高超聲速邊界層的轉捩及預測

羅紀生

天津大學 機械工程學院， 天津 300072

高超聲速邊界層的轉捩及預測

羅紀生*

天津大學 機械工程學院， 天津 300072

首先描述了邊界層轉捩的基本過程及研究內容。在此基礎上，指出了高超聲速邊界層不同于不可壓縮邊界層的流動不穩定性特性，并介紹了邊界層的轉捩機理與感受性特征；給出了高超聲速三維邊界層中預測轉捩的常用方法，并著重介紹了多用于工程實際的eN方法以及對eN方法的理性改進，同時列舉了在高超聲速三維邊界層中應用eN方法實現轉捩預測的多個實例。最后，分析并總結了高超聲速邊界層轉捩預測所存在的困難及需要解決的問題。

高超聲速邊界層； 流動穩定性理論； 轉捩機理與預測； 感受性； eN方法

邊界層從層流向湍流的過渡稱為邊界層的轉捩，轉捩問題實際是湍流的起源問題，是流體力學長期關注但尚未解決的重要研究領域之一。邊界層轉捩是流動從有序到無序的轉變過程，其中存在許多非線性的演化過程。因此，作為基礎理論研究問題，轉捩機理引起了流體力學研究者的廣泛興趣。

在高超聲速飛行條件下，湍流的摩擦系數和傳熱系數要遠大于層流的相關系數，邊界層的轉捩位置直接關系到飛行器的摩擦阻力、熱交換及流動分離位置等。若能準確預測出轉捩位置并延遲轉捩發生，則可以有效地改進飛行器性能，提高其升阻比，降低燃料消耗，并有利于進行熱防護設計。因此，對于大氣層中長距離飛行的高超聲速飛行器的研制來說，邊界層轉捩預測方法是至關重要的，也得到了航空航天部門的高度重視。

1 邊界層轉捩的基本過程及研究內容

邊界層轉捩的研究是與流動穩定性的研究聯系在一起的。從層流到湍流的轉捩問題，以及層流失穩可能導致轉捩發生的猜想，都是在發現流動存在層流和湍流2種流態后提出的。20世紀初，Orr (1907)和Sommerfeld(1908)建立了著名的描述平行流小擾動的穩定性方程，即Orr-Sommerfeld(O-S)方程；之后，經過二十多年的努力，理論研究證明了當雷諾數大于某一個臨界值時，邊界層流動會出現不穩定波，亦稱不穩定模態；后又經過二十多年，才在實驗中觀察到與之對應的現象，從而證實了流動穩定性的線性理論。

在解釋轉捩問題時，還需要應用非線性理論。20世紀40年代，著名物理學家Landau提出了流動失穩的非線性機制；60年代， Stuart將Landau的設想具體化，建立了弱非線性理論；70年代后， Craik和Herbert分別提出了三波共振和二次失穩機理；自此之后，關于準平行流高雷諾數的漸近理論也得到了很大發展。這些工作對解釋邊界層轉捩的非線性現象起到了重要作用。

最初認為，解釋了擾動演化就能夠解決轉捩預測的大部分問題，但實際遇到的困難比預想的要大得多。轉捩位置不僅與流動中的擾動演化有關，還嚴重依賴于初始擾動，即不同的初始擾動會導致不同的結果；除此之外，還與邊界層的粗糙度等外界環境有關。這就形成了新的研究領域，即感受性問題。對感受性問題進行研究，是希望得到邊界層外部擾動激發或轉化為邊界層內部擾動的機理，以及它們之間的定量關系，為轉捩位置的預測提供擾動演化的上游條件。

對于高空飛行的飛行器而言，其邊界層轉捩由小擾動引起，稱為自然轉捩。下面以平板邊界層為例，對邊界層自然轉捩的基本過程及研究內容加以說明。

根據已有研究，邊界層自然轉捩的基本過程如圖1所示(Ue為來流速度)。邊界層前緣后的一段流動為層流，但其中存在某些小擾動。在向下游傳播的過程中，一些擾動會逐漸增大，當增大到一定程度時，就會觸發轉捩，使層流轉變為湍流。整個轉捩過程可分為以下3個階段：

1) 層流階段：包括邊界層對擾動的感受過程(I)、擾動的線性演化過程(II)以及擾動的弱非線性演化過程(III)。

2) 轉捩階段：主要是指擾動發生強非線性相互作用的過程，表現為流場中具有很強的脈動，脈動甚至可以超過湍流階段。轉捩階段的擾動特征具有一定的普適性，而轉捩位置的預測通常是要預測轉捩階段的開始位置。

3) 湍流階段：指流場向充分發展湍流過渡的階段，平均流場的變化相對較慢。

圖1 邊界層轉捩過程示意圖Fig.1 Sketch of transition process of boundary layer

圖2為壁面無量綱的摩擦系數Cf及壁面傳熱系數qw在層流和湍流不同階段中的分布。圖中：x為流向位置；δ為邊界層厚度；L為飛行器長度。從圖中可以看出，壁面摩擦系數及傳熱系數在轉捩過程中變化很快，經過轉捩后，摩擦力和熱流量都增大很多。

圖2 轉捩過程中壁面摩擦系數及傳熱系數的分布Fig.2 Distribution of friction coefficient and heat conduction coefficient in transition processNote: 1 Btu/(ft2·s)=1.135 65 W/cm2.

