城市道路網內部結構特性分析的分形維數方法

何石堅，李清波，匡姣姣

（長沙理工大學交通運輸工程學院，湖南長沙 410004）

城市道路交通網絡的形成與發展自始至終貫徹于城市的形成和發展過程之中，城市道路網既是城市的過境交通重要載體，又是城市對內交通的主體。城市與城市道路交通網絡的關系猶如人體與血液循環系統的關系，隨著城市功能的逐漸完善和城市規模的擴大，城市道路網的規模隨之壯大［1］。針對合理規劃布局和評價城市道路網的問題，將傳統的公路網評價方法［2］中路網密度相關指標沿用于城市道路網的分析評價中，這樣的評價存在著一定的缺陷。城市道路網不同于公路網，其具備的功能較公路網更豐富多樣，城市道路網既服務于過境流量，又服務于工業企業、住宅小區及車站等城市內部用地。多數情況下，城市道路功能決定了其技術等級，而路網密度指標只能籠統地描述路網整體的布局狀況，卻不能對路網內部結構進行深入、直觀的分析。可見，將路網密度指標用于城市道路網內部結構特性評價并不全面。

一些學者針對城市道路網內部結構評價做了相關研究，陳學武［3］等人提出了以道路總里程、交通供需平衡關系、道路容量和道路面積需求等作為約束條件的小城市路網級配模型，得到了小城市主干道、次干道和支路最優級配為1∶1.56∶2.56。杜進有［4］等人建立了飽和度模型，用以評估城市道路網容量與通過能力；陸建［5］等人研究了城市道路網的規劃指標體系，提出了以人均用地面積和路網密度為主體的路網空間和質量指標體系；曾松［6］等人提出了可達性指標，對城市道路網結構效益進行了綜合評價，研究了城市道路網的土地利用強度。欒學晨［7］等人對城市道路網結構進行了拓撲提取，得到了一種城市道路網結構化分析和結構等級的建模方法。由此可見，現有城市道路網結構特性的評價方法大多是以道路總里程、用地面積和道路網總容量等相關因素為研究基礎，得到的級配模型、飽和度和可達性等結果局限于對城市道路網整體的宏觀評價，不適于表述城市道路網內部微觀結構的特性。

路網與其組成部分的關系就是整體與局部的關系，而分形維數就是用于描述自然界中事物的整體與其組成部分以某種方式聯系的特性參數［8］，因此相關學者們將分形維數應用到各類路網內部結構的研究中。管楚度［9］將分形理論運用到公路網內部結構特性的分析中，給出了工程實踐中公路網分維數的計算模型；游清華［10］提出了公路網分維數既能描述某一地區公路網建設規模又能體現公路網布局均勻性的觀點；Frankhouser［11］提出了長度－半徑維數測算模型，并用于描述德國stuttgart郊區鐵路網絡的分形特性；Benguiguil［12］等人運用分形維數理論，揭示了巴黎市郊區鐵路網絡布局的內部特性；學者們還對分形維數與路網密度指標在路網結構分析中進行了對比，并對分形維數在路網評價中的應用做了相關研究［13－15］。研究結果表明：分形維數可直觀描述公路、鐵路交通網絡在其網絡區域上的覆蓋狀況和均勻性等內部結構特性。

分形維數可用于公路和鐵路等交通網絡內部結構特性的分析，但現有研究大多以某一路網整體為研究對象，少有對其內在等級結構展開細化分析，因此路網內部等級結構特性的相關研究甚少。本研究擬以分形維數有關理論為基礎，借鑒以往分形維數在公路和鐵路交通網絡結構分析中的經驗，將分形維數方法運用到城市道路網內部結構特性的分析中，對城市道路網的內部等級結構展開分析。為尋求因城市道路網內部道路等級的不同而產生的各級子路網覆蓋狀況和空間層次上的微觀結構特性，分別計算城市道路網各級子網分形維數，再根據各級子網分形維數對城市道路網的內部結構特性進行綜合分析。

