一類具粘性阻尼項的擬線性波動方程解的存在性

宋瑞麗，王宏偉

（1.中原工學院信息商務學院，鄭州450007；2.安陽師范學院數學與統計學院，河南安陽455000）

一類具粘性阻尼項的擬線性波動方程解的存在性

宋瑞麗1，王宏偉2

（1.中原工學院信息商務學院，鄭州450007；2.安陽師范學院數學與統計學院，河南安陽455000）

針對三維空間中一類具有粘性阻尼項的擬線性波動方程的初邊值問題，用Galerkin方法和緊性原理，證明了該問題局部廣義解和局部古典解的存在性和唯一性。

具粘性阻尼；擬線性波動方程；局部解；初邊值問題

引言

本文研究三維初邊值問題其中，α＞0，β＞0，p≥1，q＞1為常數，f（s）是非線性函數，Ω是R3中具有光滑邊界的有界區域。

方程（1）是在控制粘彈性固體組成的變率型材料的運動中提出的一類具阻尼項非線性波動方程［1-2］。具阻尼項波動方程解的存在性是近年來偏微分方程研究的熱點，很多文獻對此類方程已有研究［3-6］。李玉環，劉盈盈和穆春來用Δu代替方程（1）中的Δf（u），在動態邊界條件下給出了解爆破的條件［7］。Yang zhijian，Chen guowang分別用f（ut），g（u）代替方程（1）中的，，在一維空間中證明了方程（1）～（3）整體解的存在唯一性［8］。Chen guowang，Yue hongyun和Wang shubin在一維空間中證明了問題（1）～（3）局部解的存在性并給出解爆破的條件［9］。李敏和林國廣添加阻尼項并用Δu代替方程（1）中的Δf（u），在α≠1時，證明該方程解的存在性和指數衰減性［10］。陳杰誠，范大山和張純潔證明了帶阻尼波動方程在小初值下Cauchy問題的全局解［11］。本文在三維空間中，用Galerkin方法和緊性原理，研究問題（1）～（3）局解的存在唯一性。

本文采用記號：（·，·）表示L2（Ω）空間的內積，和分別表示空間和）的范數，特地有表示空間Wm，p（Ω）的范數。Ci（i＝1，2，…）表示不依賴于N和t的正常數。

1 局部解的存在性和唯一性

其中，˙αNs（t）表示αNs（t）對t求導。

引理1設f∈C3（R）

K sv－1等和f″（0）＝0，其中v≥2是自然數，K＞0為常數。q＞1，p≥1且min｛p＋1，q＋1｝≥3，如果那么方程（4）、（5）在［0，t1］上有古典解α（t）＝（αN1（t），αN2（t），…αNN（t）），并且

一致有界，其中t1＞0，M1＞0是不依賴于界M和N的常數，，且

證明根據常微分方程理論知道方程（4）、（5）的局部解總是存在的。記［0，TN］是解存在的最大時間區間，對解進行估計。（4）兩邊同乘以2（1＋λs＋λ2s）˙αNs（t），對s＝1，2，…，N求和，兩邊各加上2［（uN，uNt）－（▽2uN，uNt）＋（▽3uN，▽3uNt）］，并對x分部積分，得

用Gagliardo－Nirenberg內插定理和（8）式可得

其中，0≤ˉm≤m－1≤4，0≤~m≤m－2≤3，用H?lder不等式，式（10）、式（11）和引理1的假定，可得

利用求導通過直接計算以及對f（s）的假定，推出

由H?lder不等式，Cauchy不等式和（8）式、（14）式可得

用微分法，經簡單計算可得

由（14）式、（16）式和（17）式可得

用H?lder不等式和（8）式，有

把式（12、（13）、（15）、（18）－（21）代入式（9）中，令δ＝，可得

其中，M1＞0是不依賴于N的常數。對任意的t∈（0，TN），從（22）式可得

若取t1使0＜1＋（1－δ）M1t1Aδ－1＜η成立，其中0＜η＜1，則（7）式在［0，t1］上成立。這說明TN有不依賴于N的正下界。引理1證畢。

引理2在引理1的條件下，問題（1）～（3）的近似解uN有估計：

常數，q＞1，p≥1且min｛p＋1，q＋1｝≥3。如果u0∈H2（Ω），u1∈H2（Ω），那么初邊值問題（1）～（3）存在唯一的局部廣義解u（x，t）。

證明方程（4）兩邊同乘以2¨αN，s（t），乘積對s＝1，2，…，N求和，得

利用Cauchy不等式，H?lder不等式，式（14）、（16）、（17）、（24）、（25）可得，從（24）式和Sobolev嵌入定理，推出

其中0＜λ≤0.5。由（26）式根據Ascoli－Arzela定理可知存在函數u（x，t）和函數列｛uN（x，t）｝的子列，仍記為｛uN（x，t）｝，使得當N→∞，｛▽iuN（x，t）｝（i＝0，1，2）和｛uNt（x，t）｝在ˉQT上一致收斂于▽iu（x，t）（i＝0，1，2）和ut（x，t）。根據弱緊性定理知子序列｛▽iuNt（x，t）｝（i＝1，2，）在L2（Qt1）中分別弱收斂于｛▽iut（x，t）｝（i＝1，2，），因此問題（1）～（3）存在局部廣義解。下面證明局部廣義解的唯一性。

