切比雪夫多項式擬合GPS衛星星歷精度分析

楊興躍，任超，呂東，孫建偉

(1.南陽市城鄉規劃測繪院，河南 南陽 473000;2.桂林理工大學，廣西 桂林 541004;3.廣西空間信息與測繪重點實驗室，廣西 桂林 541004)

1 引 言

GPS 精密星歷是由IGS(International GPS Service for Geodynamics)等國際組織發布，它給出了最終星歷(IGF)、快速星歷(IGR)、超快速星歷(IGU)三種類型的星歷［1］。他們的軌道采樣率都為15 min 或者5 min，而在實際的應用中，接收機的采樣率一般為15 s、30 s［2］，甚至更加密集;這就需要對衛星的軌道擬合或者內插，以滿足不同的應用需求。

基于GPS 精密星歷擬合的方法較多，目前最常用的是Chebyshev 多項式擬合［3］。但是在擬合時，插值節點的選擇對最大誤差有一定的影響。本文通過選擇切比雪夫點和任意選擇的時間節點(隨機節點)對衛星軌道進行擬合，比較這兩種節點擬合的衛星軌道精度，確定擬合節點的最佳選擇方案。

2 Chebyshev 多項式擬合的數學模型

由于chebyshev 多項式適用于［－1，1］的區間，因此在進行星歷擬合時要先對插值區間進行轉化。在［t0，t0+△t］內采用n 階Chebyshev 多項式擬合時，利用式(1)完成轉化。

衛星坐標北方向可以表示為:

式中Ci為Chebyshev 多項式的待求的未知系數，而且擬合東方向和天頂方向坐標的原理與擬合北方向坐標的原理相同。

利用遞推關系:

在擬合時間內［t0，t0+△t］選取m ＞n+1 個點，由式(2)可得m 個時刻的擬合坐標x，將擬合坐標x 和已知坐標X 求差可得:

其中B 是T 的m×n 階矩陣。

根據最小二乘原理可知C=N－1BTPX，其中N=BTPB［4］。將求得的C 代回式(2)，即可求出任意時刻的GPS 衛星的坐標。

根據Chebyshev 多項式Tn(τ)結構，可以看出在區間［－1，1］上多項式圖像和Y 軸的交點有n 個，也就是有n 個零點:

和n+1 個極值點

這兩組點稱為切比雪夫點，他們在插值中有重要作用，是在單位圓上等距分布點的橫坐標，也就是說關于插值區間的中點相互對稱［5］。利用切比雪夫點插值，可以使插值區間的最大偏差到達最小［6，7］。

3 實例分析

在IGS 網站上下載(．* SP3)精密星歷文件［7］。本文選取6 號衛星2012年5月27日的igsl6900．sp3、igrl6900．sp3和igu16900．sp3精密星歷為實驗數據。

3.1 不同節點選取方法擬合坐標

對IGF、IGR、IGU 三種星歷在6 h～12 h 時段內的星歷數據進行不同階次的切比雪夫多項式擬合。將各自的下載星歷每15 min的坐標作為已知坐標，采用隨機節點和切比雪夫點兩種節點選擇方法擬合坐標，得到3種星歷11 階～16 階多項式擬合的坐標最大殘差。

IGS 切比雪夫多項式擬合結果殘差 表1

分析表1 可知，隨著插值節點的增多IGF 和IGR隨機插值節點和切比雪夫點的擬合最大殘差的差值在縮小，即精度隨著階數的增大而增高。殘差的相對比值沒有隨著階數的增加而增加，大約保持在2∶1 左右。但是由于隨意插值節點選擇的隨機性，IGU 擬合軌道的最大殘差在15 階時X 坐標為13.81 mm，Y 坐標為12.81 mm產生了較大的差值，Z 坐標偏差值相對較小。兩種方法的殘差相對比值也超出了2∶1，X 坐標約為4∶1，Y 坐標約為12∶1。Z 坐標約為2∶1這說明在擬合時，節點選擇不恰當會對X，Y 方向結果產生很大的影響，使擬合坐標精度急劇下降。

由圖1、圖2 可以看出，切比雪夫點擬合的坐標殘差比較密集，波動相對平穩，在45 min節點時出現X方向的最大殘差值，小于2.5 mm。而隨機選取節點擬合的坐標殘差在部點突出，波動較大。在345 min節點時X 方向的最大殘差接近5 mm。將兩種方案的X坐標殘差進行比較，從圖3 可以看出隨機選取節點的擬合結果不穩定。

表2 是擬合坐標與相應的IGS 下載坐標差值的RMS值。通過比較我們可以看出當選擇隨機節點不恰當時，擬合結果的RMS 和切比雪夫點擬合的結果相差很大。特別是IGU 的X，Y 坐標，隨機節點和切比雪夫點擬合的RMS 值比值接近10∶1，使高階次的擬合精度迅速下降。

圖1 切比雪夫點擬合殘差分布曲線

圖2 隨機節點擬合殘差分布

圖3 兩種節點方案擬合的X 方向的殘差

15 階切比雪夫多項式擬合3 種精密星歷的RMS 表2

3.2 切比雪夫點擬合的坐標精度的比較

選取IGS 星歷坐標為已知坐標，分別求出IGF，IGR，IGU 的15 階切比雪夫多項式擬合的坐標精度。從表3 可以看IGF 和IGR 的精度在毫米級，而IGU 的精度都在5 cm的范圍以內，比最終星歷和快速星歷的精度低了一個量級。從圖4 可知，選取IGU 中的切比雪夫點擬合的衛星軌道，在X 方向最大殘差值小于4 cm，Y 方向最大殘差值小于8 cm，Z 方向的最大殘差值小于4 cm。

切比雪夫點擬合3 種精密星歷的精度對比 表3

圖4 IGU 的擬合精度

4 結 論

(1)在進行擬合時選取切比雪夫點進行擬合衛星坐標殘差相對隨機選取擬合節點得到的殘差分布更均勻，且擬合的最大殘差小，即選取切比雪夫點進行多項式擬合可以使插值區間的最大誤差最小化。

(2)當擬合的節點選取為非切比雪夫點時，擬合的坐標在X，Y 方向上受到的影響比較大，精度急劇下降。

(3)運用切比雪夫多項式擬合精密星歷階數的增多擬合的軌道精度就越高，15 階時IGF，IGR 的精度可以達到毫米級，IGU 的精度達到厘米級。

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