數(shù)學(xué)教學(xué):把根留住
——2015年浙江省數(shù)學(xué)高考試題解讀

●曹鳳山 (余杭高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 311100)

數(shù)學(xué)教學(xué):把根留住
——2015年浙江省數(shù)學(xué)高考試題解讀

●曹鳳山 (余杭高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 311100)

高考?jí)m埃落定.對(duì)考生，笑也罷哭也罷，過(guò)去也就過(guò)去了;對(duì)教師，贊也罷批也罷，面對(duì)高考試題，反思、改進(jìn)自己的教學(xué)是必須要做好的工作.分析2015年浙江省數(shù)學(xué)高考試題，處處能感受到試卷傳達(dá)出的強(qiáng)烈信息——數(shù)學(xué)教學(xué):把根留住!

1 強(qiáng)化教學(xué)目標(biāo)的“根”:雙基

高考結(jié)束后反映數(shù)學(xué)高考試題簡(jiǎn)單的年份基本沒(méi)有，考完罵聲一片已約定俗成.感性地宣泄自不必當(dāng)真，理性、客觀地分析才是正道.“普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試是合格的高中畢業(yè)生和具有同等學(xué)力的考生參加的選拔性考試”.既然是“選拔性考試”，考試的結(jié)果就不會(huì)人人歡喜，出新題、出難題是高考命題一種現(xiàn)實(shí)選擇，每個(gè)考生得到“自己的高分”是現(xiàn)實(shí)，考生的“欲望”都得到滿(mǎn)足是夢(mèng)想.“合格的高中畢業(yè)生”雙基要熟練.雙基是考生繼續(xù)深造的“根”，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的“根”，是取得理想高考成績(jī)的“根”，是教學(xué)目標(biāo)的“根”.

表1 2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試卷考查內(nèi)容分布

從表1可以看出，雙基是考查的絕對(duì)重點(diǎn).理科試題覆蓋了集合與常用邏輯用語(yǔ)、三角函數(shù)、函數(shù)、解析幾何、立體幾何、數(shù)列、向量、不等式等板塊的主要內(nèi)容，知識(shí)點(diǎn)分布合理.支撐中學(xué)數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，如函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、三角函數(shù)等，在試卷中占較大比重.2015年的浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題除第6，7，14，15題、第18題第2)小題、第20題第2)小題等試題具有一定的難度外，其他試題都很注重雙基，大概占到110分.讓不同層次的考生得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)是高考的必然，無(wú)論哪個(gè)層次的考生，雙基都是第1位的.從考試成績(jī)看，相當(dāng)一部分考生連低、中檔試題的分?jǐn)?shù)都拿不到，基礎(chǔ)不牢地動(dòng)山搖.在雙基上舍得下功夫永遠(yuǎn)不過(guò)時(shí)，如何強(qiáng)調(diào)雙基的重要性都不為過(guò).文科試卷也有類(lèi)似的特點(diǎn)，此處不再詳述.

2 突出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“根”:能力

長(zhǎng)遠(yuǎn)地看，中學(xué)階段學(xué)習(xí)的知識(shí)基本上屬于以后學(xué)習(xí)、發(fā)展的基礎(chǔ)，中學(xué)階段的成績(jī)只是“短期利益”，“長(zhǎng)期利益”是以知識(shí)學(xué)習(xí)為載體的能力培養(yǎng)，能力是第1位的.

以學(xué)習(xí)能力為例，中學(xué)階段學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)是一個(gè)人發(fā)展的重要階段，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)是根本，因?yàn)閷W(xué)習(xí)能力決定了以后發(fā)展的高度與廣度.那么現(xiàn)在的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力如何呢?通過(guò)分析試卷和考生情況可知，一些試題“卡殼”的原因就在于學(xué)習(xí)能力不足，一些試題干脆“讀不懂”:如理科卷第6，7，14，15，18，20題等.