假設u（x，t），v（x，t）是問題（1）～（3）的兩個廣義解。令ω（x，t）＝u（x，t）－v（x，t），則

（27）式乘以－2▽2ωt，兩邊同時加上2ωωt－2▽4ωωt并在Ω上積分并由Cauchy不等式可推出

為了證明問題（1）－（3）存在局部古典解，對近似解作進一步的估計。

引理3假設引理2的條件成立，且f∈C7（R），f（2l－1）（0）＝0，l＝1，2，3，4，u0∈H7（Ω），u1∈H6（Ω），則問題（1）－（3）的近似解有估計

證明方程（4）兩邊同乘以2（1＋λ6s）˙αNs（t），對s＝1，2，…，N求和，兩邊各加上2［（uN，uNt）＋（▽2uN，▽12uNt）］并對x分部積分，可得

由H?lder不等式，Cauchy不等式，（32）式可得

把（33）－（36）式代入（32）式中，類似（22）式可推出

利用Cauchy不等式，H?lder不等式，類似（33）－（35）式的推導，由（39）式可得

結合（37）、（38）、（40）式可知（31）式成立。引理3證畢。

定理2設f∈C7（R），≤，其中v≥2是自然數，K＞0為常數，q＞1，p≥1且min｛p＋1，q＋1｝≥3。如果u0∈H7（Ω），u1∈H6（Ω），那么初邊值問題（1）－（3）存在唯一的局部古典解u（x，t）。

證明從（31）式和Sobolev嵌入定理得

其中0＜λ≤0.5。由（26）式，根據Ascoli－Arzela定理可知初邊值問題（1）～（3）存在局部古典解其中u（x，t）。顯然初邊值問題（1）～（3）的古典解也是唯一的。定理2證畢。

［1］Andrew s G，Ball JM.Asymptotic behavior and changes in phase in one-dimensionalnonlinear viscoealsticity［J］.J. Differential Equation，1982（44）：336-341.

［2］Kawashima S，Shibata Y.Global existence and exponen-tial stability of small solutions to nonlinear viscoelasticity［J］.Comm.Math.Phys，1992（148）：189-208.

［3］Clements J.Existence theorems for a quasilinear evolution［J］.SIAM J.Math，1974（26）：745-752.

［4］張媛媛，王宏偉，宋志華.具強阻尼項波動方程整體解的存在性［J］.吉林師范大學學報：自然科學版，2013（3）：25-27.

［5］劉天花.3維Chemotaxis-fluid方程弱解的整體存在性［J］.四川理工學院學報：自然科學版，2012，25（5）：97-100.

［6］Yang zhijian.Globalattrator for the Kirchhoff type equation w ith a strong dissipation［J］.Differential Equations，2010，249（2）：3258-3278.

［7］李玉環，劉盈盈，穆春來.動態邊界條件下一類強阻尼波動方程解的爆破［J］.西南大學學報：自然科學版，2011，33（7）：10-15.

［8］Yang Zhijian，Chen guowang.Global existence of solutions for quasi-linear wave equations w ith viscous damping［J］.Math.Anal.Appl，2003（285）：604-628.

［9］Chen guowang，Yue hongyun，Wang shubin.The initial boundary value problem ror quasi-linear wave equation w ith viscous damping［J］.Math.Anal.Appl，2007（331）：823-839.

［10］李敏，林國廣.帶黏性項的強阻尼波動方程解的指數衰減性［J］.中國科技信息，2011（10）：47-49.

［11］陳杰誠，范大山，張純潔.阻尼波動方程在模空間上的一些估計［J］.中國科學：數學，2013，43（4）：355-364.

The Existence of Solution for a Kind of Viscous Dam ped Quasi-linearWave Equations

SONG Ruili1，WANG Hongwei2
（1.College of Information＆Business，Zhongyuan University of Technology，Zhengzhou 450007，China；2.School of Mathematics and Statistics，Anyang Normal University，Anyang 455000，China）

The existence and the uniqueness of the local generalized solution and the local classical solution for the initial boundary value problem for a class of viscous damping quasi-linear wave equation in three-dimensional space are proved by the Galerkin method and compactness principle.

viscous damping；quasi-linear wave equations；local solution；the initial boundary value problem

O175.29；O175.27

A

1673-1549（2015）01-0067-04

10．11863／j．suse．2015．01．16

2014-06-06

國家自然科學基金資助項目（11171311）；河南省自然科學基金項目（132300410351）

宋瑞麗（1978-），女，河南新野人，講師，碩士，主要從事偏微分方程方面的研究，（E-mail）srli070911＠sina.com