1 城市道路網內部結構特性分析

1.1 分形維數

20世紀70年代初數學家Mandelbrot提出了分形理論［9］，定義了用于分形描述的定量指標（分形維數），即一個整體若量度其“容積”單位的半徑為r，用該單位量度的結果N（r）滿足N（r）＝cr－D∝r－D（其中：N為局部的個數；r為局部所選取的單位量度；c為常數；D為整體的分維數）的關系。

分形維數描述了研究整體與局部的自相似性，本研究的城市道路網就具有一定的自相似性。在實際問題中，對分形維數進行了改進［4］，稱為Hausdorff分維計算法：

式中：N為局部的個數；δ為局部與整體的相似比。

1.2 基于分形維數的城市道路網內部結構特性測度指標

路網分析實踐中，對Hausdorff分維數計算方法進行了粗視化處理，具體步驟為：用間隔r的格子把城市道路網圖平面分割成邊長為r的正方形網格，計量對象即各級道路線路落入到正方形格子的數目，記為Ni（r）。將邊長r不斷進行細分，記第k次等分后網格邊長為rk，相應的第i級道路線路的網格數記為Ni（rk），故得到數列和m個數列將其點繪在平面直角坐標系中，可得到m條R與Ni（r）的曲線，分別表示各級子網分形粗視化結果。

測度指標1：分形維數。從幾何學原理上分析，即拓撲維數，可用于實體與實體之間鄰接關聯和包含等關系。因此，根據粗視化方法，分形維數D（r）用于描述城市道路網網格與網格之間的鄰接關聯，故將其定義為路網覆蓋形態評價指標，用于實際描述經城市道路網格分割后城市道路與城市地塊之間的拓撲關系。

根據式（1），以r取代δ再兩邊取對數，得：

式中：A為常數；Di（r）為城市道路網第i級子網分形維數。

根據式（2），得r與Ni（r）的關系曲線，對其進行線性擬合，可得各級子網分形維數指標Di（r）。很顯然，分形維數指標即為所擬合直線的斜率。將式（1）改寫為：

再用差分代替微分，則

式中：rk為第k次細分網絡后的網格邊長；rk－1為第k－1次細分網絡后的網格邊長；Ni（rk）為第k次細分網絡后第i級道路路線落入的網格數；Ni（rk－1）為第k－1次細分網絡后第i級道路路線落入的網格個數；Di（rk）為第i級道路網在第k次細分網絡后的分形維數。

根據式（3）模擬某一城市道路網粗視化細分過程，既有路網覆蓋區域rk不斷縮小，這一過程中將得到數列和m個數列點繪在平面直角坐標系中，可得到m條r與Di（r）的關系曲線，稱為路網分形維數曲線［13－15］。假定所研究的城市道路網覆蓋區域邊長為R，分別用R／2，R／3及R／4的網格劃分該區域，可得相應的理論取值｛0 1 1.585 2｝；0.631 1.262 1.465 1.631 1.771 1.893 2｝；0.3 0.792 1 1.161 1.292 1.404 1.5 1.585 1.661 1.730 1.792 1.850 1.904 1.953 2｝。

分形維數Di（rk）的取值范圍為［0，2］。道路路線落入的網格數Ni（rk）越多，Di（rk）就越大。由此，可判斷第i級路網分形維數越大，路網覆蓋區域內有該級道路路線通過的地塊就越多，該級道路網在區域內覆蓋效率就越高，這一規律即城市道路與城市地塊間拓撲關系的直觀體現，具體評判標準見表1。

表1 路網分形維數評價標準Table 1 Evaluation standard of road network fractal dimension

路網分形維數曲線描述了網格邊長rk與各級道路網分形維數Di（rk）的邏輯關系，Di（rk）在網絡細分過程中體現出隨網格邊長r不斷減小而減小的性質。而網格邊長rk實際表示路網覆蓋區域下相鄰城市地塊之間的空間距離，各級道路網分形維數Di（rk）實際表示第i級路網在其覆蓋區域粗視化網格邊長為rk時路網的覆蓋效率。Di（rk）隨r減小而減小，直至第i級路網不再體現自相似性時，其臨界值為1.585。當道路網分形維數取臨界值時，該路網網絡覆蓋效率最優。

