非協調網格在結構動力分析中的應用

耿長春，汪基偉

(1.中交第四航務工程勘察設計院有限公司,廣東廣州 510000; 2.河海大學,江蘇南京 210000)

非協調網格在結構動力分析中的應用

耿長春1，汪基偉2

(1.中交第四航務工程勘察設計院有限公司,廣東廣州 510000; 2.河海大學,江蘇南京 210000)

水利工程中的結構往往體形巨大且復雜，采用非協調網格技術可以減少結點數量，降低網格剖分難度。文章采用形函數插值法推導了非協調網格過渡單元的動力平衡方程，給出了非協調網格過渡單元的剛度矩陣、質量矩陣的計算公式。對某一出水池建立了一致網格和非協調網格兩種模型，用自編程序對兩種模型進行了動力分析。通過對比分析兩種模型的計算結果，證實非協調網格技術應用于此類結構是可行的，高效的。

有限元； 非協調網格； 自振特性； 動力響應； 剛度矩陣； 質量矩陣

1 非協調網格的應用

建立合理的有限元模型是混凝土結構有限元分析的首要任務。在建立有限元模型時常會遇到下列問題：(1)水工結構(如壩、水閘等)有限元計算時，通常取地基在各個方向上的尺寸為建筑物高度的一倍以上。若采用一致網格，地基在水平方向的網格與上部結構相同，這樣有可能使地基的單元數超過上部結構。由于模型總結點數受到計算機性能的限制，對于大型結構，不得不采用較粗的網格而降低計算精度。(2)對于體型比較復雜的結構，采用一致網格剖分會有困難，如水電站蝸殼中的導葉與坐環。

采用非協調網格技術可以在一定程度上解決上述問題。所謂非協調網格技術就是對結構進行網格剖分時采用了多于一種的網格尺度的單元。在不協調網格界面上，以網格尺度較大單元所包含的界面上的結點作為基本結點，而界面上與網格尺度較小單元相應的結點作為從結點，建立從結點與基本結點的線性插值關系，從而導出以基本結點位移作為求解變量的非協調網格協調位移解法[1]，這種連接兩種網格尺度單元的區域即為過渡單元。如此，可方便網格剖分，節略單元與結點，減小計算規模。

文獻[2]～文獻[8]采用構造界面過渡單元、最小勢能原理等方法來解決非協調截面的協調性，驗證了非協調網格應用于結構靜力分析的合理性。文獻[9]、文獻[10]利用非協調網格對二維無限地基和二維重力壩進行了動力特性計算。本文首先根據結點位移協調性推導出三維非協調網格過渡單元的剛度矩陣與質量矩陣公式，并根據公式編制了可應用于實際工程中的三維動力分析程序。

2 非協調網格過渡單元的剛度矩陣與質量矩陣公式推導及程序實現

為推導出非協調網格過渡單元的剛度矩陣與質量矩陣，本文先列出空間8～20結點等參單元的剛度矩陣與質量矩陣計算公式。圖1所示為空間8～20結點等參單元，該單元1～8結點為角結點，9～20結點為中間結點，任一個中間結點均可刪去。

圖1 8～20結點空間等參單元

空間8～20結點等參單元的剛度矩陣與單元質量矩陣計算公式為：

(1)

下面以圖2所示過渡單元為例，來推導過渡單元的剛度矩陣和質量矩陣。在圖2中，塊體單元a、p和s均為8結點等參單元，單元a網格尺寸小，稱為細單元；單元p和s網格尺寸大，稱為粗單元。細單元a的有些結點(最多4個)不與粗單元p和s等單元的結點相連，而是交與粗單元p和s等單元的表面E上，定義這些結點為虛結點(其中虛結點在單元p上時記為p*，在單元s上時記為s*，以此類推)，其余結點為實結點。虛結點的物理量(位移、速度與加速度)不能作為運動方程中的未知量，只能由與其相交的粗單元的結點物理量通過形函數插值得到。為了簡單明了地表達公式，下文的公式中只具體寫出有關虛結點p*和s*的部分，有關虛結點q*和r*的部分由“…”代替。

圖2 非協調網格過渡單元示意

細單元a的結點位移為：

ae=[u1v1w1…up*vp*wp*…us*vs*ws*…wn]

(2)

其中：下標為1～n的變量為細單元上實結點的位移；下標為p*、s*的變量為虛結點的位移。細單元中的虛結點位

移可由與其相交的粗單元結點位移通過形函數插值得到：

(3)

(4)

