穩中求變體現創新
——2015年浙江數學高考理科數列試題評析

●盧 明 (元濟高級中學 浙江海鹽 314300)

穩中求變體現創新
——2015年浙江數學高考理科數列試題評析

●盧 明 (元濟高級中學 浙江海鹽 314300)

2015年浙江省數學高考理科試題與前2年一樣，考了一道數列解答題，分值為15分.不同的地方有2點:一是2015年理科數列增加了一個小題——選擇題第3題，分值為5分，主要考查等差(等比)數列的概念、前n項和，解題思路常規，難度不高;二是數列解答題放在了第20題壓軸題的位置，形式新穎，難度較大，學生普遍上手困難.這也是體現命題理念的一種創新——壓軸題的第1)小題不再輕易送分，這一理念在2014年的壓軸題上已經開始滲透.因為理科數列題的以上“新動向”，所以它自然成為大家關注和議論的熱點之一.

2009年以來，浙江省數學高考理科試題都是以函數題壓軸，多數是考導數知識，2014年考了帶絕對值的函數.2015屆高三是浙江省普通高中深化課程改革的第1屆畢業生，數學教學內容有所調整，導數內容從“必修”變為“選修”，列入ⅠB范圍.為此，高考前大家都在猜想:2015年浙江省數學高考理科壓軸題將考什么?是延續2014年的考法?還是另辟蹊徑?后來，坊間有傳說，2015年理科數學可能會以數列題壓軸.于是，“作為壓軸題的數列又將會考什么?怎么考?”一線教師、教研員議論紛紛.各地模擬卷數列壓軸題蜂擁而上，形式、內容、技巧各抒己見.為了讓試題體現創新，凸顯能力，命題者積極嘗試與遞推數列、不等式放縮等知識掛鉤，各種題型層出不窮.

高考試題真的會是這樣出嗎?怎樣做才能既達到“壓軸”的目的，又不超越“課標”要求，還能堅守“寬入口、深展開、重通法、淡技巧”的浙江命題風格呢?這對命題者來說的確是一場嚴峻的挑戰.然而，最終亮相的高考真題，還是較好地回答了以上問題.

1 試題再現，立意分析

例1 已知數列{an}滿足，且(其中n∈N*).

(2015年浙江省數學高考理科試題第20題)

從試題表述看，它繼續保持了簡潔明了、通俗易懂的浙江風格，不讓考生在審題上耗費過多的時間和精力.回顧2011～2014年的浙江省高考理科數列試題，不難發現，2015年的數列題與前幾年相比，最明顯的差異在于已知條件發生了質的變化:條件給出的數列{an}既不是等差數列，也不是等比數列，而是一個遞推數列，并且它的遞推關系也不是學生常見的;從求解的結論看，擺脫了以往求通項、求和之類的常規設問，而是將數列與不等式證明結合起來，后面的“尾巴”翹得也比較高，壓軸壓得很穩當.要說繼承，2011年考過2個數列的和比大小，2014年考過不等式恒成立問題，因此2015年考不等式證明，不是空穴來風，而是一種繼承和發展.用數列題代替函數題壓軸，是2015年命題布局上的一種創新.

2 解法探討，智慧碰撞

例1入口雖寬，但門檻較高，加上條件表述方式比較新穎、隱蔽，導致考生難以上手.首先，許多考生對遞推關系中的，沒有讀懂所蘊含的意思，從而沒有想到判斷數列{an}的單調性.有的考生證明了{an}單調遞減，但是沒有意識到需要證明an＞0，或者無法證明，導致解題漏洞.下面解答例1.

先證例1的第1)小題.

證法1由題意，知數列{an}單調遞減，且

由式(1)得

(注:以上是命題組給出的證法.)

證法2先證.數列{an}的單調性及an＞ 0(其中n∈N*)的證明同“證法1”.由式(1)得an+1≤ an，所以.

點評“解法1”中證明數列{an}單調遞減用的是作差比較法，即先證an+1－an≤0.也可以直接用放縮法來證，即，進而有.