轉捩位置與層流階段的3個過程有關，現將轉捩研究中需解決的基本問題歸納如下：

1) 感受性問題

主要研究外界擾動在邊界層內激發小擾動的機理。自由流中脈動與邊界層內不穩定模態的色散關系不同，不能直接激發邊界層內的不穩定波，而是必須通過某種機制才能激發邊界層內的擾動。

在實際問題中，自由流中脈動的特征很難獲取。因此，即便感受性機理已經清楚，也很難給出邊界層中初始的不穩定擾動，從而使其成為準確預測轉捩的一個障礙。

2) 擾動的演化過程

擾動的演化分為線性階段和弱非線性階段。小擾動在邊界層中的增長可以根據流動穩定性的線性理論加以預測；但當擾動增長到一定程度時，非線性效應出現，則需要應用非線性理論來描述。

目前，二維邊界層線性穩定性理論已有比較充分的研究，不可壓邊界層的弱非線性理論也有不少成熟的方法和達到共識的結果。而對于超聲速邊界層，由于問題的復雜性，其弱非線性理論的進展一直非常緩慢。因此，要將線性穩定性理論用于一般三維邊界層中擾動演化的預測，還有許多工作要做。

3) 轉捩過程

在轉捩過程中，當擾動增長到一定程度時，非線性將會發生破碎(即發生突變)，使平流最終發展成為湍流。因此，如何判斷轉捩發生的位置，即確定邊界層內擾動演化到什么程度會觸發轉捩，是轉捩預測研究需要解決的問題。由于轉捩不僅依賴于擾動初始幅值，還與擾動頻率、形狀等其他特性有關，這就增加了轉捩預測的難度。目前這方面暫無成熟的研究成果，主要還是依靠經驗或半經驗方法。

2 可壓縮邊界層流動不穩定性特征及轉捩機理研究

2.1 擾動的線性演化

可壓縮邊界層流動穩定性的研究始于20世紀40年代，Lees和Lin從數學上給出了無黏可壓縮流線性不穩定性的必要條件。到20世紀70年代，可壓縮邊界層穩定性研究逐漸興起，其中最為突出的是Mack[1-8]對無黏、黏性線性穩定性的詳細研究。研究發現，在超聲速和高超聲速邊界層中，除了黏性引起的第一模態擾動不穩定波外，還存在第二模態(Mack模態)不穩定波，而第二模態不穩定波本質上是在壁面和相對聲速線之間來回反射的聲波。

在不可壓縮或低馬赫數邊界層中，不穩定擾動是由黏性引起的，而其中最不穩定的擾動則是二維模態；當馬赫數增大時，最不穩定的擾動由二維模態變為三維模態。當馬赫數大于2.2時，Mack模態變得不穩定。因此，擾動有第一模態和第二模態之分：①原有的不穩定波稱為第一模態擾動；②以聲波形式在壁面附近傳播的最低階的波稱為第二模態擾動。當馬赫數大于3時，Mack模態的最大增長率超過第一模態擾動，開始占主導地位。

圖3 邊界層中無黏擾動最大增長率隨來流馬赫數的變化關系[3]Fig.3 The maximum amplification rate vs freestream Mach number of inviscid disturbance in boundary layer[3]

關于邊界層的線性穩定性問題，已經開展了大量的研究工作。到目前為止，一般的二維和三維邊界層流動的失穩問題已基本得到解決，理論上也能夠定量地給出擾動的增長率及各種因素對穩定性的影響。

2.2 擾動的非線性演化

關于擾動演化的非線性過程，弱非線性理論(如二次失穩理論，共振三波理論，尤其是近二十年發展起來的非線性臨界層理論等)成功地解釋了不可壓縮流動的不同非線性演化過程的形成機理[9-11]。但對于可壓縮流動，由于問題本身的復雜性以及實驗條件的限制，非線性理論的研究遠沒有不可壓縮流動的非線性研究那樣系統。事實上，到目前為止，實驗還難以為轉捩過程提供更多的細節，可壓縮流動的非線性穩定性理論的建立仍舉步維艱。

可壓縮邊界層轉捩的非線性過程主要利用數值模擬進行研究，集中討論不同馬赫數下占主導地位的非線性形式和機制。對于不可壓平板邊界層，最不穩定的擾動是二維擾動，在此基礎上建立的二次失穩理論和共振三波理論，都屬于對稱的亞諧/基本共振機理。

當馬赫數較大時，最不穩定的擾動變為三維模態(斜波)，而且出現了不穩定的Mack模態，此時對應的非線性機理是非對稱的亞諧/基本共振機理。Fasel等[12]通過對馬赫數為1.6的邊界層進行數值模擬，發現了一種新的由一對斜波擾動引起的轉捩過程，稱為 “ObliqueBreakdown”。Leib和Lee[13]應用非線性臨界層理論對該斜波之間的相互作用展開了分析，指出非線性效應在擾動幅值很小時就起作用，而且尤其有趣的是，波-波作用所產生的展向變化的平均流修正與不穩定波本身為同一量級。文獻[14]～文獻[17]中開展了一系列數值模擬試圖驗證Leib和Lee的理論研究，并與Kosinov等[18-20]的實驗進行對比，但沒有形成統一的結論。

