失效數據的威布爾分布建模與參數估計方法

顧國梁，王景芹

（河北工業大學電氣工程學院，天津 300130）

失效數據的威布爾分布建模與參數估計方法

顧國梁，王景芹

（河北工業大學電氣工程學院，天津 300130）

低壓電器產品的可靠性與生產生活密切相關，因而對產品進行可靠性評估顯得十分重要，分析產品的失效數據是可靠性評估的重要手段．威布爾分布是一種常見的產品壽命分布，低壓電器產品的失效數據服從不同參數的威布爾分布．本文研究了基于威布爾分布的失效數據的數據處理過程．首先研究了威布爾分布的圖檢驗法，并用最小二乘法計算擬合直線方程和線性相關度．然后用F檢驗法對失效數據是否符合威布爾分布進行了驗證．對于確定符合威布爾分布的失效數據，本文采用極大似然估計法計算威布爾分布參數的點估計值并由此計算參數和可靠性特征量的區間估計．最后，通過具體算例對一組接觸器失效數據進行威布爾分布建模并計算相關參數．關鍵詞威布爾分布；數據處理；極大似然估計；點估計；區間估計

0 引言

低壓電器通常是指在低壓配電系統與控制系統中起開關、控制、保護、檢測、顯示和報警等作用的元件或裝置[1]，其可靠性水平對生產及日常生活的影響巨大，因而對產品進行可靠性評估顯得十分重要．文獻[2-3]分別對電力系統和繼電保護可靠性評估方法進行了相關報道，而對低壓電器產品的失效數據進行威布爾分布建模，進而估計其可靠性特征量的可靠性評估方法還未見報道．

眾所周知，絕大部分產品的壽命過程都經歷3個階段：早期失效階段、偶然失效階段和耗損失效階段．分析的失效數據是經過可靠性篩選試驗剔除了早期失效產品后得到的，文獻[4]對小型斷路器可靠性篩選的方法進行了報道．威布爾分布是可靠性理論中常用的最復雜的一種分布，大量工程實踐表明，低壓電器產品的失效數據服從不同參數的威布爾分布．因此，驗證產品的失效數據符合威布爾分布并計算出威布爾分布參數就顯得尤為重要．對低壓電器產品的失效數據進行分析和對失效規律的研究是電器可靠性研究方向的重要課題．

在IEC 60947-4-1（低壓開關設備和控制設備第4-1部分接觸器和電動機啟動器機電式接觸器和電動機啟動器）的附錄K[5]中給出了確定在功能安全性應用中所用的機電式接觸器可靠性數據的步驟，但其數據處理過程過于簡略，也未給出威布爾分布參數的數值計算方法和產品可靠度的估計方法．本文對數據的威布爾擬合和參數估計做了細致的研究．在研究過程中，通過大量的驗證與查閱資料，修正了一些文獻中不正確的公式，給出了恰當的數據處理過程．對于小樣本及無失效數據時電器產品可靠性特征量的估計可參考文獻[6]．

1 威布爾分布的檢驗方法

1.1 威布爾分布

1.1.1 威布爾分布的定義及3個參數

若隨機變量L的密度函數即失效密度函數為

1.2 威布爾分布的檢驗方法

對于實際收集到的失效數據，為證實其失效分布類型為威布爾分布．目前常用的檢驗方法有圖檢驗法和數學方法，即統計分析的方法（如2檢驗法，K-S檢驗法等）進行非參數假設檢驗．

1.2.1 威布爾分布的圖檢驗法

圖檢驗法與統計分析的方法相比具有簡單易行、使用方便、直觀易懂、容易掌握的特點，可以直觀的對失效數據是否符合威布爾分布進行檢驗．但作圖法準確度較差，所得的結果往往因人而異，甚至有時難以得到一個確切的結論．

下面用統計學方法即曲線擬合的最小二乘法對參數進行估計．

根據威布爾分布的特點及威布爾概率紙的原理可知，對于不同的失效時刻ti有

|r|=1時，所有點都在回歸直線上，此時稱x與y完全線性相關，但實際失效數據很少見到這種情形．

表1 相關系數臨界值表（p r＞r=）Tab.1The critical value of the correlation coefficient

對r的檢驗的臨界值可通過查表1得到．當r＞r時，可認為回歸效果顯著，即可以接受曲線擬合后的回歸直線方程；當r＜r時，認為x與y的相關性較差，不能接受曲線擬合后的回歸直線方程．表中n 2是自由度，n為失效數據的個數．

1.2.2 威布爾分布的統計檢驗方法

作圖法驗證失效數據符合威布爾分布的方法可能會因為人為因素造成作圖誤差，導致判斷不精確．因此，用數理統計的方法驗證失效數據滿足威布爾分布顯得尤為重要．常用的方法有皮爾遜2檢驗、柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢驗（K-S檢驗）以及對威布爾分布的F檢驗法．但由于x2檢驗法和K-S檢驗法需要預先對理論分布函數的參數進行估計，對于威布爾分布的檢驗較為不利，因而本文采用F檢驗法來檢驗．過程如下：