因此細單元結點位移可表示為：

(5)

式(5)可簡寫成：

ae=Ta′e

(6)

其中：a′e和T分別為：

(7)

(8)

細單元內任一點的位移為：

(9)

式中:N為細單元的形函數矩陣，表達式如式(4)所示。

細單元的應變可表示為：

ε=Bae=BTa′e

(10)

式中:B為應變轉換矩陣。

細單元的應力可表示為：

σ=DBae=DBTa′e=[S1S2…Sn]Ta′e

(11)

式中：Si為應力轉換矩陣，Si=DBi；D為彈性矩陣。

作用在細單元體積上的作用力為：

(12)

將式(9)代入式(12)，得到：

(13)

(14)

細單元的等效結點荷載為：

(15)

(16)

由虛功原理可得平衡方程：

Re=∫veBTDBdvae=∫veBTDBTdva′e

(17)

將式(17)代入式(16)可得：

(18)

(19)

式中：k′e為細單元剛度矩陣；m′e為細單元質量矩陣；c′e為細單元阻尼矩陣。

(20)

式(20)中的細單元剛度矩陣與細單元質量矩陣的計算公式可轉化為：

(21)

比較式(1)和式(21)可知，非協調網格過渡單元的單元剛度矩陣k′e是在一般單元的單元剛度矩陣ke的兩邊分別乘以轉換矩陣TT和T；非協調網格過渡單元的質量矩陣m′e也是在一般單元的單元質量矩陣me的兩邊分別乘以轉換矩陣TT和T。此時得到的單元質量矩陣也是一致質量矩陣。

在等參單元中任一點的坐標可表示為：

(22)

式中：N(ξ,η,ζ)為三維等參單元的形函數矩陣；X，Y，Z為單元結點坐標向量。對式(22)微分可得：

(23)

式中：J為Jacobian矩陣，對整體坐標中的一點P(x,y,z)，其局部坐標(ξ,η,ζ)應符合下式：

(24)

可用牛頓迭代法求解式(24)，迭代格式為：

(25)

(26)

式中：Jn=J(ξn,ηn,ζn)；Nn=N(ξn,ηn,ζn)。

用牛頓-拉斐遜法求解非線性方程組時，在真實解附近具有二階收斂速度，可較快地將整體坐標轉換為其相應的局部坐標。

3 應用實例

本文利用上述過渡單元的公式編制了空間非協調網格動力分析程序，對某一出水池建立了一致網格和非協調網格兩種模型，并用自編程序對該結構進行動力計算。一致網格模型如圖3所示，整個模型共劃分了65 257個結點，52 956個單元。非協調網格模型如圖4～圖6所示，該模型共劃分了41 619個結點，32 320個單元，其中虛結點有1 840個，比一致網格模型節省了36%的結點數目。

圖3 一致網格計算模型

圖4 非協調網格計算模型

圖5 非協調網格橫向剖面示意

圖6 非協調網格縱向剖面示意

表1給出了兩種模型下結構前九階自振頻率及振型描述。

由表1可以看出，兩種有限元模型得到的結構自振頻率值非常接近，最大相差5.03%，振型相同，這說明了非協調網格技術應用于求解這類工程自振特性是合理可行的。

本文選用El-centro(1940,NS) 地震波，最大加速度峰值為1.962 m/s2，時間歷時20 s，共有1 000個時刻，對兩個模型進行了時程分析，一致網格模型費時50 h，而非協調網格模型只用了26 h。在出水池結構上取一個點來分析結構在橫向地震波作用下的位移響應。為節約篇幅，圖7列出兩種模型下該點在Y向和Z向的位移時程曲線。

表1 自振頻率及振型對比

Y向(Y- direction)

Z向(Z- direction)圖7 兩種模型下該點的位移時程曲線

由圖7可見，兩種模型所得的A兩點在Y向、Z向的位移的最大誤差為6.26 %，其中最大值的誤差只有3.70 %，說明非協調網格技術應用于這類工程有足夠的精度，滿足工程精度要求。

4 結束語

在滿足工程精度要求的情況下，在大型工程動力分析中應用非協調網格技術可大為減少結點數目，極大提高計算效率，節省計算時間，該技術可廣泛地應用到實際工程中。

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耿長春(1988～)，男，碩士，助理工程師，主要從事計算方法研究和結構設計；汪基偉(1962～)，男，教授，博士，博導，主要從事鋼筋混凝土結構限裂配筋研究和結構靜動力分析。

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[定稿日期]2014-08-27