當馬赫數更大時，Mack模態的增長率將超過第一模態的增長率，非線性的機理變得更加復雜。文獻[21]～文獻[24]中的研究表明，擾動的增長將改變平均流，而平均流的改變將使得Mack模態的增長率變小，第一模態的增長率變大；不管初始擾動是什么模態，到轉捩后期，第一模態擾動都將會占據主導地位。Li等[25-26]所做的數值模擬表明，在轉捩后期的流場中會出現很低頻的擾動；他們認為低頻脈動是由于擾動發展到一定階段非線性作用的結果。劉建新[27]，Yu和Luo[28]對同頻率的Mack模態擾動的非線性演化進行了直接數值模擬，結果發現了一種類似二次穩定性的過程，但演化特征與不可壓縮流動完全不同。相關研究工作還有待于從理論分析和數值計算的角度進一步深入開展。

2.3 邊界層的轉捩機理

轉捩機理的研究從流動穩定性的角度入手，重點為轉捩前擾動的非線性演化過程。通常認為，自然轉捩從擾動的線性放大開始，當擾動增長到一定程度時，由于非線性作用會產生高次諧波，使流動變得越來越復雜，最終突變而導致湍流。轉捩機理的研究集中在“流動變得越來越復雜”的過程，即產生“突變過程”的關鍵性機理。

以往，人們對“流動變得越來越復雜的過程”并未給予足夠的重視。王新軍等[21]首先對不可壓槽道流的轉捩過程進行了詳細研究，指出突變產生的關鍵機理是平均流剖面經擾動修正后，其穩定性特征發生了很大變化，表現為線性不穩定區及放大率都顯著增大，使更多的擾動得以被激發并快速增長。圖4為轉捩過程中壁面流向速度的法向導數Uy的演化及在不同時刻修正平均流的中性曲線。圖中：t為無量綱時間；α、β分別為流向、展向波數。

圖4 轉捩過程中壁面流向速度法向導數的演化及中性曲線Fig.4 Mean velocity gradient at wall in transition process and neutral curve

在王新軍等[21]的研究中，將突變過程總結為：首先，當擾動幅值增長到相對較大時，擾動將通過非線性作用修正平均流剖面；與此同時，非線性作用還將產生高次諧波。當平均流的修正達到某一程度時會出現拐點，這是突變的關鍵時刻。此時，線性穩定性理論的中性曲線所包含的波數空間中的不穩定區域及放大率都會大大增加，直接導致更多的其他諧波迅速增長，使擾動充滿整個邊界層，并使得平均速度迅速向湍流邊界層速度分布演化。只有這種剖面才能提供在壁面區產生相干結構的條件，而相干結構從平均流吸收能量并成為湍流能量的主要來源。但是，即使到了這一階段，平均流剖面依然不是最后的湍流平均剖面，要達到最后的湍流剖面還需要一段較長的過程。另外，突變并不僅僅依賴于初始擾動的幅值，因為幅值相同但波數不同的擾動對平均流的修正也可以是不同的，從而使突變發生的位置也不同。

對于不可壓縮的平板邊界層，文獻[22]～文獻[24]對超聲速平板邊界層的時間及空間模式下的轉捩過程作過類似研究，并于近期對Stokes邊界層也進行了相關研究，都發現了類似的機理。

超聲速平板邊界層的情況更為復雜。擾動增長后引起的平均流剖面修正，可以顯著地使第一模態的不穩定區域變大，增長率增加，從而導致第一模態附近的更多諧波被快速激發，反過來又加快了基本流速度剖面的修正進程，最終促使轉捩發生。這一過程與不可壓縮流動的情況一致。但對于高馬赫數邊界層流的第二模態不穩定波而言，情況恰好相反：平均流剖面修正會使第二模態的不穩定區域變小，增長率降低，第二模態附近擾動的增長將受到壓制。

3 邊界層的感受性問題

邊界層的不穩定性屬于對流不穩定性，如果沒有持續的外來擾動，流動最終將回歸到層流狀態。實驗結果也表明，轉捩位置會隨著湍流度的增大而明顯提前，當來流湍流度較低時，這種依賴關系愈加敏感。簡言之，轉捩需要外來擾動維持，因此，基于科學問題上的轉捩預測需要研究外來擾動激發不穩定模態的機理。所以，如何確定轉捩與擾動之間的定量關系，是感受性研究需要解決的問題。

與穩定性問題不同，感受性問題研究的是邊界層對外界擾動的響應。從數學角度來講，感受性問題可由小擾動滿足的非齊次微分方程進行描述，其中的非齊次項代表外界擾動所產生的“強迫力”。在此類方程中，只有當強迫項與特征模態之間產生共振時，才能有效地激發不穩定波。由于特征時間和特征長度尺度的不一致，一般的外界擾動不能直接與特征模態產生共振，所以感受性研究的關鍵問題就是尋找某種“尺度轉化”機理，使得外界擾動產生的強迫項與不穩定模態的特征時間和特征長度的尺度相匹配，即滿足所謂的“共振條件”。在此基礎上，外界擾動通過“尺度轉化”機理產生的強迫項就能與特征模態之間產生共振，從而有效地激發不穩定波。