測度指標2：連通深度R。道路網絡達到最優覆蓋效率時的網格邊長r所對應的實際空間距離R稱為路網的連通深度。第i級城市道路子網的連通深度記為Ri。連通深度指標用以評價路網的有效連通距離和服務能力。

臨界值取值分析［15］：城市道路網的連通深度Ri表示研究區域內約3／4的地塊有第i級道路路線通過時的網格邊長。在路網結構分析中，第i級路網的連通深度即表示該級路網在空間上的有效連通距離，即2個距離為Ri的城市地塊間將會至少有1條i級城道路有效連通。

連通深度Ri越小，第i級路網覆蓋越密集，有效連通距離越小，服務狀況越好；反之，連通程度和服務能力就越差。城市道路網包括：快速路、主干道、次干道和支路，快速路和主干道主要服務過境交通流量，而次干道和支路主要服務于城市內部循環交通流。道路等級從高到低體現出交通功能中通過性逐漸降低、可達性逐漸升高的規律，因此道路等級由高到低對應的有效連通距離逐漸縮小。故連通深度Ri能直觀地體現因道路等級的差異所產生的空間層次上的特性，可用于表述城市道路網的內部結構特性。

2 案例分析

2.1 信息的獲取

以長沙市望城區城市道路網為研究對象進行案例分析。該市區城市道路網由快速路網、主干道網、次干道網和支路網4級子網組成，地圖比例尺為1∶50 000。分別用網格邊長rk的網絡覆蓋統計有各級道路線路通過的網格數Ni（rk），其中i＝1代表快速路網，i＝2代表主干道網，i＝3代表次干道網，i＝4代表支路網。根據式（4），計算各級道路網對應的分形維數Di（rk），計算結果見表2。

表2 長沙市望城區城市道路網內部結構特性分析和計算Table 2 Analysis and calculation of road network’s internal structure characteristics at Wangcheng district in Changsha

2.2 指標的計算

1）分形維數D（r）

圖1 各級道路網ln r與ln（Ni（r））的關系Fig.1 Relationship of ln r～ln（Ni（r））in all levels of sub－networks

快速路網對應的擬合方程：ln（N1（r））＝4.853 1－1.059 5lnr，R12＝0.993 6；主干道網對應的擬合方程：ln（N2（r））＝6.594 7－1.581 8lnr，R22＝0.996 8；次干道網對應的擬合方程：ln（N3（r））＝6.988 8－1.619 1lnr，R32＝0.997 9；支路網對應的擬合方程：ln（N4（r））＝6.968 3－1.509 7lnr，R42＝0.999 1；擬合精度均能滿足要求，故得到各級道路網分形維數結果：D1（r）＝1.059 5，D2（r）＝1.581 8，D3（r）＝1.619 1，D4（r）＝1.509 7。

2）連通深度R

根據網絡邊長r與實際空間距離d的比例尺關系，按照連通深度R的定義，可直接考慮d與Di（r）的關系。將數列和m個數列分別點繪在平面直角坐標系上得到結果如圖2所示。從圖2中可以看出，d與Di（r）呈線性變化關系，假定它們的關系式為：

采用最小二乘法對各級道路網d～Di（r）曲線進行線性擬合，得到了回歸方程。假定置信度α＝0.005，F檢驗中臨界值F（1，4）＝31.33，分別對回歸方程進行顯著性檢驗。

