瀝青混合料蠕變柔量轉換為松弛模量的研究

黃文柯，張麗娟，張肖寧，邵申申

（華南理工大學土木與交通學院，廣東廣州 510640）

瀝青混合料的路用性能十分復雜，但其力學行為主要表現為粘彈特性［1］。瀝青混合料可以看作一種簡單的熱流變材料，其粘彈性力學行為的研究已經成為這一領域的主流研究方法。因此，確定瀝青混合料的粘彈性參數，是研究瀝青混合料粘彈性能的基礎。

松弛模量與蠕變柔量是瀝青混合料靜態粘彈性能的基本方程，是研究瀝青混合料粘彈性物理學性能的重要參數。其確定方法［2］有直接拉伸試驗、應力松弛試驗和蠕變試驗等。周志剛［3］從瀝青混合料蠕變特性出發，通過直接拉伸試驗，確定了瀝青混合料粘彈性參數。鄭健龍［4］根據應力松弛試驗，運用粘彈性力學相關理論，對瀝青混合料的粘彈性參數測定方法進行了分析。

應力松弛試驗是在試驗開始的很短時間內輸入一定的應變。然而，直接利用松弛試驗測定松弛模量，往往會造成較大的誤差，而且操作上也有一定的困難。而利用瀝青混合料復數模量，確定松弛模量，已有許多學者研究并取得了一些成果。趙延慶［5］利用瀝青混合料復數模量試驗結果，確定瀝青混合料存儲模量主曲線，利用配置法和相關的粘彈性理論關系式，將瀝青混合料的存儲模量轉化為瀝青混合料的松弛模量。YAN［6］根據瀝青混合料動態掃描數據，運用非線性擬合工具與矩陣的方法，得到相同的廣義Maxwell模型的Prony級數表達式的參數。劉孝敏［7］在分析前人成果的基礎上，給出了復模量－松弛模量的相互轉化關系。然而，在測定瀝青混合料的復數模量時，需要在若干個溫度下進行試驗。而且，在每一個溫度下，還需要測定若干個不同角頻率瀝青混合料的復數模量，才能得到瀝青混合料的動態模量和相位角。

瀝青混合料單軸蠕變試驗較為簡單，而且容易實現。本研究擬利用不同荷載水平下瀝青混合料蠕變柔量的擬合結果，根據瀝青混合料蠕變柔量與松弛模量之間的轉換關系，確定松弛強度。以期為瀝青混合料粘彈性能進一步分析提供方法。

1 瀝青混合料松弛模量和蠕變柔量的Prony級數表達式

瀝青混合料是典型的線性粘彈性材料。通常運用線性粘彈力學，研究和分析瀝青混合料的性質。線性疊加原理是粘彈性力學中最基本但最重要的原理（也叫Boltzmann疊加原理）之一，最早由Boltzmann作為經驗關系提出。線性粘彈性材料單軸、抗老化及等溫本構方程為：

或

式中：E（t）為松弛模量；J（t）為蠕變柔量；σ為應力；ε為應變；t為時間；τ為積分變量。

描述粘彈性本構關系時，可以用彈簧和粘壺組合的機械模型來解析材料的有關性質。廣義Maxwell模型由一個彈簧和m個并聯的Maxwell單元組成，如圖1所示。

圖1 廣義Maxwell模型Fig.1 General Maxwell model

模型的松弛模量為：

式中：Ee為靜彈性模量；Ei為松弛強度；ρi為松弛時間。

蠕變柔量可以通過由一個彈簧、一個粘壺和n個Voigt單元串聯而成的廣義Kelvin模型表示，其組合方式如圖2所示。

模型的蠕變柔量為：

式中：Jg為玻璃態柔量；η0為零剪切粘度；Jj為延遲強度；τj為延遲時間。

式（3），（4）中的系列表達式被稱為Prony級數表達式。通過試驗，測定了粘彈性參數Ji，τj，Jg，η0，Ee，Ei及ρi，即確定表征瀝青混合料粘彈性能的松弛模量和蠕變柔量。該級數表達式表征了恒定荷載作用下瀝青混合料的蠕變柔量和松弛模量隨時間的變化關系。

2 松弛模量與蠕變柔量之間的轉換

粘彈性材料的松弛模量E（t）與蠕變柔量J（t）之間不是簡單的倒數關系，它們之間存在一個卷積積分的形式：

由方程（5）可知，當蠕變柔量J（t）已知時，通過積分，可以確定松弛模量E（t）；相反，當松弛模量E（t）已知時，通過積分，可以確定蠕變柔量J（t）。Park［8］給出的方法為：當松弛模量E（t）已知時，將式（3）和（4）代入式（5），并引入狄拉克δ函數，將式（5）化簡為矩陣形式，求解蠕變柔量J（t）。當蠕變柔量J（t）已知時，求解松弛模量E（t）卻沒有進行推導。本研究利用文獻［8］提供的方法，將已知的蠕變柔量J（t）代入式（5）進行推導，并將推導結果用矩陣的形式表示：