20世紀80年代，Goldstein[29-30]和Ruban[31]的杰出工作使感受性研究取得了重大突破，具體工作和后續的發展由Goldstein和Hultgren[32]進行了整理和介紹。在隨后的10年內，感受性研究十分活躍，Saric等[33]綜述了這期間的大部分理論、計算和實驗進展；Fedorov[34]，Zhong和Wang[35]總結了超聲速邊界層的感受性問題研究結果。

3.1 前緣調節機理

Goldstein[29]研究了聲波與邊界層在前緣區的相互作用。一定條件下，在前緣稍下游的位置，擾動流向速度的通解有式(1)所示的漸近形式：

C0xτuE(y/δ)ej(-γ x3/2-ω*t*)+c.c.]

(1)

3.2 來流中聲波與局部壁面粗糙元的相互作用

實際的壁面并非完全光滑，微小的壁面粗糙度可能對感受性產生十分重要的影響。Goldstein[30]和Ruban[31]于1985年第一次闡明了由孤立粗糙元所導致的局部流動與聲波相互作用而產生T-S波的機理。

聲波與局部壁面粗糙元能夠激發T-S模態的尺度要求是：粗糙元的流向尺度d必須和T-S模態的波長相當，聲波的頻率必須和T-S不穩性的特征頻率為同一量級。在該要求下，由粗糙元引起的局部定常流動和聲波的壓力脈動在黏性底層驅動Stokes波作用產生的非定常強迫項具有特征模態的頻率和長度尺度，可以激發T-S波；在滿足一定的條件時，還可以從理論上給出感受性系數。如果粗糙元的流向尺度遠大于或遠小于T-S波的波長，那么其形狀函數的傅里葉變換在特征模態波長上的分量就會很小，不會激發較大的T-S波。

3.3 來流中渦波與局部壁面粗糙元的相互作用

渦波是來流中另一類重要的擾動，也是來流中湍流的主要組成部分。渦波幾乎沒有壓力脈動，因此一般不能在邊界層內引起大的速度脈動，只影響邊界層外緣，看起來像是被位于邊界層外緣的“邊緣層”所吸收。這樣看來，渦波似乎對感受性并不重要。但這一結論又有悖于來流湍流度對轉捩影響很大的基本事實。Duck等[37]的研究表明，粗糙元引起的局部定常流動能夠影響到邊界層的外緣，渦波和粗糙元引起的局部定常流動在“邊緣層”發生相互作用，從而激發T-S波。Wu[38]將該分析推廣到二階漸近近似，得到了具有二階精度的感受性系數表達式。

通常情況下，邊界層外的渦波是隨機的，因此定量的感受性實驗較難開展。Dietz[39]于1999年在控制條件下成功地生成了單一頻率的渦波，并仔細測量了渦波的分布以及它與單個和多個粗糙元作用所激發的T-S波。Wu[38]針對Dietz的實驗作了計算，理論預測的感受性系數與雷諾數、頻率及粗糙元個數的關系與實驗數據的符合度很高。張永明和周恒[40]對渦波-粗糙元的相互作用進行了數值模擬，也得到了與實驗相符的結果。

3.4 來流中聲(渦)波與分布壁面粗糙度的相互作用

分布式壁面粗糙度在感受性中的作用同樣受到重視。實際粗糙度的幾何形狀非常復雜，為了揭示其基本機理，通常采用波紋壁的模型。波紋壁導致的定常流動與來流中渦(聲)波作用，可以產生時間和流向均為周期性的強迫項。由于波紋壁的波數和來流中擾動波的頻率為實數，因此，只能在擾動波頻率對應的T-S波的中性位置附近才能與特征模態發生共振，且波紋壁的波數和中性模態的波數還需近似相等。Wu[41]分析了這一感受性過程，并指出當無量綱化波數滿足式(2)所示的關系時才能發生共振。

|波紋壁的波數-中性模態附近的局部波數|<

Re-3/16αd

(2)

式中：Re為雷諾數；αd為波紋壁的波數。

整個過程可分為3個階段：

1) 前共振階段

波紋壁波數與T-S模態的局部波數之差大于Re-3/16量階，此時的邊界層響應屬于非共振的強迫振動。

2) 共振階段

(3)

(4)

3) 后共振階段

當x很大時，響應最終演化成增長的T-S波，感受性系數為

Wu[41]還將分析推廣到二階，結果與實驗數據基本相符。

需要注意的是，粗糙度是分布的，而通過共振激發的特性模態是比較局部的；周期波紋壁比局部粗糙元能更有效地激發T-S波；分析方法對聲波和渦波都適用，不同的是聲波與波紋壁所導致的定常流的作用發生在黏性底層，渦波的作用則是發生在邊緣層[25]。