考生為何讀不懂題意?我們截取其中幾個(gè)大眾化的高中數(shù)學(xué)課堂的鏡頭作些觀察，期望有所感悟.鏡頭①，新授課:集合的運(yùn)算.大致程序:PPT展示——引例——并集的定義、表示——例題;引例——交集的定義，……大部分的時(shí)間是例題與之后的練習(xí).高一的學(xué)生對(duì)于集合這個(gè)“新生事物”還有些陌生，運(yùn)算只有數(shù)、式的體驗(yàn)，對(duì)于沒(méi)有預(yù)習(xí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，交、并、補(bǔ)的符號(hào)可能還不會(huì)寫(xiě)，寫(xiě)不好，對(duì)所謂“集合的運(yùn)算”更是一頭霧水.加、減、乘、除等運(yùn)算符號(hào)又不能類(lèi)比，因此只能模仿例題大量做練習(xí).鏡頭②，復(fù)習(xí)課:集合及其運(yùn)算.大致程序:PPT展示——知識(shí)梳理——題型(考點(diǎn))1(教師讀試題、分析、講解、展示解法，然后練習(xí))——題型(考點(diǎn))2，……

從以上教學(xué)鏡頭看，新授課、復(fù)習(xí)課的差異在于課堂容量，共同的是大量的例題、練習(xí)，學(xué)生模仿題型.所謂“教”大致就是題型、方法、技巧展示，所謂“學(xué)”約等于題型模仿.

符號(hào)突出是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)突出特點(diǎn).除文字外，數(shù)學(xué)中還有大量的字母、圖形，但符號(hào)并不是數(shù)學(xué)，只有理解符號(hào)體現(xiàn)的存在才是數(shù)學(xué)，才使得數(shù)學(xué)由不可見(jiàn)變得可見(jiàn).數(shù)學(xué)也是語(yǔ)言學(xué)科，數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言以及文字語(yǔ)言，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要3種語(yǔ)言的理解、3種語(yǔ)言之間的翻譯和轉(zhuǎn)換.完成知識(shí)的理解、知識(shí)間的聯(lián)系、方法的改進(jìn)和創(chuàng)新，在3種語(yǔ)言的基礎(chǔ)上才能有理性思維的展開(kāi).既然是語(yǔ)言學(xué)科自然就要遵循語(yǔ)言學(xué)科學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，要有閱讀理解、模仿、表達(dá)等過(guò)程，學(xué)生要有體驗(yàn)的過(guò)程.

在一些課堂上，學(xué)生所謂的學(xué)習(xí)過(guò)程中基本沒(méi)有自行閱讀理解、數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)、理解的過(guò)程.一是教師要趕進(jìn)度，3年的課程一年半不到就趕完，然后就是一輪又一輪的題型復(fù)習(xí);二是教師不放心，怕效率低，讀給你聽(tīng)、講給你聽(tīng)、寫(xiě)給你看、放給你看，總怕學(xué)生會(huì)出錯(cuò)，全程陪護(hù)不時(shí)指指點(diǎn)點(diǎn)，就是一道例題、幾個(gè)字母教師也要自己讀、自己分析、解釋;三是把理想當(dāng)現(xiàn)實(shí)，把人才當(dāng)成天才，認(rèn)為學(xué)生看一眼就會(huì)和教師“看到”、“想出”一樣的內(nèi)容，希望“同學(xué)們課下預(yù)習(xí)”、“同學(xué)們課后研讀”，而事實(shí)上，很少有學(xué)生課下有時(shí)間自己看課本.學(xué)習(xí)最終是學(xué)生自己的事，教師包辦的多學(xué)生學(xué)習(xí)的就少，學(xué)習(xí)在于體驗(yàn)，沒(méi)有感性的體驗(yàn)就不能根深蒂固，直接灌輸?shù)慕Y(jié)論就是移花接木，沒(méi)有生命力.沒(méi)有自己學(xué)習(xí)新知識(shí)的體驗(yàn)，沒(méi)有接收新信息、翻譯新信息、應(yīng)用信息處理問(wèn)題的體驗(yàn)，面對(duì)陌生的情境就會(huì)一籌莫展，就不能提升自己的學(xué)習(xí)能力.教師可以做教練，指出方法、途徑，讓學(xué)生自己下水體驗(yàn).教師不能做導(dǎo)航儀，導(dǎo)航儀報(bào)的再清楚不如自己走過(guò)的路熟悉，在沒(méi)有“導(dǎo)航儀”指揮下的考生，考場(chǎng)上“前方500米左拐還是右拐”就找不到方向.

