曲面上測地線和短程線的性質

邢家省，高建全，羅秀華

（1.北京航空航天大學數學與系統科學學院，北京100191；2.數學、信息與行為教育部重點實驗室，北京100191；3.平頂山教育學院，河南平頂山467000）

曲面上測地線和短程線的性質

邢家省1，2，高建全3，羅秀華3

（1.北京航空航天大學數學與系統科學學院，北京100191；2.數學、信息與行為教育部重點實驗室，北京100191；3.平頂山教育學院，河南平頂山467000）

從曲面上曲線的測地曲率向量和測地曲率的定義出發(fā)，在測地線定義的基礎上，給出測地線的三種充分必要條件，并給出應用中新的處理方法；發(fā)現了曲面上短程線的必要條件的三個結論正好對應于測地線的三個等價條件。

測地曲率向量；測地曲率；測地線；短程線

引言

關于曲面上的測地線，文獻［1－5］中給出了一種定義，沒有給出測地線的等價性質，這在使用中非常不方便。關于測地線有三種充分必要條件，利用測地線的等價性質，可以簡化一些結論的證明。關于曲面上短程線的必要條件，現有文獻［1－4］給出了兩種證明過程，本文給出了一種新的證明過程，這三種證明過程的結果正好對應于測地線的三種條件。給出了球面上的測地線必在球面大圓上的證明。

1 測地曲率向量和測地曲率的定義

設C2類正則曲面：

記→ri＝→rui；gij＝→ri·→rj，i，j＝1，2，gij＝gji；g11g22－g12g21＝g；→rij＝→ruiuj。設Γ是曲面Σ上的一條曲線，其參數方程為：

或

這里s是該曲線的自然參數。

在任固定曲面Σ上一點P（u1，u2），并設TP為曲面Σ在P點的切平面。設→n為曲面Σ在P點的單位法向量，以→α表示曲線Γ上P點處的單位切向量；以→β表示曲線Γ上P點處的主法向量，→γ是副法向量。

定義1［1-6］曲面Σ上曲線Γ在P點的單位切向量的導向量→α′（s）在切平面TP上的投影向量→τP＝→α′（s）－（→α′（s）·→n）→n，稱為曲線Γ在P點的測地曲率向量。

關于測地曲率向量的幾何意義，可見文獻［2，5-6］。

稱D→α＝d→α－（d→α·→n）→n為→α（s）沿曲線Γ的絕對微分［1-6］。顯然→α′（s）－（→α′（s）·→n）→n與→n，→α都垂直。命→ε＝→n×→α，則→α，→ε，→n是彼此正交的單位向量，并且構成一右手系。顯然→α′（s）－（→α′（s）·→n）→n平行于→ε。

定義2［1-4］曲面Σ上曲線Γ的切向量的導向量→α′（s）在→ε上的投影向量→τP＝（→α′（s）·→ε）→ε，稱為曲線Γ在P點的測地曲率向量。→τP＝（→r″（s）·→ε）→ε。

定義3［1-4］將→r″（s）·→ε稱為曲線Γ在P點的測地曲率，記作kg，kg＝→r″（s）·→ε＝→τP·→ε。

顯然有

2 曲面上曲線的測地曲率的一般計算公式

注意到kg＝（→r′，→r″，→n），將

代入測地曲率的計算公式，經過計算［6］，得

式（1）是測地曲率的一般計算公式，方便于直接使用。

利用曲面論的基本方程式中的記號［1-8］，可將（1）式化為：

故

利用kg→ε＝→r″（s）－kn→n，而

再由曲面的基本方程

到得

于是

將（3）式兩邊與→ε作內積，亦可得出（2）式。

3 曲面上測地線的定義及測地線的充分必要條件

定義4［1-5］曲面上的一條曲線，如果它在每一點處的測地曲率恒等于零，即kg＝0，則稱它為曲面上的測地線。

例1球面上的大圓是測地線。

設球的半徑為R，球心在坐標原點，設→r＝→r（s）是球面Σ上的大圓，由于，得kg＝0。

或者，由于球面上的大圓是平面曲線，顯然→r′（s）⊥→r（s），→r′（s）⊥→r″（s），所以→r″（s）／／→r（s），又，從而→r″（s）／／→n，故有kg＝（→r′，→r″，→n）＝0。