3.5 渦波-聲波的相互作用

以上描述的感受性機理都是波與壁面的作用。Luo 和 Zhou[42]于1986年首先指出，來流中2個不同頻率的擾動相互作用時，如果生成的雷諾應力項中所含差頻成分的波數和頻率滿足T-S波的色散關系，則也可以激發T-S模態。Wu[43]進一步指出，一定頻率范圍內的聲波和渦波相互作用的確可以產生滿足T-S波的色散關系的波數和頻率。其共振的過程與渦(聲)波-波紋壁面的情形類似，共振發生區域內所激發的T-S波的流向速度為

(5)

式中：ν為動力黏性系數；κ與馬赫數、聲波的入射角以及展向波數有關。在馬赫數很低時，該機理較弱，但隨著馬赫數的增加，該機理會而迅速增強。值得強調的是，與前緣調節機理、局部或分布粗糙元-聲(渦)波作用不同，該機理不需要壁面的作用，會自動地發生在中性曲線的下枝，所產生的T-S波也不經歷任何衰減，而是從一開始就是增長的。因此，波-波相互作用能夠非常有效地激發T-S波。

3.6 超聲速邊界層的感受性

在超聲速邊界層中，存在多個不穩定特征模態，如第一模態、第二模態及高階模態(也稱Mack模態)，同時還存在與不穩定模態形成有關的衰減模態，即所謂的“快模態”。其中，有些模態的相速度接近于來流中擾動傳播的速度，可能與來流中的擾動有緊密聯系；另外，不同的模態間可能會相互轉化。因此，超聲速邊界層的感受性問題比亞聲速邊界層要復雜得多。

Fedorov[44]在分析了超聲速邊界層中各類模態的相速度后指出，超聲速邊界層中有3個位置可能發生感受性，如圖5所示。其中，cr為復相速度的實部；Ma為馬赫數。

在靠近前緣處，即圖5中的位置1，第一模態的相速度趨近于1-1/Ma，與來流中的慢聲波的傳播速度相等，因此，第一模態也被稱為“慢模態”。而且在某些參數條件下，二維第一模態并非是增長的，所以稱其為“慢模態”更合適些?！翱炷B”的相速度趨近于1+1/Ma，與來流中快聲波的傳播速度相等。在向下游發展中，快模態無量綱的相速度隨距離減小，先降到1，與來流中的渦波、熵波同步，即圖5中的位置2。隨后繼續下降，與“慢模態”的相速度趨于相同，該點稱為快、慢模態的同步點，即圖5中的位置3，該位置在感受性研究中受到格外關注。

圖5 超聲速邊界層中各模態的相速度隨雷諾數的變化[44]Fig.5 Phase velocity of modals in a supersonic boundary layer vs Reynolds number[44]

在超聲速邊界層的前緣，存在另一類聲波激發不穩定模態的過程。Fedorov等[44-45]利用漸近理論分析了來流中快、慢聲波的感受性問題，結果表明，當聲波的入射角較小時，聲波經折射后作用在邊界層上激發特征模態；當入射角較大時，聲波作用在前緣，生成包含快、慢聲波的散射波，它們在邊界層內通過壓力激發特征模態。此外，Fedorov 和Khokhlov還分別給出了響應壓力滿足的非齊次積分方程，得到了壓力的漸近解及感受性系數。雖然相關研究的實驗很少，但在二維和三維性較弱時，理論和實驗結果基本相符，而在三維性較強時，理論和實驗符合較差。Ma 和 Zhong[46]的數值模擬證實了超聲速邊界層對慢聲波的感受性機理。

3.7 模態轉化問題

在某些條件(如馬赫數、壁面溫度)下，慢模態可連續轉化成第二模態，即第一、第二模態屬于同一族模態。但在另一些參數下，慢模態則不能連續轉化成第二模態。因此，模態轉化問題即研究如何激發在高馬赫數下增長更快的第二模態。

無論慢模態能否連續轉化成第二模態，當發展到下游某個位置時，慢、快模態的相速度將會近似相等，該位置稱之為同步點。由于表征模態快速變化的波數實部相同，因此，2個模態可以通過基本流的弱非平行效應耦合起來，從而導致模態轉化。Fedorov 和 Khokhlov[45]在利用多重尺度法分析了快、慢模態的耦合和轉化后指出，盡管上游只有快模態，但在同步點下游也會出現第二模態。Ma 和 Zhong[46-47]對快聲波感受性進行數值模擬的結果顯示，在靠近前緣時，邊界層響應的主要成分是快模態，在下游會出現第二模態。他們還發現，如果來流中僅有渦波或熵波，也能在激波下游生成快聲波，即：第二模態是由快聲波激發的，而不是來流中的渦波或熵波。

但是，上述理論和數值工作在若干關鍵點處仍有待進一步推敲。首先，根據局部線性穩定性分析，快模態在其相速度跨越1時，其特征值并非是連續的，而是有一個階躍，特征函數也不同[48]。因此，下游的快模態能否從上游發展而來、其定量的幅值關系如何仍有待探討。其次，所謂的快、慢模態的“同步”是數值意義上的近似概念，并非是嚴格的同步。因此，Fedorov 和 Khokhlov[49]對有關模態轉化的數學描述并不是嚴格的高雷諾數漸近理論。

