一類高階有理差分方程的全局漸近穩定性

張永玲

(蘭州交通大學 數理學院，甘肅 蘭州 730070)

一類高階有理差分方程的全局漸近穩定性

張永玲

(蘭州交通大學 數理學院，甘肅 蘭州 730070)

正平衡點；不變區間；全局吸引子；全局漸近穩定

研究有理差分方程

(1)

通過變量變換xn=βyn轉化為

(2)

下文主要研究方程(1)的全局漸近穩定性.

1 預備知識

(3)

它的特征方程是

且

且

引理1 對于差分方程

則

是方程

xn+1=mxn+nxn-k,n=0,1,2,…，

局部漸近穩定性成立的充分條件.

引理2 考慮差分方程

滿足以下條件

2 主要結論

設

則有

可得到m=-n.

由定義3知，方程(3)在平衡點處的線性方程為

特征方程為

證明:

(4)

定理證畢.

定理2 方程(2)有正的素二周期解.

證明:以下將考慮方程(2)的正的素二周期解.令…,φ,ψ,φ,ψ,…是方程(2)的一個素二周期解，φ和ψ是2個不相同的正整數.

如果k是偶數，那么yn=yn-k，則φ和ψ滿足以下條件

1) 若q-1<0，則φψ<0，無非負素二周期解，故舍去；

2) 若q-1>0，則rq-pq-r-3p≥0，方程(2)有素二周期解.

綜上所述，當且僅當k是奇數，rq-pq-r-3p≥0時，方程的素二周期解存在且唯一.

定理3 方程(2)的所有正解都有界.

對所有n≥0成立.

然后

對所有n≥k成立.定理得證.

定理4 (a)假設B≥Aα，f(x,y)那么是對每一個y關于x是遞增的，且f(x,y)對每一個x關于y是遞減的；

(5)

根據上面的結論和定義4，得到下面的引理.

引理3 假設

定理5 方程(1)有以下不變區間:

得到

故

有

故

有

故

所以

故

下面討論方程(1)的全局漸近穩定性

以下討論由引理4得出的5種情形下的全局吸引子.

等價于

Am2+BmM=m+αM，

AM2+BmM=M+αm，

則

又由

得到

根據定義2，定理1和定理6，得到下面的定理:

[1]KULENOVICMRS,LADASG,PROKUPNR.Arationaldifferenceequation[J].ComputersandMathematicswithApplications,2001(41): 671-678.

[2]TANGGuo-mei，HULi-xia,JIAXiu-mei.Dynamicsofahigher-ordernonlineardifferenceequation[J].DiscreteDynamicsinNatureandSociety， 2010，ArticleID534947.

[3]JIAXiu-mei,LIWan-tong.Boundednessandglobalattractivityofahigher-ordernonlineardifferenceequation[J].DiscreteDynamicsinNatureandSociety， 2010，ArticleID610467.

[5] DEHGHAN M, MAZROOEI-SEBDANI R.Dynamics of high-order rational difference equation[J].Applied Mathematics and Computation,2006,178:345-354.

[6] JIA Xiu-mei,HU Liu-xia,LI Wan-hong.Dynamics of a rational difference equation [J]. Discrete Dynamics in Nature and Society，2010,Aeticle ID 970720.

[7] DEHGHAN M, RASTEGAR N.On the global behavior of a high-order rational difference equation[J].Computer Physics Communications,2009, 180 (6): 873-878.

[8] 梁璐莎，陳斯養.中立型Logistic差分方程的Flip分支[J].云南師范大學學報：自然科學版，2014，34(1)：41-47.

(責任編輯 梁志茂)

The global asymptotic stability of a higher-order difference equation

ZHANG Yong-ling

(School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070, China)

This paper investigates the local stability，prime period-two solutions，boundedness，invariant intervals，and the global asymptotic stability of all positive solutions of the following difference equation

positiveequilibriumpoint；invariantintervals；globalattractor；globalasymptoticstability

2014-03-06.

國家自然科學基金(11461039，11061018);國家自然基金甘肅省級聯合基金(1212RJZA043);隴原青年創新人才支持計劃(252003)；蘭州交通大學青年基金(2011028).

張永玲(1988-)，女，碩士研究生. 主要研究方向：計算數學.

O

A

1672-8513(2014)06-0037-06