一類具有二維捕食與被捕食關系的永久持續生存問題

祝占法

(陜西航空職業技術學院 文理學院，陜西 漢中 723102)

一類具有二維捕食與被捕食關系的永久持續生存問題

祝占法

(陜西航空職業技術學院 文理學院，陜西 漢中 723102)

利用誘導控制理論研究了具有二維捕食與被捕食關系的種群動力學系統，并對系統施加控制，得到了系統永久持續生存的控制律及控制區域。

捕食與被捕食；誘導控制；永久持續生存；誘導控制區域

1 問題的提出

Stanisla在1998年出版的《Control of Indefinite Nonlinear Dynamic Systems：Induced Feedback》中，用誘導控制理論研究了種群的永久持續生存問題，其研究對象是不考慮種群密度制約下的捕食與被捕食系統[1-2]：

(1)

其中ε1，ε2，r1，r2均為正數，N(N1(t0)，N2(t0))>0是系統的初始點，這里假設捕食者僅以食餌為生，且忽略密度制約的因素。

文獻[3]對該系統給出了4種不同的誘導控制，即

得到了相應的控制區域和控制函數。在其他文獻中也有此方面的研究[4-7]。本文將對其進行補充，給系統(1)施加另外的控制u1，u2，得到受控系統

(2)

下面運用誘導控制理論使系統(2)達到永久持續生存。

2 問題的解決

對于系統(2)，可以得出下面定理。

定理1 對事先給定的數σ>0，設

Ωσ={(N1，N2)∈R+M1-σ≤N1≤M1+σ，M2-σ≤N2≤M2+σ}，

(3)

其中M1-σ<ε2/r21，M2-σ>ε1/r12。則控制

分析：用誘導能控理論只需證明存在一個區域Ωσ={(N1，N2)∈R+M1-σ≤N1≤M1+σ，M2-σ≤N2≤M2+σ}，在有限的時間內，使得系統(1)的解進入區域Ωσ并保留在此區域中。

例3 點P為等腰三角形ABC內的一點，∠BAC=120°.且P到△ABC三個頂點A、B、C的距離分別為PA=a=1,PB=b=2,PC=c=2.求△ABC的面積.

考慮下面控制

其中K1>r12，K2>ε2，設

B1={(N1，N2)∈R+2∶‖N1-M1‖≤σ，N2>0}，

B2={(N1，N2)∈R+2∶‖N2-M2‖≤σ，N1>0}，

帶B1和B2相交的部分Ωσ(兩組虛線圍成的區域)如圖1所示。從圖1可以看出，第一象限被帶B1和B2分成4部分。按逆時針記為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ。

圖1 被B1，B2分割的區域

在部分Ⅲ中，有

在部分Ⅳ中，有

下面討論無論初始點(N10，N20)在哪個區域，系統(1)的軌線最終進入區域Ωσ。

2.1 對情況1的討論

2.2 對情況2的討論

如果點(N10，N20)在部分Ⅲ中，同樣，我們可以證明系統(1)的軌線進入帶B2中，且永久留在里面。

2.3 對情況3的討論

如果點(N10，N20)在部分Ⅱ中，系統(1)的線會出現下面3種情況之一。一是系統的軌線經過l2：ε1-r12N2=0后進入B中；二是系統的軌線經過N1=M1-σ后進入帶B1中；三是系統的軌線經帶B1進入區域Ⅲ中，接下來用情況2來處理。

2.4 對情況4的討論

如果點(N10，N20)在部分Ⅰ中，系統(1)的軌線會出現下面兩種情況之一。一是系統的軌線經過N2=M2+σ進入帶B2；二是軌線經過N1=M1-σ進入帶B1中。

無論哪種情況發生，系統(1)的軌線最終都會進入區域Ωσ。現在用反證法來證明這一結論。

圖2展示了系統(2)的軌線行為，從上面的定理可知：系統(2)的軌線最終會進入到一個遠離坐標軸的區域Ωσ，進而有下面的推論。

推論 如果定理1的所有條件成立，則系統(1)是永久持續生存的。

圖2 系統(2)的軌線行為

3 結論

通過本文的討論得出這樣的結論：對于同一個種群的動力學系統，如果給出不同的誘導控制區域，那么就可以找出不同的控制函數。所以誘導控制理論在種群動力學系統中應用的關鍵是確定誘導控制區域，尋找控制函數。從控制函數的形式，可以證明控制函數是連續的，同時可知，在Ωσ已知的情況下，如果u1，u2被施加在系統上，則可使得系統(1)的軌線進入Ωσ，即u1，u2是針對Ωσ的誘導控制，這就是誘導控制的具體含義。

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(責任編校：夏玉玲)

On Permanence of Two-Dimensional Predator-Prey Relationship

ZHU Zhan-fa

(College of Arts and Science， Shaanxi Aviation Professional Technical Institute，Hanzhong China， 723102)

In this paper， the induction control theory is applied to study the population dynamics system of two-dimensional predator and prey relationships， and the system is under control in order to obtain the control law and the control area for permanent survival.

predator and prey；induction control；permanent survival； induction control area

O152.8

A

1672-349X(2015)03-0016-02

10.16160/j.cnki.tsxyxb.2015.03.006