另外一個值得注意的問題是：在快、慢模態的同步點附近，色散關系變化很快，對應的特征函數的變化也很快。慢模態如果同第二模態不是一族，也可能通過基本流的非平行效應在色散關系變化很快的地方與第二模態耦合起來，進行模態轉換，從而直接激發第二模態。

此處列舉了平板邊界層感受性的途徑及一些理論結果，但還很不完善。而且要將這些結果用于一般邊界層的轉捩預測并在工程上實現其應用價值，遠不是一件容易的事情，還有許多艱苦的研究工作要做。

4 邊界層轉捩預測方法的研究及應用

進行邊界層轉捩預測是工程的需要，也是學科研究的目標。從工程方面，希望用最簡單的方法預測出工程要求精度范圍內的轉捩位置；從學科研究方面，則希望對整個轉捩所涉及到的問題都研究清楚，能夠提出預測轉捩的科學方法。但實際上，轉捩預測問題的復雜性大大超出了人們的預想，而且轉捩問題與充分發展的湍流問題有很大的不同。流動一旦達到充分發展的湍流，其流動特性便具有自身的規律，與形成的歷史及外界擾動基本無關，因此可以直接研究湍流本身。但轉捩本身是一個過程，并敏感地依賴于外界擾動，而外界干擾則是無法進行充分預測的。

4.1 轉捩準則

轉捩準則是最簡單的轉捩預測方法，主要依賴于經驗。一般用雷諾數作為轉捩準則，根據實驗結果和經驗定義某種雷諾數，當該雷諾數達到一定值時，判定流動轉捩。

對于不可壓縮流動，由于只有一個參數，且實驗較多，問題會比較簡單一些；對于可壓縮流動，還需要考慮馬赫數、來流溫度和壁面溫度等因素，且實驗比較復雜，因此轉捩準則的建立相對比較困難。

4.2 轉捩模式

為了結合湍流的數值模擬，建立起了所謂的轉捩模式方法。定義間歇因子，并用唯像的方法建立間歇因子的輸運方程；通過標定方程中的系數與湍流模式一起計算；用間歇因子的大小對轉捩進行預測。

該方法存在的問題仍然是缺乏實驗，難以標定多個可調參數。

4.3 eN方法

4.3.1 方法介紹及改進

基于科學問題的轉捩預測方法是結合流動穩定性理論的eN方法，該方法盡可能多地利用了對邊界層中擾動演化的理論預測。當然，傳統的eN方法中還存在著依賴實際經驗的問題，但眾多專家學者也在盡量地利用對感受性及擾動非線性演化的認識來改進eN方法，并取得了很好的效果。

eN方法是基于線性穩定性理論的轉捩預測方法，通過計算不穩定波的線性增長倍數來預測轉捩，適用于自然轉捩預測。所謂自然轉捩，是指從小擾動開始，至發生轉捩前的大部分擾動幅值都很小，可使用線性理論進行分析；當擾動幅值較大，需要應用非線性理論研究時，表示即將發生轉捩。這段距離可以不去研究非線性的具體細節，而是直接使用適當調整估計參數的方法進行解決。下面具體介紹eN方法的相關內容。

根據線性穩定性理論，小擾動可以寫成進行波形式，將線性化的擾動方程變為特征值問題。對于給定頻率ω及一個方向的波數β，通過特征值問題可求得另一個方向的波數α。對于空間問題，波數一般為復數，波數虛部的負值-αi、-βi為擾動在各方向的增長率。擾動向下游傳播時，增長率會發生變化。沿擾動傳播的方向對增長率積分，可以得到幅值的放大倍數為

式中： (x0,z0)為積分初始位置；(x,z)為從初始位置出發的擾動沿傳播方向傳播的任意位置。當N達到某個轉捩判據NT時，轉捩發生。對于不同頻率的波，N達到NT的位置不同；其中，最上游的位置被認為是轉捩實際發生的位置。在實際應用中，一般計算不同頻率下N值的包絡，當N值包絡達到NT時，所在的位置為轉捩位置，即轉捩位置曲線應滿足

式中：(·)r和(·)i分別表示取復數的實部和虛部。

在傳統的eN方法中，積分起始位置(x0,z0)表示頻率為ω的擾動使得增長率σ=0的流向位置。

在解決了如何計算N值的問題后，另一個重要問題就是如何確定決定轉捩發生位置的N值，即如何確定轉捩判據。在傳統的eN方法中，N值需要完全依靠實驗或經驗來確定，因此決定了其取值沒有普適性。

半經驗的eN方法是應用最廣泛的轉捩預測方法。對于航空飛行來說，通過大量的實驗確定，NT的值一般取為9左右。在環境噪聲比較小，且大部分擾動波為線性波時，采用這種分析方法可獲得比較理想的結果。但對于超聲速情況，NT的取值需要另行確定。

半經驗的eN方法應用了流動穩定性理論，具有一定的合理性。雖然該方法僅用了線性理論，但由于自然轉捩起始于小擾動，因而在擾動演化的大部分區域，均可以用流動穩定性線性理論進行解決。而且根據眾多數值計算的結果來看，非線性起作用的區段相對來說要短得多。對于相對復雜、經驗較少的超聲速流，人們也試圖通過僅有的實驗來統計轉捩處擾動的相對增長[32-34]，但由于實驗太少，目前還遠未達成共識。