或者AkiEi＝Bk；i＝1，2，…，n；k＝1，2，…，p。

式中：tk（k＝1，2，…，p）為與式（5）積分上限相對應的離散時間。

式（4）中的玻璃態柔量Jg可以由Ee＝（Jg＋得到。

3 模型選擇及試驗

為了驗證推導公式的合理性和適用性，本研究將對基質瀝青和SBS改性瀝青2種膠結料的AC－13C瀝青混合料在25℃溫度環境下進行不同荷載水平的單軸靜載蠕變試驗。其中：基質瀝青混合料的荷載水平分別為0.5，0.7和1.0MPa，SBS改性瀝青混合料的荷載水平分別為1.0，1.2和1.5MPa。本實驗試驗在MTS810萬能材料試驗機上進行。

3.1 模型選擇

張麗娟［9］利用非線性數學擬合工具，對八單元廣義Maxwell模型和廣義Kelvin模型進行了參數擬合，發現八單元廣義Maxwell模型Prony級數表達式能表征基質、改性瀝青混合料的剪切松弛模量隨時間的變化關系；在恒定荷載作用下，八單元廣義Kelvin模型能表征基質、改性瀝青混合料的蠕變柔量隨時間的變化關系。本研究中，廣義Maxwell模型和廣義Kelvin模型都采用八單元（n＝8）Prony級數表達式。對于式（6），當選取的時間點與單元個數相同（即p＝n＝8）時，運用配置法，求解方程；當選取的時間點大于單元個數（p＞n）時，即式（6）的方程個數大于未知數，使用最小二乘法，求解方程。本研究采用2種方法求解方程，并對2種方法的計算結果進行對比。

延遲時間譜和松弛時間譜通常為預先給定的一系列時間點。延遲時間譜取τj＝10j－4，j＝1，2，…，8；松弛時間譜取ρi＝10i－4，i＝1，2，…，8。

3.2 試驗原材料

試驗用瀝青為70＃基質瀝青和SBS改性瀝青，集料采用花崗巖。級配為AC－13C，各篩孔集料通過百分率見表1。瀝青用量為4.8%。

表1 AC－13C瀝青混合料礦料級配組成Table 1 Gradation compositions of AC－13Casphalt mixtures

3.3 單軸壓縮靜載蠕變試驗

根據《公路工程瀝青及瀝青混合料試驗規程》（JTG E20－2011）中的有關規定，采用旋轉壓實試件制作方法，成型直徑為100mm、高度為100mm的圓柱體瀝青混合料試件。試件脫模后，將試件置于25℃的環境箱中養護12h。為了消除試驗機的上、下壓板與試件端部的摩擦，在試件上、下端各墊一塊聚四氟乙烯薄膜。將試件置于工作臺后，先對試件加載進行100N的預壓，持續1min，使試件與上、下加載板接觸良好。然后，迅速加載到預定的荷載，加載試件為3 600s，每秒采集一個數據點。2種膠結料的AC－13C瀝青混合料在不同荷載水平下的蠕變柔量曲線如圖3所示。利用式（4），對蠕變柔量數據進行非線性擬合。25℃溫度下的瀝青混合料可以認為是粘彈性固體，因而Ee＞0，η0→∞。蠕變柔量擬合曲線如圖4所示。

圖3 蠕變柔量曲線Fig.3 Compliance curves

圖4 蠕變柔量擬合曲線Fig.4 Nonlinear fitting of compliance curves

從圖3，4中可以看出，不同荷載水平下的2種瀝青混合料蠕變柔量參數符合瀝青混合料的蠕變性質，非線性擬合相關系數在0.998以上。這說明擬合的蠕變柔量方程能預測瀝青混合料的蠕變性能。

4 計算及結果分析

根據推導出來的松弛模量與蠕變柔量之間的矩陣轉換關系式（6），利用蠕變柔量擬合結果，通過求解瀝青混合料松弛模量與蠕變柔量矩陣，得到松弛強度。為了使時間點tk覆蓋較寬時間跨度范圍，本研究分別采用配置法和最小二乘法2種方法，求解矩陣方程式（6）。tk為預先給定的一系列時間點，而且tk（k＝1，2，…，p）的選擇基于求解方法。對于配置法，tk＝1×10k－4（k＝1，2，…，8）；對于最小二乘法，tk＝10（k－1）／2－3（k＝1，2，…，20）。

