可穿透腔體外有障礙物的正散射問題

彭超權，陶 婷

(中南民族大學 數學與統計學學院,武漢 430074)

可穿透腔體外有障礙物的正散射問題

彭超權，陶 婷

(中南民族大學 數學與統計學學院,武漢 430074)

分析了用點源作為入射波，散射體由一個可穿透腔體和一個外部不可穿透的障礙物組成的正散射問題，指出了該問題可歸結為對具有一定邊界條件的Helmholtz方程的求解. 通過邊界積分方程的方法, 利用位勢理論和Fredholm定理，證明了該問題解的存在性和唯一性.

邊界積分方程的方法；Helmholtz方程；Fredholm定理；可穿透腔體

1 主要問題及結果

(1)

其中正常數k1，k0分別是區域D1和D內的波數，ν為外單位的法向量，λ1和λ2為正常數，總場u=ui+us，ui=Φ1(·,z)，z∈D1, 其中Φ1(·，z)為Helmholtz方程的基本解, 定義如下:

通常的散射問題可用有界障礙物外的無界區域的Helmholtz方程來刻畫[1,2]. 近年來, 有關腔體的內散射問題受到了一定的關注. 2010年, Qin和Colton在文[3]中利用腔體內部的點源和測量值研究了確定腔體的反散射問題. 更多關于腔體的正反散射問題，可參考文[4],[5]. 然而可穿透腔體外部有障礙物的情形卻很少有文獻涉及，本文借助于文獻[6]中的想法和技術來研究問題 (1). 我們將在適當的函數空間中，利用邊界積分方程的方法將問題 (2) 轉化成一個邊界積分系統， 并證明積分算子的Fredholm性質和單射性，從而得到問題的解的存在唯一性.

(2)

注意問題(1)是問題(2)的特殊情況.文章主要結論為以下兩個定理.

定理1 混合邊界問題(2)的解至多只有一個.

定理2 問題(2)具有唯一解，它滿足下列估計:

2 預備知識

定理4(Green公式) 設Ω是一個多連通區域，其邊界為Γ，令w(x,y)和v(x,y)在其邊界Γ上具有二階連續偏導數，則我們有格林第一恒等式：

和格林第二恒等式：

定理5 (Fredholm定理) 設X是一個賦范空間，A:X|→X是一個線性緊算子，若齊次方程：

(I+A)φ=0,

只有零解，則對任意的f∈X非齊次方程：

(I+A)φ=f,

有唯一解φ∈X，并且解連續依賴于f.

的散射解，并且在邊界?D上滿足：

那么在R3D上w≡0.

3 定理1的證明

根據問題(2)中的邊界條件有：

由于k0,k1,λ1,λ2均為正實數，所以可得：

由定理6可知在D1中w≡0, 即證.

4 定理2的證明

引理1 積分方程 (12) 是一個第二類的Fredholm積分算子.

證明 假設問題(2)具有以下形式的解：

Φ0(x,y)φ(y)}ds(y),x∈D1,

(3)

(4)

下面我們根據單雙層位勢的性質，推導出w,v所滿足的邊界條件. 利用單層位勢在邊界處的跳躍關系，當x從D1的內部趨向于邊界?D1時，將其限制在?D1，可得：

(5)

當x從D1的外部趨向于邊界?D1時，可得：

(6)

聯立(5),(6)式得：

化簡即為：

ψ(x)-m(λ1K11,0-K11,1)Ψ(x)-m(S11,0-S11,1)φ(x)+m(S12,1+iηK12,1S2)φ(x)=-mfon ?D1.

(7)

當x從D1的內部趨向于邊界?D1時，將其限制在?D1上，可得：

(8)

當x從D1的外部趨向于邊界?D1時，我們有：

首先，要求國家立法機關制定或修改相應的社會保障法律，將農業勞動者納入到現行的社會保險體系中來，真正建設統籌城鄉的社會保障體系。現行的社會保險法主要以職工為核心建立起來，實際上并不重視幾億農業勞動者的醫療、養老問題，這是我國農村資源和資金分配地位的具體表現。所以，在立法上重構社會保險法成為最關鍵課題。

(9)

(10)

(Tij,hφ)(x)=

由v(x)在D2上的跳躍關系，當x從D2的外部趨向于?D2的邊界，并將其限制在?D2上，同理也可得：

(11)

那么聯合 (7)，(10)，(11)式，我們得到如下的邊界積分系統：

(I+A)U=R.

(12)

其中I是恒等算子. 若我們能夠求解出唯一的解U=(ψ,φ,φ)T，則問題(2)就有形如(3)，(4)式的唯一解.

引理2 邊界積分方程(12)存在唯一的解.

證明 根據定理5，由于A的緊性，我們只需證明齊次算子方程：

(I+A)U=0.

(13)

只有零解，便可得(I+A)U=R存在唯一性的解.令R=0，則此時w，v是問題(2)的具有齊次邊界條件的解，由定理1知：

w=0,x∈D1,
v=0,x∈D.

我們也可以將v定義在D2內，且v滿足：

由跳躍條件：

根據格林恒等式有：

可知Sφ=0,x∈?D1.以上積分函數在無窮遠處和?D2上恒為0，由調和函數的極值原理可知S在R3恒為0，從而由跳躍條件：

(14)

Φ1(x,y)φ(y)}ds(y),x∈D1.

(15)

由單雙層位勢的跳躍關系得:

(16)

故ψ,φ,φ都為0，從而(I+A)U=0只有零解. 故算子I+A也是單射. 由Freholm定理，I+A逆算子(I+A)-1存在且有界. 所以積分方程 (12) 存在唯一的解.

定理2的證明 由引理2的結論知I+A的逆算子(I+A)-1是存在且有界的，再利用位勢函數 (3)，(4)可得.

[1] Colton D,Kress R.Integral equation methods in scattering theory [M]. New York： Wiley,1983:1-271.

[2] Hsiao G C, Wendland W L. Boundary integral equations[J]. Applied Mathematical Sciences， 2013,76(4):509-547.

[3] Qin H H, Colton D. The inverse scattering problem for cavities[J]. Applied Numerical Mathematicals, 2012,62 (2):699-708.

[4] Liu X. The factorization method for cavities[J]. Inverse Problem, 2014,30 (1):015006.

[5] Meng S, Haddar H, Cakoni F. The factorization method for cavity in an inhomogeneous medium[J]. Inverse Problem, 2014,30 (4): 045008.

[6] Liu X, Zhang B. Direct and inverse obstacle scattering problems in a piecewise homogeneous medium[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics, 2010,70 (8):3105-3120.

Direct Scattering Problem for A Penetrable Cavity and An External Obstacle

PengChaoquan,TaoTing

(College of Mathematics and Statistics,South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074,China)

By using a point source as the incident wave,we consider the scattering problem by a mixed scatterer which is composed of a penetrable cavity and an external impenetrable obstacle, and regard that this problem comes down to solving the Helmholtz equation with certain boundary conditions. By using the boundary integral equation method and based on the Fredholm theorem,we prove that the scattering problem has a unique solution in the form of combined potentials.

boundary integral equation method; Helmholtz equation; Fredholm theorem;a penetrable cavity

2015-05-25

彭超權(1979-)，男，副教授，博士，研究方向：偏微分方程，E-mail：pcq1979@163.com

中南民族大學研究生創新基金資助項目(2015sycxjj125)

O175.25

A

1672-4321(2015)03-0118-05