蘇彩虹和周恒[53-54]對傳統的eN方法進行了改進。在用改進方法確定小攻角高超聲速圓錐的轉捩位置時，所得的轉捩線形狀及實驗結果與中科院力學所李新亮等使用直接數值模擬方法所得的結果相符[55-56]。近年來，周恒等在eN方法的改進上又做了不少工作，大大減少了轉捩預測對經驗或實驗數據的依賴，能夠預測一些使用傳統eN方法不能正確預測的轉捩問題。

周恒的團隊對不可壓縮的槽道流和平板邊界層流，以及超聲速、高超聲速平板和錐體的邊界層做過很多與轉捩相關的數值模擬工作。經分析發現，從小擾動開始的轉捩，在即將發生轉捩時，擾動的幅值都在1%～2%之間。而在此之前，很多學者都認為擾動幅值達到1%是線性理論不再適用和非線性開始起作用的分界點。因此，周恒等建議將通過線性理論得到的小擾動幅值增長到1.5%來作為轉捩開始的判據。

在此基礎上，傳統的eN方法可改進如下：N值的積分不再從σ=0的位置(x0,z0)開始，而是從某一個可以預估出擾動初始幅值的位置(xs,zs)開始；用線性穩定性理論計算擾動幅值的演化及傳播途徑；將擾動幅值達到1.5%作為轉捩開始的判據，即轉捩處的擾動幅值AT=0.015，則改進后的eN方法為

AT=A0eN(x,z)

值得注意的是，一般不能把N(x,z)的等值線當做轉捩位置的分布，因為不同頻率的初始幅值A0可能不一樣。只有當引起轉捩的擾動的初始幅值大致相同時，轉捩位置的分布才能與N(x,z)的等值線一致。下面給出上游擾動不同的小攻角圓錐的轉捩結果，用以說明eN方法改進的必要性及N(x,z)的等值線與轉捩位置分布不一致的示例。

圖6為全域入口加入不同擾動后的數值模擬結果。圖中：橫軸為圓錐母線方向的無量綱坐標；θ為周角；Cf為壁面摩擦系數。從圖中可以看出，在上游分別加入抽吸擾動和隨機擾動后，轉捩位置在背風面形狀類似，而在迎風面附近有很大的差別，即抽吸擾動下的轉捩位置推后，而隨機擾動下的轉捩位置明顯提前。

圖6 全域入口不同擾動的數值模擬結果Fig.6 Results of numerical simulation with different disturbances at entrance of computational domain

圖7為上游分別加入不同頻率的小幅值T-S擾動后所得的數值模擬結果。圖中：橫軸為圓錐母線方向的無量綱坐標；φ為周角。從圖7(a)中可以看出，當上游只有低頻(ω=0.6，1.2)的T-S擾動時，只是在背風面轉捩了，迎風面附近沒有發生轉捩。當上游加入低、高頻(ω=0.6，0.8，1.0，1.2，1.4，1.6)的T-S擾動時，背風面和迎風面都發生了轉捩，如圖7(b)所示。根據流動穩定性分析可知，低頻擾動會引起背風面的轉捩，而高頻擾動則會引起迎風面的轉捩。圖6中，抽吸擾動中的低頻成分比較大，高頻成分比較小，因此背風面的轉捩靠前，迎風面的轉捩靠后；隨機擾動中的低頻和高頻成分相當，因此迎風面的轉捩提前。傳統的eN方法，通常不考慮來流擾動幅值隨頻率的變化，認為擾動是幅值的，因此所得預測結果與加入隨機擾動的情況類似；改進的eN方法，則部分地考慮了來流擾動幅值隨頻率的變化，因此預測結果與加入抽吸擾動的情況類似。

圖7 上游不同頻率小幅值T-S波的數值模擬結果Fig.7 Results of numerical simulation for small amplitude of T-S wave at different frequencies at entrance of computational domain

圖8為應用傳統eN方法和改進的eN方法進行預測的結果比對。從圖中可以看出，改進eN方法的預測與上游加入抽吸擾動及只加低頻T-S擾動的結果一致，而傳統eN方法的結果與加入隨機擾動及有高頻T-S擾動的結果一致。該結論進一步地支持了上述分析的正確性。

圖8 兩種 eN方法的預測結果對比Fig.8 Comparison of prediction results with the two eN methods

如果把轉捩判據定為AT=0.015，合理地考慮感受性的eN方法為

式中：A0(ω,x0,z0)為ZARF曲線上考慮頻率的擾動幅值，由感受性的研究給出。這里雖然解決了轉捩判據的問題，但解決感受性問題仍然是一件非常困難的事情。這是由于感受性與飛行器的具體形式及背景擾動的頻譜和形式有關，而背景擾動的頻譜和形式一般要靠飛行試驗來確定。同時，飛行器要飛經的環境也千變萬化，無法完全地預先了解具體背景擾動的特征。