給學(xué)生學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)、探索的空間、體驗(yàn)的過(guò)程，在失敗、成功的過(guò)程中體現(xiàn)教師引導(dǎo)的價(jià)值，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).讓學(xué)生回歸其本意:“以學(xué)為生”，學(xué)生投入到學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，在教師引導(dǎo)、學(xué)生體驗(yàn)的過(guò)程中逐步培養(yǎng)學(xué)生的各項(xiàng)能力.

例1設(shè)A，B是有限集，定義d(A，B)=card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中的元素個(gè)數(shù)，

命題①:對(duì)任意有限集A，B，A≠B是d(A，B)＞0的充分必要條件;

命題②:對(duì)任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)+d(B，C)，

A.命題①和命題②都成立 B.命題①和命題②都不成立

C.命題①成立，命題②不成立 D.命題①不成立，命題②成立

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第6題)

分析本題以集合、命題以及充要條件等知識(shí)為背景，通過(guò)定義新符號(hào)考查考生在新情境下閱讀理解和分析推理的能力.試題主要以符號(hào)語(yǔ)言給出，文字語(yǔ)言輔助.在推理過(guò)程中，符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)譯，試題背景熟悉，素材直接取自課本的閱讀材料，體現(xiàn)高考試題源于課本又高于課本的特點(diǎn).從文字、符號(hào)容易理解:d(A，B)表示集合A，B的非公共元素個(gè)數(shù)，對(duì)命題①，若對(duì)任意有限集A，B，A≠B，則這2個(gè)集合一定有非公共元素，即d(A，B)＞0;反過(guò)來(lái)，若d(A，B)＞0，2個(gè)集合有非公共元素，則A≠B.用圖形語(yǔ)言，如圖1，命題①的正確性直觀可見(jiàn).當(dāng)然，也可以直接利用符號(hào)推導(dǎo)，3種語(yǔ)言都可以解決問(wèn)題，3種語(yǔ)言互相結(jié)合更快捷、準(zhǔn)確.實(shí)際上，從圖形出發(fā)，把card(A)理解為封閉圖形的“面積”更好處理.對(duì)命題②，可以利用圖形求解，但需要考慮很多情形.雖然可以通過(guò)排除法得到答案，但心里還是不夠踏實(shí).若通過(guò)符號(hào)理解，并結(jié)合圖形和集合知識(shí)，則符號(hào)推演可以確定性、一次性地解決問(wèn)題.實(shí)際上，

圖1

3 彰顯數(shù)學(xué)的“根”:概念

數(shù)學(xué)概念是人類(lèi)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的概括反映，是建立數(shù)學(xué)法則、公式、定理的基礎(chǔ)，也是運(yùn)算、推理、判斷和證明的基石，更是數(shù)學(xué)思維、交流的工具.李邦河院士說(shuō):數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也!

例2存在函數(shù)f(x)滿(mǎn)足，對(duì)任意x∈R都有( )

A.f(sin2x)=sinx B.f(sin2x)=x2+x C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

例3已知e1，e2是空間單位向量，，若空間向量b滿(mǎn)足b·e1=2，，且對(duì)于任意x，y∈R，|b－(xe1+ye2)|≥|b－(x0e1+y0e2)|=1(其中x0，y0∈R)，則x0= ______，y0= ______，|b |= ______.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

分析例2依托三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性和二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，考查函數(shù)概念.抽象的概念考查以具體函數(shù)為依托，題干簡(jiǎn)樸，符號(hào)表述內(nèi)涵豐富.首先是閱讀理解:對(duì)任意x∈R，只要找到一個(gè)定義在R上滿(mǎn)足條件的函數(shù)即可，看定義域給出的選項(xiàng)都是滿(mǎn)足的，是否有這樣的函數(shù)呢，從何入手?函數(shù)定義!對(duì)任意x∈R，都有且僅有唯一的實(shí)數(shù)值與其對(duì)應(yīng)，注意這里的自變量并不是x而是sin2x，即當(dāng)sin2x0確定時(shí)，對(duì)應(yīng)的sinx0是否存在且唯一.如取x0=0，那么f(0)=sin0=0;若取，則，故選項(xiàng)A不正確;同理可以判斷選項(xiàng)B，C錯(cuò)誤.