以上證明中，由式(1)得不出an＞0，因此要往下證，必須先證明an＞0，否則，在不等式an+1≤an的2邊同除以an+1時就會有問題，這一點考生往往容易疏忽.有多位學生在第1)小題的證明中產生了類似錯誤，如:

證明an≠0還可以使用反證法.證法如下:

假設an=0.由已知得，因為，所以an－1=0.由遞推式得an－1=an－2=…=a1=0，矛盾，從而an≠0.

點評例1第1)小題考查的知識點和思想方法主要有遞推數列、數列的單調性、不等式的基本性質、作差比較法以及等價轉換的數學思想.

下面證明例1的第2)小題.

證法1由條件得

點評以上證明使用了迭代法、分析綜合法和放縮法，不少學生用了以上方法，有的教師認為本題有“超綱”的嫌疑.

再來看看命題組給出的解法.

證法2式(3)之前的證明同“證法1”.式(3)之后的證明如下:

命題組的證法沒有使用放縮法，只是利用了第1)小題的結論和遞推關系，然后使用“同向不等式相加”等不等式基本性質.關于本題所考查的知識點，命題組的說法是:“主要考查數列的遞推公式與單調性、不等式性質等基礎知識，同時考查推理論證能力.”

此題還可以用數學歸納法來證明.

3 命題反思，觀點探討

3.1 標準研讀

鑒于有不少教師認為例1超綱，筆者仔細研讀了《2015年浙江省普通高中考試說明》(下稱《考試說明》).《考試說明》中對“不等式”的考試要求是:會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型;了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系;會解一元二次不等式.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組;了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組;會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能解決.會用基本不等式(其中a≥0，b≥0)解決簡單的最大(小)值問題.《考試說明》中確實沒有提及“不等式的基本性質”.筆者又查了適合2015屆學生的《浙江省普通高中學科教學指導意見》(2012版)(下稱《學科指導意見》)，對不等式的基本性質的要求是:理解并掌握不等式的基本性質，能利用不等式的性質比較兩數(式)的大小，并證明一些簡單的不等式.對不等式證明的要求是:了解比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法，并能利用它們證明不等式.

3.2 “兩度”追思

所謂“兩度”，即試卷的“效度”與“信度”.“效度”是指所測量到的結果反映所想要檢測內容的程度.“信度”是指測驗得到的結果的一致性、穩定性及可靠性.簡單地說，“效度”要靠試題所考查的知識點來保證，“信度”要靠考查相同知識點的試題的數量來保證.

數列應該考什么?《考試說明》對數列的考試要求是:理解等差數列、等比數列的概念;掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式;了解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關系;能利用等差、等比數列前n項和公式及其性質求一些特殊數列的和;能運用數列的等差關系或等比關系解決實際問題.回顧近5年的浙江理科數學卷，數列題所考查的知識點都能緊扣《考試說明》的要求.2015年的理科數列題有一大、一小2道題，共計19分.其中第3題考查的是數列的核心知識，符合《考試說明》，但試題簡單，區分度較低;第20題真正考查《考試說明》要求的數列核心知識的只有第2)小題中“求和”一步，分值為3分，與第3題合計分值為8分，其他分值是在考查《考試說明》以外的數列與不等式知識.盡管高考強調在知識的交匯處命題，但是，筆者認為這種交匯應該限定在《考試說明》的范圍之內.

3.3 試題賞析

下面的試題來自2015年有關地市模考試卷的壓軸題，讓我們一起來鑒賞一下.

例2已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足3Sn=an－1(其中n∈N*).

1)求數列{an}的通項公式;

分析1)由條件推得

點評本題主要考查數列“和與項”的關系，等比數列的通項、前n項和以及指數運算.通項變形時有涉及到放縮，但是放縮的目的明確，技巧要求合理，放縮后可將數列轉化為等比數列求和.一般情況下，若經過簡單放縮能將一個復雜的求和問題轉化為“等比數列求和”或“裂項求和”，則屬于通性通法.筆者認為，本題還是符合“課標”要求的.