4.3.2eN方法的應用實例

1) 橢圓錐邊界層的轉捩預測

根據美國Purdue大學Schneider團隊靜風洞的實驗，用于分析的橢圓的錐長、短軸比為2∶1，長381 mm，半錐角為7°；來流馬赫數為6，單位雷諾數為10.2×106/m，來流溫度Te=52 K，壁面溫度Tw=300 K，0°攻角。取半模進行計算，網格分布為341×201×151?；玖魉俣萓和溫度T的計算結果如圖9所示，從圖中可以看出，基本流在短軸所在平面存在一個流向渦，流場三維性較強。

圖9 基本流的計算結果Fig.9 Numerical results of basic flow

圖10為壁面極限流線的分布。從圖中可以明顯地看出，長軸子午面和短軸子午面之間存在壓力梯度，導致邊界層內流線的彎曲。圖11為不同頻率擾動的增長率及N(ω,x,z)的分布。圖12為N(x,z)值的等值線及與美國Purdue大學Schneider團隊靜風洞的實驗結果[57]的比較。

2)組合體飛行器模型的轉捩預測

飛行器模型由平板三角翼、圓錐、圓柱3部分組成，局部示意圖如圖13所示。

圖10 壁面極限流線的分布Fig.10 Distribution of wall limiting streamline

圖11 不同頻率擾動的增長率及N(ω,x,z)的分布Fig.11 Distribution of amplification rate and N(ω,x,z) at different frequencies

圖12 N(x,z)值的等值線及與實驗結果[57]的比較Fig.12 Contour of N(x,z) and its comparison with experimental results[57]

圖13 組合體飛行器模型(局部) Fig.13 Model of vehicle (local)

對不同高度、不同攻角的飛行條件進行了邊界層轉捩預測。飛行馬赫數為10，飛行攻角分別為 0°和10°，飛行高度h依次選取30，35，40，45 km。對平板三角翼和圓錐部分進行了計算，得到0°和10°飛行攻角下平板三角翼(迎風面)的N值包絡面分布，如圖14所示。圖15為圓錐頂部(背風面)的N值包絡面分布。

圖14 平板三角翼N值的等值云圖Fig.14 Contour of N for plate delta wing

圖15 圓錐部分N值包絡面的等值云圖Fig.15 Contour of N for cone part

組合體飛行器模型的轉捩特征分析：對典型局部形狀的復雜邊界層穩定性進行了分析，給出了飛行器局部區域的N值分布。根據N值大小，得到對飛行器進行轉捩預測的結果如下：飛行攻角對轉捩位置的影響很大，在平板部分三角翼(迎風面)處，攻角的增加會促使轉捩產生，并且轉捩面積大于0°攻角時的情況；在圓錐頂部(背風面)，攻角的增加會抑制轉捩的發生，使轉捩面積變小，甚至使轉捩區域消失。

5 結 論

經過長期不懈努力，高超聲速邊界層轉捩的研究在理論上取得了很大進展，也逐漸在工程中得到應用。這些問題的深入研究加深了人們對轉捩的認識，豐富了流體力學的內涵。

轉捩問題的復雜性決定了轉捩研究的長期艱苦性。隨著高超聲速飛行的發展，航空航天技術對轉捩機制認識的需求會更加迫切。高超聲速邊界層轉捩機理、預測的研究將會得到越來越多的重視。也希望研究為航天技術的創新發展打下堅實的基礎。

感謝本人所在課題組的同事和學生，及其他合作者，他們結果的引用為本文提供了許多有特色內容。

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Tel: 022-27407025

E-mail: jsluo@tju.edu.cn

*Corresponding author. Tel.： 022-27407025 E-mail: jsluo@tju.edu.cn

Transition and prediction for hypersonic boundary layers

LUO Jisheng*

SchoolofMechanicalEngineering,TianjinUniversity,Tianjin300072,China

It is summarized that the basic process and problems of the transition of boundary layers. Based on which, the fundamentally distinguishes in instability of hypersonic boundary layers from incompressible boundary layers are shown, and the transition mechanism, receptivity characteristic, transition prediction methods for three-dimensional hypersonic boundary layers are introduced, in which the eNmethod using in engineering and it’s rational improvement is specially shown. Some application examples of prediction transition for three-dimensional hypersonic boundary layers using eNmethod are given. Finally, the difficulty and problems need to be solved in the hypersonic boundary layers are introduced.

hypersonic boundary layer; hydrodynamic stability theory; mechanism and prediction of transition; receptivity; eNmethod

2014-08-04； Revised： 2014-09-16； Accepted： 2014-10-08； Published online： 2014-10-09 08:35

National Natural Science Foundation of China (11332007)

2014-08-04; 退修日期： 2014-09-16; 錄用日期： 2014-10-08; 網絡出版時間： 2014-10-09 08：35

www.cnki.net/kcms/detail/10.7527/S1000-6893.2014.0244.html

國家自然科學基金 (11332007)

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http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2014.0244

V411.1； O357.4

A

1000-6893(2015)01-0357-16

羅紀生 男，博士，教授，博士生導師。主要研究方向：流動穩定性，轉捩機理與預測。

*通訊作者.Tel.： 022-27407025 E-mail: jsluo@tju.edu.cn

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