圖2 各級子網d與DI（r）的關系Fig.2 Relationship of d～DI（r）in all levels of sub－networks

快速路網對應的擬合方程：D1（r）＝0.092 8d＋0.869 4，F1＝495.18；主干道網對應的擬合方程：D2（r）＝0.092 8d＋0.869 4，F2＝630.38；次干道網對應的擬合方程：D3（r）＝0.092 8d＋0.869 4，F3＝152.51；支路網對應的擬合方程：D4（r）＝0.092 8d＋0.869 4，F4＝39.52；F1，F2，F3和F4均大于臨界值F（1，4），即所得回歸方程均能滿足置信度α＝0.005的F分布顯著性要求。故假定Di（r）＝1.585，得到各級道路網連通度指標分別為：R1＝7.71km，R2＝2.10km，R3＝1.64km，R4＝3.38km。

2.3 案例分析

根據分形維數和連通深度指標的計算結果，結合長沙市望城區城市道路網的實際情況，分析得到長沙市望城區城市道路網內部結構的特點為：

1）長沙市望城區城市道路網中各級道路網分形維數計算結果為：快速路網D1（r）＝1.059 5，主干道網D2（r）＝1.581 8，次干道網D3（r）＝1.619 1，支路網D4（r）＝1.509 7。且D1（r）＜D4（r）＜D2（r）＜1.585＜D3（r）。從表1中可以看出，望城區城市道路網中快速路網和支路網的覆蓋效率處于較低水平，主干道網接近最優覆蓋效率，而次干道網處于較高的覆蓋水平。這表明長沙市望城區城市道路網中快速路和支路的建設規模未達到實際需求。

2）理論上城市道路等級從高到低變化，其通過性降低而可達性提升，故連通深度應當隨道路等級的降低而逐漸減小。望城區城市道路網連通深度R3＜R2＜R4＜R1，快速路和支路網連通深度偏大，支路網連通深度甚至超過了主干道和次干道網的連通深度。由此可推斷：望城區城市道路網內部等級結構紊亂，各級道路服務功能分工不明確，特別是支路網主要的可達性特征未能體現。

結合長沙市望城區城市道路網建設的實際情況，2011年6月原長沙市望城縣撤縣設區，其縣域內部原有的城市道路和城鄉公路網需要逐漸轉型為與長沙市相對接的城市道路網。因此，近幾年望城區的城市道路網建設尚未成型，快速路網和支路網建設滯后，內部等級結構尚未完善，該情況與分形維數和連通深度的計算結果相吻合。這也驗證了運用分形維數和連通深度指標能揭示城市道路網內部結構特性的可行性。

3 結論

依托長沙市望城區城市道路網實際情況，將分形維數相關理論運用到城市道路網內部結構特性的分析中，得到的結論為：

1）分形維數可以同時分別運用在某一城市道路網所包含的快速路網、主干道網、次干道網和支路網的分析中。Di（r）為1.585時，路網覆蓋效率最優；Di（r）高于1.585時，路網覆蓋效率有剩余；Di（r）低于1.585時，路網覆蓋效率偏低。在對路網總體結構進行調整時具有指導意義，可以考慮加大覆蓋效率低的子網建設規模，將覆蓋效率偏高的低等級子網進行部分路線提質填補覆蓋效率低的高等級子網。

2）連通深度描述了路網的有效連通距離，能定量地確定路網的實際服務深度。將其運用到城市道路網各級子網結構特性的分析中，可明確各級子網的實際服務深度，同時判別各級子網連通深度的取值是否符合各級子網交通功能的實際需求。

3）通過對各級子網連通深度的比較發現，道路等級越高，連通深度也就越大，據此可以判別城市道路網內部等級結構是否層次分明。對各級子網連通深度隨等級的變化規律進行分析，可以找出造成城市道路網內部等級結構紊亂的原因。

綜上所述，分形維數和連通深度這兩大指標能夠較好地揭露城市道路網的內部結構特性，驗證分形維數方法運用到城市道路內部結構分析中的可行性。但本研究依托的地區城市道路網總體呈方格網狀，這一形狀與Hausdorff分形維數粗視化方法的方格網劃分過程是相適應的。因此，這類方法是否能運用到其他布局類型（如：環形加射線型和自由型等）的城市道路網的分析中，還需進一步探究。

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