例3首先也是需要閱讀理解，特別是對(duì)關(guān)系式

幾何意義的理解.如果符號(hào)背后的數(shù)學(xué)情境看不懂，那么后面便無(wú)從談起.根據(jù)向量運(yùn)算的幾何意義，在空間中，當(dāng)向量e1，e2，b共起點(diǎn)時(shí)，|b－(xe1+ye2)|表示向量b的終點(diǎn)到e1，e2確定的平面上的點(diǎn)的距離.關(guān)系式(1)完整的含義是，向量b的終點(diǎn)到e1，e2確定的平面的最短距離是1.從最基本的空間向量基本定理出發(fā)，設(shè) b=x0e1+y0e2+e3(其中 e3⊥ei，i=1，2，x0，y0∈R)，由 b·e1=2，，得到解得x0=1，y0=2，進(jìn)而有.由此可知，利用基本概念、基本定理是最簡(jiǎn)捷的解題途徑.

用概念解題學(xué)生往往感覺(jué)很驚訝!還可以這樣解?這么簡(jiǎn)單!那說(shuō)好的解題技巧呢?在平時(shí)的課堂教學(xué)中，概念教學(xué)存在的問(wèn)題不少:比如淡化概念教學(xué)，一筆帶過(guò)，以為有文字、有符號(hào)學(xué)生一看就懂、一講就會(huì);概念教學(xué)無(wú)處著力，如章建躍博士反復(fù)提到:一個(gè)定義三項(xiàng)注意;概念教學(xué)異化，概念教學(xué)成了解題教學(xué)，以解題代替概念理解，如此等等，沒(méi)有抓到概念教學(xué)的本質(zhì)，偏離了數(shù)學(xué)教學(xué)的正軌.概念的理解與典型例子密不可分，一個(gè)典型的例子勝過(guò)一百次抽象的說(shuō)教;概念的教學(xué)還要注意不斷深化，在綜合、新情境下不斷加深對(duì)概念、原理的認(rèn)識(shí);解題教學(xué)注重從概念、原理出發(fā)，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.把握概念教學(xué)的核心，注重概括，將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開(kāi)，以典型豐富的實(shí)例為載體，通過(guò)觀察、分析、抽象，概括本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生真正學(xué)到數(shù)學(xué)的精髓所在，真正理解數(shù)學(xué).

4 把握解題的“根”:思維

理性地說(shuō)，解題教學(xué)不是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的全部.但事實(shí)上，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)全部在解題教學(xué).解題教學(xué)沒(méi)有錯(cuò)，章建躍博士說(shuō):通過(guò)解題，學(xué)生可以加深概念的理解，深化對(duì)概念聯(lián)系性的認(rèn)識(shí)，優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，提高分析和解決問(wèn)題的能力——是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容.

例4已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足且(其中n∈N*).

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

分析1)由題意得，即an+1≤an，故，由an=(1－an－1)an－1得

2)由題意得a2n=an－an+1，從而

試題可謂情理之中、意料之外，問(wèn)題樸素、自然，以數(shù)列為載體，以函數(shù)為背景，考查重要的中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，解題方法自然、多樣.然而一些考生卻反映無(wú)處下手，平時(shí)一些“難題”可以做，為什么這么“簡(jiǎn)單”的題目卻做不了呢?除了最后一題在心理、時(shí)間上有問(wèn)題外，其他最主要的還是思維能力.

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué).過(guò)程是思想的載體，是思維訓(xùn)練的通道，是領(lǐng)悟概念本質(zhì)的平臺(tái)，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的土壤.沒(méi)有過(guò)程等于沒(méi)有思維，但是，反思我們的教學(xué)，恰恰是省略了過(guò)程，急著把“結(jié)果”、“套路”、“題型”、“妙招”等平時(shí)屢試不爽、高考卻一無(wú)用處的東西一股腦地灌給學(xué)生，把學(xué)生當(dāng)成學(xué)生而不是開(kāi)始就當(dāng)成考生，給學(xué)生學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，保證學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程，留住數(shù)學(xué)的根，留住學(xué)習(xí)的根，讓學(xué)生完勝高考，也讓學(xué)生的學(xué)習(xí)受益終生.