定理1球面上的測地線必在球面的大圓上。

設球心在坐標原點，設→r＝→r（s）是球面Σ上的測地線，在球面上，有→n／／→r（s），因為→r＝→r（s）是測地線，所以→r″（s）／／→n，于是→r″（s）／／→r（s）；由于

［→r（s）×→r′（s）］′＝

→r′（s）×→r′（s）＋→r（s）×→r″（s）＝→o

從而→r（s）×→r′（s）＝→C（常向量），顯然→r（s）⊥→C，由此得到→r（s）在過球心的平面上，故→r（s）在過球面的一個大圓上。

定理2設Γ：→r＝→r（s）是曲面Σ上的曲線，s是曲線的自然參數；它是測地線的充分必要條件→r″（s）／／→n。

證明證法1：充分性：設→r″（s）／／→n，則有kg＝（→r′（s），→r″（s），→n）＝0，所以Γ是曲面上的測地線。

必要性：設Γ是曲面上的測地線，kg＝0，則有（→r′（s），→r″（s），→n）＝kg＝0，所以→r′（s），→r″（s），→n共面，存在不全為零的實數a，b，c，使得a→r′（s）＋b→r″（s）＋c→n＝0，將此式與→r′（s）作內積，得到a＝0，顯然b≠0（假如b＝0，則有c＝0，從→r′（s），→r″（s），→n線性無關，矛盾），于是，即得→r″（s）／／→n。

證法2：利用

若→r″（s）／／→n，顯然有→r″（s）＝（→r″（s）·→n）→n，從而kg→ε＝→r″（s）－（→r″（s）·→n）→n＝→o，故有kg＝0；反之，若kg＝0，則有

于是→r″（s）＝（→r″（s）·→n）→n，即有→r″（s）／／→n。由于→n·→ri＝0，i＝1，2，于是可得如下結論。

定理3設Γ：→r＝→r（s）是曲面Σ上的曲線，s是曲線的自然參數；它是測地線的充分必要條件是→r″（s）·→ri＝0，i＝1，2。

利用（3）式，即可得到：

定理4［1-5］設→r＝→r（u1（s），u2（s））＝→r（s）是曲面Σ上的曲線，s是曲線的自然參數，它是測地線的充分必要條件是。

定理5［1-5］假定曲面S1和S2沿曲線C相切，若C是S1上的測地線，則C也必定是S2上的測地線。

證明證法1：因曲面S1和S2沿曲線C相切，故曲面S1和S2沿曲線C的單位法向量→n1，→n2平行，即→n1＝±→n2，因為C是S1上的測地線，所以→r″（s）／／→n1，于是→r″（s）／／→n2，故C也是S2上的測地線。

證法2：因曲面S1和S2沿曲線C相切，故曲面S1和S2沿曲線C的單位法向量→n1，→n2平行，即→n1＝±→n2，因C是S1上的測地線，則d→α－（d→α·→n1）→n1＝0，即得d→α－（d→α·→n2）→n2＝0，所以C也是S2上的測地線。

4 曲面上短程線必是測地線的證明方法

給定曲面Σ，設P，Q是曲面Σ上的兩點，在曲面Σ上連接P，Q兩點的曲線中，弧長最小的曲線稱為曲面Σ上連結P，Q的短程線［1-5］。因此需要尋找曲面上的曲線是短程線的必要條件。

變分引理：設f（x）∈C（a，b），若對任意φ（x）∈C20（a，b），都有∫baf（x）φ（x）d x＝0，則有f（x）＝0，x∈（a，b）。

設Γ曲面Σ上連結P，Q的曲線弧段，其參數方程為u1＝u1（s），u2＝u2（s），s1≤s≤s2，其中ui（s）∈C2［s1，s2］，ui（s1），ui（s2）為定值，s是該曲線的弧長參數。