本題通項bn還可以采用以下放縮方法，實現異曲同工的效果.

點評本題主要考查數列“和與項”的關系，等差數列的定義及通項、放縮法、裂項求和法，同時考查學生的分析、綜合和預見能力.本題的放縮雖然不是一步到位，但是入口較寬，學生經過嘗試，容易找到突破口.本題的難點是形如的分式如何“裂項”，這需要經驗的積累，也需要有一定的預見性，要求比較高.

以上試題的共同特點:第1)小題起點適中，盡管每題的第2)小題都有放縮，但是對放縮的技巧要求掌控較好，更重要的是每題對數列核心知識的考查都能緊扣《考試說明》的要求，而且分值占比合理，也能體現在知識的交匯處命題的特點.

4 啟迪感悟，教學建議

毋庸置疑，《考試說明》對高中教學起著重要的導向作用.但是高中教育也不僅僅是為了高考，不能太功利，不要忘了基礎教育是為學生的人生奠基這一神圣的使命.

4.1 基于“標準”教學

所謂“標準”，即高中數學課程標準，它是國家高中數學課程教學的指導性文件，關系到高中數學課程育人的價值取向和學科三維目標的落實.對浙江省來說，“標準”就是基于《國家高中數學課程標準》制定的《浙江省高中數學學科教學指導意見》.只有堅持基于“標準”教學，才能夯實基礎，培養能力;才能優化育人模式，讓學生感受學習的快樂.這是對學生負責，也是深化課程改革之必須.

4.2 把握“核心知識”

要想把握“核心知識”，必須對“標準”進行認真解讀.“解讀”的要義不在“讀”，而在“解”.何謂“解”?就是要讀懂文字背后的意思，即“標準”所述的“核心知識”的外延.鑒于數學學科的特點，數學核心知識包括基礎知識、基本技能、基本方法和基本數學思想.高考命題就是考《考試說明》要求的“核心知識”.教師還要把握“標準”難點，即把握它的“外延”，不斷地學習，不斷地積累，不斷地“悟得”.

4.3 提高解題能力

解題能力是數學教學應該著力培養的一種能力.一名學生數學知識會不會，思維水平高不高，數學能力強不強，都可以通過解題來反映.數學高考就是通過多個數學題的解答來檢測學生對基礎知識、基本技能的掌握情況，同時檢測學生的思維能力和學科思想的運用能力.當下的數學高考，許多試題還強調在知識的交匯處命題，以考查學生的遷移能力、分析綜合能力和解決實際問題的能力.因此，提高學生的解題能力，在平時教學中要注意加強知識的縱橫聯系，幫助學生構建合理的知識結構與知識系統，提高學生在新問題情境下準確把握核心知識、形成解題決策的能力.要切實解決好學生“假懂、疑似懂、似懂非懂”的問題，即“懂而不會”、“會而不懂”.所謂“懂而不會”是指能夠聽懂教師所講的內容，但是不會靈活應用，表現在解題時沒有思路、不會做，或做不對、做不全.“會而不懂”是指表面上會做相關的題目，但是本質上沒有理解和掌握，具體表現在2個方面:一是客觀題結果正確，但是思維過程錯誤;有的正確結果是用特殊代替一般，連猜帶蒙得到的.二是解答題過程和結果雖然正確，但是只停留在簡單模仿的層次上，沒有真正理解解題的思路和方法，不能實現有效的遷移.要解決以上問題，教學中應盡量讓學生多交流，從個人的表達與對話中發現他們在解題過程中出現“懂而不會”和“會而不懂”現象的原因，對癥下藥，采取措施，逐步消除上述現象，提高他們的解題能力.

總之，學得會，考得好，是每一個教師、學生的共同愿望，如果能堅持做到以上幾點，那么我們的愿望就能成為現實.