能力立意呼喚教學回歸
——2015年浙江省數學高考試卷評析

●鄭日鋒 (學軍中學 浙江杭州 310012)

能力立意呼喚教學回歸
——2015年浙江省數學高考試卷評析

●鄭日鋒 (學軍中學 浙江杭州 310012)

為了有利于高校選拔合格新生，有利于中學數學教學改革，高考命題實現從知識立意到能力立意的轉變，而真正貫徹這一原則的數學高考試卷卻鳳毛麟角.我們欣喜地看到了2015年浙江省數學高考試題，命題專家為我們設計了一份“清新自然”、“立意高遠”、體現能力立意的試卷，其中許多題目“余音繞梁，回味無窮”.然而考后考生、教師一片異議，認為這是浙江省高考史上最難的試卷，這究竟是什么原因呢?高考與教學有著怎樣的關聯?本文闡述2015年浙江省數學高考試題中的各種類型問題的特點及教學導向.

1 基礎題——注重理解

試題立足教材而不拘泥于教材，平和樸實，內涵深刻，給人以“題在書外、根在書中”的感覺，如理科卷第1，2，3，4，9，10，11，12道題(占42分)，文科卷第1，2，3，4，9，10，11，12道題(占44分)都是基礎題，考查基礎知識和基本技能.這些題目起點較低，考查的知識點比較單一.解決這些題目需要理解教材中的相關概念，掌握基本技能.

2 常規題——注重方法

試卷注重通性通法，注重對數學思想方法的考查，如理科卷第5，13，16，17，19題(占53分)，文科卷第5，15，16，17，18題和第20題第1)小題(占60分)都是常規題.這些題目考查主干知識，考查多個知識點，題型熟悉，方法常規，入口易、寬，往往有多種方法.個別題目用不同方法解決問題所用的時間有較大的差異，考查多個知識點，在知識網絡的交匯處命題，往往以知識為載體，考查數學思想方法及計算能力.解決這些題目需要認真審題，把握問題特征，合理選擇方法.

例1如圖1，已知橢圓上2個不同的點A，B關于直線對稱.

圖1

1)求實數 m的取值范圍;

2)求△AOB面積的最大值(O為坐標原點).

(2015年浙江省數學高考理科試題第19題)

本題緊緊圍繞用代數方法解決幾何問題的核心思想，設計的問題也是解析幾何中常規的弦長計算、垂直關系、求面積最值等常規問題，求解方法是解析幾何中的常規方法，不在技巧上作文章，考查了數形結合思想、轉化思想、函數與方程思想.

對于第1)小題，有以下2種解法.

解法1由題意知m≠0，可用韋達定理或“點差法”求出AB的中點P的坐標為，再由點P在橢圓內，得，從而實數m的取值范圍為.

解法2由題意知m≠0，可用韋達定理或“點差法”求出AB的中點P的坐標為.直線AB的方程為

代入橢圓方程x2+2y2=2，得

因為直線AB與橢圓交于2個不同的點，所以

解法1技巧性較強，有些學生難以掌握，解法2屬于通性通法，雖然它比解法1簡便，但在解決第2)小題時，解法2顯得蒼白無力，而解法1卻順理成章.

應對常規題，在教學中做到以下幾點是必要的:一是整合，歸納并總結各主干知識塊的問題特征、解題策略、易錯點、解題的誤區.編織各內容的知識網絡結構，按照知識、策略進行歸納，突出知識、策略間的聯系及適用范圍，這樣做的目的是讓知識與方法條理化、有序化、結構化，實現知識從厚到薄，達到“拎起來成條線，撒下來鋪滿地”的較高境界.二是突破，找準難點、重點、及薄弱環節，進行有針對性的訓練，切忌盲目操練，重復操練.對于不太熟悉的方法，需引導學生有意識地運用它嘗試解決相關問題.三是優化，引導學生學會從不同角度思考問題，從而開拓思路，優化思維.在復習課課堂上，教師要營造課堂氛圍，給學生思考問題的時間與空間，培養學生的思維能力.

3 新穎題，注重本質

設計試題應盡可能多地從現實問題或幾何背景出發，構造出素材樸實、內蘊豐富的試題，充分體現數學的內在實質.試卷中的題目處處閃現著問題解決的智慧.這樣的試題，加強了對數學本質的考查，突出了對學生能力的考查.如理科卷第6，7，8，14，15，18，20題(占55分)，文科卷第6，7，8，13，14，19題和第20題第2)小題(占46分)，這些題目設計新穎，意蘊深邃，突出本質，考查考生的能力及數學素養.這類題目的比例比往年增加了不少，體現以能力立意的命題原則，通過不同的新穎題，比較全面地考查學生的能力.

1)閱讀理解題.如理科卷第6題，這是一道閱讀理解題，給出一種新的運算，然后研究此新運算的性質，判斷2個命題的真假.解題時，需要考生理解新概念，然后在此基礎上進行邏輯推理，利用數形結合思想解決問題，這樣的考題真正考查了學生對數學問題的分析和理解能力，也說明了命題者匠心獨運的價值取向.

2)形式化問題.如理科卷第15題，以長方體為背景，以空間向量為載體，問題給出了含有2個參數、2個獨立變量及3個向量的不等式，實際上解決該問題可轉化為點到平面的距離，利用2個向量垂直關系得到解決.文科卷第8題也屬于此類問題.

3)應用型問題.如文科卷第7題:求粉刷房間的最低總費用問題，需要在6個代數式中找出最小值，實質上是排序不等式問題.