曲線Γ的向量表示為：

→r＝→r（s）＝→r（u1（s），u2（s）），s1≤s≤s2

定理6若曲線Γ是曲面Σ上的短程線，則有在曲面Σ上沿曲線Γ成立→r″（s）·→ru1＝0，→r″（s）·→ru2

＝0。

證明記W0＝｛w（s）：w（s）∈C20（s1，s2）｝，設Γε曲面上連結P，Q的曲線弧段，其方程為：

其中，wi（s）∈W0，i＝1，2。曲線Γε弧長為：

假若Γ是短程線，則L（→u＋ε→w）在ε＝0處達到極小值，于是，直接求導，得

由于

所以

從而

利用分部積分，得

于是

由此得到任意wi（s）∈W0，i＝1，2，故得在曲面上沿曲線Γ成立→r″（s）·→ru1

＝0，→r″（s）·→ru2＝0。由此得出→r″（s）∥→n，所以短程曲線Γ的測地曲率［1-8］：

kg＝（→r′（s），→r″（s），→n）＝0

短程曲線Γ應滿足的方程：利用→r″（s）·→ri＝0，i＝1，2。由于

從而得到

即得短程曲線Γ滿足的方程為：由于Γikj＝→ri·→rkj［2-5］，即得表示為向量形式：

由曲面的基本方程中系數的關系［1-7］，得到

即

故得

這正是曲面上的測地線的參數方程［1-5］。

關于曲面上短程線的必要條件的另外兩種證明方法，可見文獻［1－4］。

曲面上二次光滑的短程線必是測地線，反之曲面上的測地線未必是短程線。曲面上非二次光滑的短程線未必是測地線。

［1］梅向明，黃敬之.微分幾何［M］.4版.北京：高等教育出版社出版，2008.

［2］陳維桓.微分幾何［M］.北京：北京大學出版社，2006.

［3］彭家貴，陳卿.微分幾何［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［4］馬力.簡明微分幾何［M］.北京：清華大學出版社，2004.

［5］陳維桓.微分幾何例題詳解和習題匯編［M］.北京：高等教育出版社出版，2010.

［6］邢家省，張光照.曲面上曲線的測地曲率向量的注記［J］.吉首大學學報：自然科學版，2013，34（4）：7-10.

［7］邢家省，高建全，羅秀華.曲面論基本方程的矩陣推導方法［J］.吉首大學學報：自然科學版，2014，35（3）：4-10.

［8］邢家省，高建全，羅秀華.高斯曲率內蘊公式的幾種形式的推導方法［J］.四川理工學院學報：自然科學版，2014，27（4）：82-89.

Properties of the Geodesic and the Shortest Line on the Curved Surface

XING Jiasheng1，2，GAO Jianquan3，LUO Xiuhua3
（1.School of Mathematics and Systems Science，Beihang University，Beijing 100191，China；2.LMIB of the Ministry of Education，Beijing 100191，China；3.Pingdingshan Institute of Education，Pingdingshan 467000，China）

In From the geodesic curvature vector and geodesic curvature of curve on the surface，three necessary and sufficient conditions are given based on the definition of geodesic，and new treatment methods for some applications are given；then it is turned out that the three conclusions of necessary conditions of the shortest line on the curved surface exactly correspond to the three equivalent conditions of geodesic.

geodesic curvature vector；geodesic curvature；geodesics；the shortest line

O186.11

A

1673-1549（2015）01-0063-05

10．11863／j．suse．2015．01．15

收稿日期：2014-09-08

國家自然科學基金資助項目（11201020）；北京航空航天大學校級重大教改項目（201401）

邢家省（1964-），男，河南泌陽人，副教授，博士，主要從事偏微分方程、微分幾何方面的研究，（E-mail）xjsh＠buaa.edu.cn