自適應三維分數階微分增強算法

余 婷，李明晶，趙九龍，馬 瑜，李 爽

(1.寧夏大學 研究生院，寧夏 銀川 750021；2.長春大學 電子信息工程學院，吉林 長春 130022；3.上海交通大學 圖像處理與模式識別研究所，上海 200240)

自適應三維分數階微分增強算法

余 婷1，李明晶2，趙九龍1，馬 瑜1，李 爽3

(1.寧夏大學 研究生院，寧夏 銀川 750021；2.長春大學 電子信息工程學院，吉林 長春 130022；3.上海交通大學 圖像處理與模式識別研究所，上海 200240)

針對三維數字圖像在重構預處理階段分辨率不高、模糊等影響重構精度的問題，提出了基于自適應三維分數階微分的增強算法。在將二維分數階微分推廣應用至三維的基礎上，嘗試性地基于圖像自身梯度信息和相鄰體素間梯度變化構造了自適應三維分數階微分階數，并給出了三維離散濾波模板。利用三維切片圖像自身梯度信息解決了不同屬性圖像及不同圖像區域最優的分數階微分階數不同的問題，提高了實時處理效率。將自適應增強算法應用至三維邊緣曲面追蹤算法，可以重構出精度更高的三維數字圖像。

三維分數階微分；自適應增強；梯度；重構；邊緣曲面追蹤

三維數字圖像相比于二維數字圖像有更大的參考和利用價值，因此三維數字圖像處理近年來得到了廣泛的研究。三維數字圖像的成像方式多為利用計算機斷層掃描(Computerized Tomography， CT)和核磁共振(Nuclear Magnetic Resonance， NMR)等手段獲取多組二維切片圖像，利用科學可視化[1-2]方法對多組二維切片圖像構成的三維切片進行三維重構。在重構與處理階段，有必要對模糊不清或分辨率不高的切片圖像進行增強預處理操作，以突顯人們更感興趣的區域或細節信息。

分數階微積分理論已經有很長的歷史，周激流、蒲亦非等將分數階微積分引入圖像處理領域，近年來有較多科研成果出現[3-5]。近年來分數階微積分在圖像處理中的應用越來越廣泛。由于分數階微分可以在增強高頻信號的同時，極大地非線性保留中低頻信號，所以相比于整數階微分，分數階微分可以增強圖像高頻細節的同時，可以很好地保留中低頻的紋理和灰度變化不大的區域。多數分數階微積分的算法在圖像處理當中多應用于二維數字圖像，本文在將分數階微分推廣至三維圖像(信號)的基礎上，繼續改進算法，提出基于三維圖像局部梯度和相鄰體素梯度變化的自適應三維分數階微分增強算法，實驗結果表明提出的算法可以取得較好三維增強效果。

1 分數階微分對信號作用分析

(1)

(2)

圖1 分數階微分對信號的作用曲線

由圖1可以看出，在高頻或超高頻部分即信號頻率ω?1 時，整數階微分和分數階微分對高頻信號都有提升作用，且整數階微分的提升效果更強；在信號低頻部分即信號頻率ω?1時，整數階微分和分數階微分對信號低頻部分都有削弱作用，且整數階微分削弱幅度更大，如二階的整數階微分的信號幅值已經趨近于0，而分數階微分仍能一定程度地保留原有信號；在信號中頻部分即頻率接近于1時，分數階微分作用后的信號更接近原信號幅值。由以上分析可以得知，相比于整數階微分，分數階微分在可以提升信號高頻成分的同時較好地保留信號中低頻成分，而且可以更大程度地保留信號低頻和甚低頻部分，而在數字圖像增強處理中，高頻信號對應需要增強的邊緣信息，中高頻信號可以看作紋理細節信息，低頻信號可以看作原圖像中灰度改變程度不大的平滑區域。進而在用分數階微分時可以在增強圖像邊緣等高頻信息的同時，最大程度地對原平滑部分做保留。

2 三維分數階微分定義及模板

基于Grümwald-Letnikov定義的二維分數階微分的后向差分表達式如下[4-5,7-8]

(3)

(4)