4)概念問題.彰顯“數學在根本上是玩概念而不是玩技巧的”.

例2存在函數f(x)滿足，對任意x∈R都有

( )

A.f(sin2x)=sinx B.f(sin2x)=x2+x

C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|

(2015年浙江省數學高考理科試題第7題)

本題考查函數的概念，函數是從定義域到值域的單值對應.對于選項A，取，得，取，得，不符合函數的定義，故排除選項A;同樣可排除選項B和C;對于選項D，取函數，符合條件.

2015年浙江省數學高考文科試題第7題考查“圓、橢圓、雙曲線、拋物線是圓錐面被不同位置的平面所截得的”這一知識點，需要考生具有較強的理解與轉化的能力.

5)動態問題.

例3如圖2，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線 CD將△ACD折成△A'CD，所成二面角A'-CD-B的平面角為α，則 ( )

A.∠A'DB≤α B.∠A'DB≥α

C.∠A'CB≤α D.∠A'CB≥α

(2015年浙江省數學高考理科試題第8題)

圖3

本題探索動態圖形的不變性質，設置了一個弱條件(D是AB的中點)，其實點D可以是AB的其他分點.解決此問題可以利用特殊化思想，取銳角△ABC，當α=180°時，選項D不成立;當α=0°時，選項A，C均不成立.故選B.

選項B的正確性只要作出二面角的平面角，為此只需在原平面圖形中，在CD取一點O作CD的垂線，變成空間圖形后便成為二面角A'-CD-B的平面角α，歸結為如下的數學模型:如圖3，在四面體D-OA'B'中，DO⊥平面OA'B'，且OA'=OB'，則∠A'DB'≤∠A'OB'.

6)綜合性問題.

例4設函數f(x)=x2+ax+b(其中a，b∈R).

2)已知函數f(x)在［－1，1］上存在零點，0≤b－2a≤1，求b的取值范圍.

(2015年浙江省數學高考文科試題第20題)

本題是函數、方程、不等式的綜合問題，第1)小題屬常規題，解決第2)小題需要考生有靈活機智的解題策略及分析問題與解決問題的能力.下面僅給出第2)小題的解法.

解法1設s，t為方程f(x)=0的根，且－1≤t≤1，則

解法2由方程f(x)=0在［－1，1］上有實根及已知，得

時，在坐標系aOb中作出點(a，b)的可行域如圖4所示.由，D(－2，－3)，得.

圖4

圖5

時，在坐標系aOb中作出點(a，b)的可行域如圖5所示.由，得.

解法1為試卷提供的標準答案，在解題過程中，需要分別計算當0≤t≤1及 －1≤t＜0時，的取值范圍，比較繁瑣，而且忽略了方程有解對a，b的約束條件，有可能導致錯誤，欠嚴謹.解法2從形的角度出發，過程簡潔，而且解法自然.分析與綜合、歸納與演繹、具體與抽象等數學思想及基本邏輯方法在此題中均有很好地體現.此外理科卷第18，20題也屬于此類問題.

從現實問題或幾何背景出發，構造出素材樸實、內蘊豐富的新穎題，充分體現了數學的內在實質，試卷中的題目處處閃現著問題解決的智慧.只有會思考、具有良好思維品質與數學素養的考生才能得心應手.教師在教學中應重視一題多解和一題多變，在做中領悟，在做中提升，在做中研究，這樣才能讓學生在遇到新穎問題時運用所學知識去合理地展開聯想、轉換、探究.在復習中做適量的習題是必不可少的，但千萬不能過量，依靠“題型+技巧 +大運動量訓練”的教學應對新穎題是力不從心的;在復習中切實掌握數學思想方法，以不變應萬變;開展探究式教學，引導學生建立數學模型，運用數學模型解題，提高學生的數學素養.

在2015屆高三復習階段，許多教師給學生做過如下題目:

例5已知函數f(x)=x2+ax+b(其中a，b∈R)的定義域為［－1，1］，記M為|f(x)|的最大值.

例6數列{an}滿足(其中n∈N*)，則的整數部分是 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4

例6為筆者所任教學校2015屆高三最后一次適應性考試的選擇壓軸題，也是鎮海中學的2013屆高三最后一次適應性考試的選擇壓軸題.

例5以及2015年1月浙江省學業水平考試壓軸題與理科卷的第18題是相關題，例6與理科卷的第20題是相關題，而且解題方法相類似.理科卷第18，20題是2015年理科試卷中師生評價最難的2道題，我們需要探討的問題是:為什么學生做了例5、例6后，還是拿不下理科卷第18、20題?若教師能引導學生領悟這2道題的解題策略，嘗試用多種方法解決，并且布置相關題目供學生練習，應該會有更多的學生做出這2道題.

結語高考試題總是在沿襲原來的命題風格的基礎上適度創新，可謂穩中漸變，如果不改變教學策略，必然難以適應高考.我們的教學需要合理定位，應該清楚并不是所有的學生在高考中都可以拿高分，讓不同層次的學生發揮出應有的較高水平，這才是我們的目標;搞“題海戰術”不僅透支了學生未來對學習的興趣，在高考中也不能取得理想的成績，能力立意的高考試題呼喚教學回歸教材，回歸本質，回歸學生.

［1］鄭日鋒，沈新權，蔣榮清.平淡中見靈動 細微處顯意蘊——2012年浙江省高考數學試卷評析［J］.數學通報，2013(2):17-19.