1.5］，δ=0.5，準指數(shù)規(guī)律滿足，可以對X(1)建立 GM(1，1)模型。

1.4 確定數(shù)據(jù)矩陣B，Y

1.5 建立GM(1，1)模型的微分方程

記系數(shù)向量=［a，u］T，用最小二乘法原理對求解=(BTB)-1BTYN。參數(shù)a稱為發(fā)展系數(shù)，它反映、發(fā)展態(tài)勢。

1.6GM(1，1)模型的時間響應(yīng)函數(shù)計算可得:

(t+1)= - 318.08e(-0.088k)+340.78。擬合結(jié)果見表1。

1.7 模型識別檢驗 由表1和表2［3］可知，化學(xué)需氧量的平均相對誤差為8.74%，為3級精度。用GM(1，1)模型預(yù)測化學(xué)需氧量，預(yù)測精度為3級，勉強合格，這就需要應(yīng)用馬爾可夫模型進行修正預(yù)測。

表1 擬合結(jié)果

表2 精度檢驗等級參考

2 灰色馬爾可夫模型步驟

該模型針對灰色數(shù)據(jù)序列首先建立GM(1，l)模型進行趨勢預(yù)測，然后利用馬爾可夫狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣預(yù)報方法對其預(yù)測值進行二次擬合，由GM(l，l)模型結(jié)果的一個預(yù)測數(shù)值，修正成為區(qū)間和概率組成的預(yù)測范圍，增加預(yù)測的可信性［4］。具體步驟如下:

2.1 建立 GM(1，l)模型)(t+1)= -318.08e(-0.088k)+340.78。

2.2 劃分狀態(tài) 根據(jù)GM(1，1)模型求出相應(yīng)的預(yù)測值(k)，然后求出殘差 ε=-，殘差相對值為 Δ=對殘差相對值進行狀態(tài)劃分，求出殘差相對值序列各值所對應(yīng)狀態(tài)，對殘差相對值序列建立馬爾可夫鏈模型。GM(1，1)模型的預(yù)測值和實際值的殘差相對序列Δ(k)的范圍為(-16.78%，21.76%)。對于殘差相對值序列算出樣本均值 ˉx=1.9和樣本均方差s=，采用均值-方差方法，根據(jù)實際情況，分成3個狀態(tài):E1=(-16.78%-0.5s］，E2=-0.5s+0.5s］，E3=(+0.5s，21.76%)。即:E1=(-16.78%，- 3.86%］，E2=(- 3.86%，7.66%］，E3=(7.66%，21.76%)。2002～2011年太子河干流化學(xué)需氧量年數(shù)據(jù)見表3。

表3 太子河干流化學(xué)需氧量序列級狀態(tài)

2.3 馬氏性檢驗

當(dāng) α 取 0.05 時((3 - 1)2)=0.871 1。＞((m-1)2)，所以太子河干流化學(xué)需氧量序列具備“馬氏性”。

2.4 計算轉(zhuǎn)移概率矩陣 計算一步轉(zhuǎn)移矩陣:

預(yù)測對象現(xiàn)在(2011年)處于狀態(tài)3，那么下一年的絕對分布:

于是2012年太子河干流化學(xué)需氧量最有可能處于狀態(tài)2或是狀態(tài) 3。根據(jù)，得出X(0)(11)∈(9.97，11.31)且概率為 0.5，處于區(qū)間(11.31，12.59)的概率為0.5。實際監(jiān)測中 2012 年太子河干流化學(xué)需氧量 11.4 mg/L∈(9.97，12.59)，結(jié)果在計算的范圍內(nèi)，比較準確。

3 結(jié)論

(1)使用GM(1，1)預(yù)測模型對太子河干流化學(xué)需氧量進行預(yù)測，預(yù)測精度為3級，勉強合格，主要是因為原始數(shù)據(jù)波動性較大。

(2)應(yīng)用灰色馬爾可夫鏈模型對太子河干流化學(xué)需氧量進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果是在一個區(qū)間范圍內(nèi)。灰色馬爾可夫鏈模型由GM(l，l)模型結(jié)果的一個預(yù)測數(shù)值，修正成為區(qū)間和概率組成的預(yù)測范圍，增加預(yù)測的可信性，提高了波動性較大的隨機變量的預(yù)測精度。所以應(yīng)用灰色馬爾可夫鏈對太子河干流化學(xué)需氧量進行預(yù)測是可行的。

(3)經(jīng)過預(yù)測，太子河干流化學(xué)需氧量年度均值是呈現(xiàn)下降趨勢，說明太子河治理措施取得了一定的效果，需要進一步整治。

［1］林曉言，陳有孝.基于灰色-馬爾可夫鏈改進方法的鐵路貨運量預(yù)測研究［J］.鐵道學(xué)報，2005，27(3):16 -19.

［2］鄧聚龍.灰色理論基礎(chǔ)［M］.武漢:華中科技大學(xué)出版社，2002.

［3］于慧，孫寶盛，李亞楠，等.應(yīng)用灰色模糊馬爾科夫鏈預(yù)測海河水質(zhì)變化趨勢［J］.中國環(huán)境科學(xué)，2014，34(3):810 -816.

［4］劉次華.隨機過程［M］.武漢:華中科技大學(xué)出版社，2001.