與一維分數階微分算子擴展到二維相似，二維分數階微分算子在考慮三維空間信息的情況下，基于離散傅里葉變換的可分離性，也可擴展到三維。根據式(3)和式(4)，以各坐標軸負方向為例可得到三維函數f(x,y,z)連續分數階微分算子

(5)

(6)

(7)

首先給出大小為5×5×5的三維分數階微分離散模板,如圖2所示。

圖2 三維分數階微分離散模板

圖2為5×5×5大小的三維分數階微分離散模板，圖中有5層切片，分別為中心待處理體素所在的Z層及其上方的 Z+1 層，Z+2層和下方的Z-1層，Z-2層。三維模板構成可以理解為以N0為中心，XY平面、XZ平面、YZ平面立體組合而成，也即3個二維模板組成一個三維離散模板。如圖所示選取與中心體素(centrevoxel)相鄰的18個方向為三維離散模板的有用體素，在XY平面即Z層，在X軸和Y軸，及X軸Y軸對角線的8個方向上，有N1～N16共16個體素點；在XZ平面從Z-2至Z+2的5層切片中，有N1,N2，N27，N28，N17，N18，N19，N20，N9，N10，N21，N22，N23，N24，N25，N26共16個體素點，在YZ平面同樣有N5，N6，N35，N36，N17，N18，N29，N30，N13，N14，N31，N32，N23，N24，N33，N34共16個體素點。

按照式(5)～(7)，模板中對應位置系數如下

(8)

三維分數階微分模板取18個方向， 18個方向的卷積結果如下

(9)

在計算卷積結果前要對三維離散模板內各系數做歸一化處理

(10)

將各系數帶入式(9)，求得18方向的卷積值后求和，如式(11)所示，最終D(i,j,k)即為三維分數階微分處理后的新體素值。

(11)

3 自適應微分階數構造

圖像中有很多反映自身特征的信息，如灰度值、像素梯度值等。梯度在圖像中反映了像素幅值變化的程度，利用數字圖像的灰度值梯度變化，進一步細化三維圖像灰度值的梯度和相鄰體素間梯度變化對于數字圖像的影響，構造基于梯度信息的自適應三維分數階微分階數，應用三維分數階微分模板對三維圖像進行遍歷卷積操作，達到增強圖像有用信息拉伸圖像對比度的目的。

在三維數字圖像中，各體素點最小距離為單位1，三維數字圖像的體素值即為離散的三維函數值，為便于數值計算和程序實現，對于離散的三維函數采用前向差分來計算梯度。

一階梯度不能全面反映三維數字圖像梯度變化，先在三維模板中定義梯度本身的變化為Cg，如圖2三維分數階離散模板所示，取步長為1和前向差分來計算梯度變化。

以圖2模板中待處理體素點X軸正方向為例，計算此方向上N0點的梯度，N0為要處理的體素點，N1，N2為Z層切片上X軸正方向上半徑為1和2的相鄰兩體素點。

設f(x,y,z) 為當前體素，顯然N1點為f(x+1,y,z)，N2點為f(x+2,y,z)。

當前待處理體素點N0的梯度為GN0=f(x+1,y,z)-f(x,y,z)，相鄰點N1的梯度為GN1=f(x+2,y,z)-f(x+1,y,z)。

則對于N0點在此方向上的梯度變化模值為Cg1，即N1與N0點梯度差值。如前文所述，模板中共有18個方向，Cg1表達式如下

(12)

以步長為2求得當前體素點在N1，N2方向的梯度模值為G1，同樣在上述模板中另有17個方向，G1表達式如下

(13)

各取18個方向中當前體素點梯度變化的最大值和梯度最大值進行后續計算，則表達式如下

(14)

由于指數模型在底數大于1指數為負時，整體指數值范圍在0～1之間，符合分數階微分的階數要求。由于此特性，采用以e為底的指數模型，當指數(次方)在不大于0時，指數整體值為不大于1的正數，滿足分數階微分對階數的要求，因此利用此特性，利用前述梯度變化和梯度值構造指數模型如下

(15)