4.1 配置法求解方程組

配置法是指預先指定配置點，配置點個數與待求未知量個數相同，通過求解方程組，得到所求的未知量。運用配置法，時間點取tk＝1×10k－4（k＝1，2，…，8）并代入式（7），（8），矩陣A變成一個8×8的方陣，矩陣B是一個8×1的矩陣。松弛模量未知參數為8個，實際上是求解含有8個方程的方程組，未知量為8個，未知量與方程數量相等。化簡方程組式（6），E＝A－1B，求解出矩陣E，即瀝青混合料松弛模量。通過計算，得到松弛強度，其結果見表2。

表2 由AC－13C蠕變柔量計算松弛模量結果Table 2 Relaxation modulus results calculated by the AC－13Ccreep compliance

4.2 最小二乘法求解方程組

當選取的時間點大于未知量個數時，利用最小二乘法，求解未知量。時間點取tk＝10（k－1）／2－3（k＝1，2，…，20），同理，代入式（7），（8），矩陣A變成一個20×8的矩陣，矩陣B是一個20×1的矩陣。然而，蠕變柔量未知參數為8個，方程數量為20個，方程數量大于未知量個數，屬于線性超定方程組，方程組沒有精確解。運用最小二乘法，即min‖AE－B‖2，求出D的最優近似解。可以用ATAE＝ATB求解，但比較低效。常見的解法是對矩陣A進行QR分解，即（A＝QR）。因而，有min‖AE－B‖2＝min‖QRE－B‖2＝min‖REQTB‖2。這個過程可以通過Matlab編程實現。通過將有關參數代入Matlab程序中進行計算，得到松弛強度，其結果見表3。

表3 由AC－13C蠕變柔量計算松弛模量結果Table 3 Relaxation modulus results calculated by the AC－13Ccreep compliance

4.3 結果分析

基于配置法和最小二乘法，求解的松弛模量曲線如圖5所示。這2種方法計算得到的松弛模量曲線符合瀝青混合料松弛性質。這表明：利用較為容易實現的單軸蠕變實驗，通過蠕變柔量與松弛模量之間的轉換關系，可以得到基于Prony級數瀝青混合料的松弛模量。

從圖5中可以看出，利用配置法與最小二乘法求解得到的松弛模量曲線重合。這表明該2種方法得到的松弛模量相似度非常高。對于基質瀝青混合料，500s之后的松弛模量曲線趨于穩定；對于改性瀝青混合料，1 000s之后的松弛模量曲線趨于穩定。這2種方法的計算結果差別較小，因而，在實際計算過程中，推薦選用方程數量較少的配置法進行轉換計算，得到基于Prony級數的松弛強度，可以利用這些參數，對瀝青混合料的粘彈性能作進一步的分析。

圖5 不同荷載下AC－13C瀝青混合料松弛模量曲線Fig.5 Relaxation modulus curves of AC－13C asphalt mixture with different loadings

5 結論

1）對基質瀝青與SBS瀝青兩種膠結料的AC－13C瀝青混合料在25℃溫度環境下進行不同荷載水平的單軸靜載蠕變試驗。研究結果表明：不同荷載水平下的2種瀝青混合料延遲強度數符合瀝青混合料的蠕變性質，基于Prony級數的蠕變柔量方程的非線性擬合相關系數在0.998以上，擬合的蠕變柔量方程能較好地預測瀝青混合料的蠕變性能。

2）利用擬合的蠕變柔量方程結果，根據瀝青混合料松弛模量與蠕變柔量之間的轉換關系，利用配置法和最小二乘法，確定蠕變柔量Prony級數方程的有關參數，計算得到的松弛模量曲線符合瀝青混合料松弛性質。這表明：利用較為容易實現的單軸蠕變實驗，通過蠕變柔量與松弛模量之間的轉換關系，可以得到基于Prony級數的瀝青混合料的松弛模量。

3）利用配置法和最小二乘法，得到的松弛模量曲線接近重合。這說明2種方法得到的松弛模量相似度非常高。該2種方法的計算結果差別較小，因而，在實際計算過程中，推薦選用方程數量較少的配置法進行轉換計算。

4）基于實現容易和操作方便的蠕變實驗，避免了誤差較大的松弛試驗。通過粘彈性參數之間的相互轉換關系，得到基于Prony級數的松弛強度，可以利用這些參數，對瀝青混合料的粘彈性能作進一步的分析。

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