式(15)中利用當前體素點梯度值和梯度變化模值構造了三維自適應分數階微分階數，對于不同的體素點，其所用的微分階數不同，且完全受自身體素梯度變化影響。對于三維數字圖像來說，當前處理區域為平滑區域時，式(15)中指數次方的分子也即梯度變化和體素梯度值均較小，所得v會相對較大，由分數階微分對信號作用分析可知，當信號頻率較小時，即當頻率為低頻時，較大的微分階數會相對降低低頻的幅值，這樣可以達到拉伸平滑區域體素與中高頻區域的對比度，達到增強的目的。對于中高頻部分的紋理細節和邊緣信息，梯度變化和灰度梯度值都較大，所得v比低頻平滑部分略小，仍可對高頻信息進一步增強，這樣從定性角度分析，以上自適應三維分數階微分可以依據圖像自身梯度信息對三維圖像自適應增強。

4 改進的邊緣曲面重構算法

4.1 邊緣曲面追蹤算法

三維邊緣曲面追蹤算法數學模型為[9-10]

(16)

4.2 基于自適應三維分數階微分增強的邊緣曲面追蹤算法

基于自適應三維分數階積分增強的邊緣曲面追蹤算法步驟如下：

1)利用自適應三維分數階微分對采集的三維切片圖像進行增強；

2)利用本節第一部分中介紹的算法追蹤三維邊緣曲面；

3)計算三維邊緣曲面片并將其三角片化；

4)通過計算機圖形學技術可視化三維邊緣曲面。

設三維圖像(數據)f(x,y,z)經自適應三維分數階微分增強后變為D(x,y,z)，從增強后的D(x,y,z)追蹤邊緣曲面，基于自適應三維分數階微分增強的邊緣曲面追蹤算法如下(對于邊緣曲面追蹤算法詳細描述見文獻[9-10])

(17)

5 實驗結果及分析

在構造了自適應三維分數階微分階數后，利用邊緣曲面追蹤算法對已經過分數階微分增強的D(x,y,z)通過VC++2010和OpenGL進行重構顯示，得到增強后的三維數字圖像。本實驗硬件環境CPU為Inteli3，2GHz，2GbyteRAM。

在二維數字圖像的分數階微分增強中，多數算法均只采用視覺定性分析來衡量算法的有效性，鑒于較成熟的三維經典算法較少，本章實驗結果與固定階分數階微分增強效果作對比，并采用視覺定性分析和圖像信息熵(comentrypy)結合評價增強效果。

香農首先提出信息熵的概念[11]。信息熵可以用來反映信息中信息量的多少，是信息論學科中的一個較為重要的概念[12]，顯然信息熵越大則其中包含的有用信息量越大。其定義如下

(18)

式中：p(x)為事件x發生的概率。在三維圖像中，圖像的信息熵可以表示為如下形式

(19)

式中：p(n)為像素級別n出現的概率，也可理解為三維圖像中體素點f(x，y，z)出現的概率；N為像素級別數，如8位圖像為256。

實驗首先選取數據規模為125×125×34的龍蝦圖像，切片圖像有34層，每層長于寬均為125。

圖3給出了龍蝦圖像經不同階數增強后，利用邊緣曲面追蹤算法重構后的結果。由于本文實驗源切片圖像本身灰度較低，且灰度變化范圍較小，故圖像細節變化不是特別明顯，在圖3a的待增強圖像中選取了3個區域進行著重對比分析，圖3c和圖3e分別經0.5階和0.7階增強后，重建后三維圖像的I區和II區均產生了噪聲碎片，且圖3e表面整體已經很粗糙，沒有達到較好的增強效果。圖3d經本文算法增強后，在III區對龍蝦爪的紋路等區域較好地進行了增強，且沒有圖3c和圖3e中的噪聲。通過表1中的信息熵值分析可知， 0.7階微分增強結果雖然熵值較大，其原因是增強出的噪聲干擾了熵值的計算，本文算法在獲得較好視覺效果的同時，也獲得了不錯的信息熵值。

圖3 不同分數階微分階數增強龍蝦圖像

分數階微分階數圖像信息熵0228205284本文自適應階數28507289

另一組實驗針對數據規模為160×120×29的牛頸骨三維切片進行增強，切片共有29層，每層大小為160×120，同樣隨機選取固定階次為0.2階，0.5階及0.8階的分數階微分增強效果與本章自適應增強進行對比。增強后利用邊緣曲面追蹤算法重構結果如圖4所示。

圖4 牛頸骨分數階微分增強結果

圖4給出了牛頸骨經不同階次分數階微分增強后的結果，圖4a原圖像中骨頭的紋路不是很明顯，對比度不高，所含細節較少。圖4b～圖4e均對原圖進行了不用程度的增強，圖4b中0.2階固定階次的分數階微分增強幅度明顯不夠，細節信息仍然不夠明顯，0.8階的微分增強圖像出現了過增強效果，整體灰度值較亮，仍然不能較好地體現出對比度。可以看出本文算法自適應增強后，與0.5階增強結果較為接近，但由于利用了圖像自身梯度信息和梯度變化，自適應地拉伸了灰度變化平緩區域與中高頻的對比度，所以圖像的紋路等細節更加明顯，也較好地達到了增強的效果。表2的信息熵值也可驗證以上觀點。隨機選取的3個固定階次分數階微分中，0.8階增強后信息熵值較大，但是其圖像本身給人的視覺感受并不是最好，整體骨頭紋路難以看清。本文算法在兼顧信息熵的同時得到了對比度明顯且細節較多的增強結果。

表2 分數階微分增強牛頸骨圖像信息熵

分數階微分階數圖像信息熵0239505400本文自適應階數40608410

6 結語

目前多數分數階微積分的算法都應用在二維數字圖像，針對三維數字圖像的增強算法較少。本文嘗試性地在利用圖像自身灰度值的梯度變化和梯度值本身，構造了自適應三維分數階微分階數的指數模型，利用三維分數階微分離散模板對三維切片圖像進行遍歷卷積，旨在利用圖像自身梯度特性有目的地增強感興趣區域。通過實驗分析可見，一定程度上實現了自適應增強，對于灰度變化平緩的區域，實現了算法設計之初適當降低平緩區域幅值，拉開與細節等中頻信息的對比度并增強中高頻信息的目的，通過信息熵的對比，提出的算法也能基本接近最優的固定階次分數階微分增強后的信息熵值，驗證了提出算法的有效性。

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責任編輯：閆雯雯

Adaptive 3D Fractional Differential Enhancement Algorithm

YU Ting1, LI Mingjing2, ZHAO Jiulong1, MA Yu1, LI Shuang3

(1.Graduate School, Ningxia University, Yinchuan 750021, China； 2. School of Electronic Information Engineering,Changchun University,Changchun 130022,China； 3. Institute of Image Processing and Pattern Recognition, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China)

Three dimensional(3D) digital slice images are usually not clear enough to be reconstructed. An adaptive enhancement algorithm based on 3D fractional differential is put forward. On the basis of extending 2D fractional differential to 3D, the adaptive 3D fractional order is constructed using the gradient and the variation of neighbor gradient, the 3D discrete filtering mask is also provided. The proposed algorithm can not only solve the problem of different images’ best fractional orders are different, but also increasing the enhancement efficiency largely. Adding the adaptive enhancement algorithm to 3D edge surface tracking algorithm can reconstruct higher accuracy 3D images.

3D fractional differential; adaptive enhancement; gradient; reconstruction; edge surface tracking

國家科技支撐計劃項目(2012BAF07B00)； 2012年寧夏自治區科技攻關資助項目(2012ZYG011)；吉林省教育廳“十二五”科學技術研究資助項目(2014302)

TN911.73

A

10.16280/j.videoe.2015.20.001

余 婷(1990— )，女，碩士，主要研究方向為分數階微積分；

李明晶(1977— )，女，副教授，博士，主要研究方向為圖像融合；

趙九龍(1989— )，本文通信作者，碩士生，主要研究方向為數字圖像增強及去噪、分數階微積分；

馬 瑜(1974— )，教授，博士，主要研究方向為計算機視覺與模式識別；

李 爽(1993— )，碩士生，主要研究方向為虛擬全景圖像增強技術研究。

2015-04-23

【本文獻信息】余婷，李明晶，趙九龍，等.自適應三維分數階微分增強算法[J].電視技術,2015，39(20).