對于定時截尾壽命試驗，設截尾時間為t0，將故障時間從小到大排列，則r個故障時間為0＜t1t2t3…trt0，設xi=lnti，建立假設則拒絕原假設，該批數據不是來自威布爾分布的總體，反之則接受．

此方法適用于定時截尾和定數截尾試驗數據．其優點是計算時不用查找特殊的專用表格，只使用普通常見的F分布表，列表計算也較為方便．

2 威布爾分布可靠性特征量的估計

2.1 威布爾分布參數的點估計值

在威布爾分布的圖檢驗法中，介紹了參數的最小二乘估計法，用于計算點估計值．文獻[12]利用威布爾分布的均值和方差計算參數的估計值．下面本文介紹用極大似然估計法計算威布爾分布的參數．

將式(3)代入式(2)得

式中：ti代表每個參加試驗產品的試驗時間，n為試驗樣品數，r為失效數．另外，此方法求出的m的極大似然估計值存在且唯一[14]．

2.2 威布爾分布參數的區間估計

當用極大似然估計法計算威布爾分布參數的點估計值時，本文采用下面的方法計算威布爾分布參數的區間估計．它適用于完全樣本及定數、定時試驗子樣．設有n個試樣進行試驗，試驗截止時間為tr，共有r個產品故障，故障時間為t1t2t3…tr．設由極大似然估計法得到的參數點估計值為m^和^．

2.2.1 參數m的區間估計

式中：A1、A2為系數，其計算分為完全樣本（n=r）和截尾樣本（r＜n）兩種情況．首先計算以下常數

2.3 可靠性特征量的區間估計

2.3.1 可靠壽命tR的估計

對可靠度為R時的可靠壽命，在參數點估計已知時，由式(6)得其點估計

2.3.3 失效率的估計

由式(5)和式(3)可以得到

本文中給出的部分計算公式是通過數值計算后，用擬合法得到的，其誤差一般在1%～2%以下，滿足工程計算要求．

3 算例

采用具體算例研究對1組失效數據進行威布爾分布類型的檢驗及相關可靠性特征量的估計．總共有15臺接觸器（n=15）同時進行試驗直到全部失效．其失效時間（r=15）見表2．

3.1 威布爾分布的圖檢驗法

首先檢驗表2中的數據是否滿足威布爾分布，由公式(10)計算F ti計算結果如表2．在威布爾概率紙上，按（ti,F ti）描點，其軌跡如圖1所示．

從圖1中可以看出，其軌跡近似為一條直線，可以認為接觸器的失效數據服從威布爾分布．從軟件分析結果可以看出，形狀參數和真尺度參數的值分別為m=4.347，=2149130．

取可靠度R=0.9，則F=1 R=0.1，在威布爾概率紙（圖1）F t尺上找到F ti=0.1的點向右作水平線與回歸直線相交，再由交點向下作垂線，此垂線與t尺交點的讀數即為可靠度為0.9時的可靠壽命t0.9的估計值即=1 265 000（次），由=63.38得到擬合曲線方程為

至此，根據在威布爾概率紙上得到的（ti,F ti）的軌跡為一條直線，證明失效數據服從威布爾分布．然后，得到了威布爾分布的形狀參數和真尺度參數m，的估計值，并計算出擬合后的曲線方程(62)．下面，通過統計學中的最小二乘法計算擬合曲線方程，并通過相關系數r檢驗直線的線性相關程度．

表2 F ti的計算結果Tab.2The value of F (ti)

3.2最小二乘法曲線擬合

將失效數據代入式(9)、式(10)，計算xi，yi．由式(12)、式(13)計算．結果為=3.908，=57，r=0.998 8．

根據計算結果由式(11)得到曲線擬合的線性回歸方程為

由計算結果得到r=0.998 8＞r=0.513 9，可以認為線性回歸效果顯著．

比較式(62)、式(63)可以看出，用最小二乘法得到的擬合曲線方程與圖估計法得到的結果接近，但存在一定的偏差，這是由于軟件繪圖計算的結果是基于直線的整體走向確定的，會忽略偏離直線較遠的點．而最小二乘法是基于所有失效數據確定的，由于偶然因素導致個別數據偏離直線較大，其對參數的計算會產生影響．因此，通過軟件繪圖從直線整體走向計算的結果相對最小二乘法更精確．在計算精度要求不高的條件下，兩種方法得到的計算結果都可以用來估計可靠性特征量，同時，兩者也都可以說明失效數據近似為威布爾分布．

圖1 威布爾分布中位秩回歸直線Fig.1Plot of Weibull median rank regression

3.3 失效分布類型的統計學檢驗法（F檢驗法）由1.2.2節所述，在驗證失效數據符合威布爾分布時，通常采用F檢驗法進行驗證，過程如下：將失效數據代入式(22)～式(23)，其中r=15，計算結果如下

3.4 分布參數的確定

對于已經證實符合威布爾分布的失效數據，要進行威布爾分布參數的確定．首先，由極大似然估計法（MLE）計算參數的點估計值．對于算例中的失效數據，n=r，則式(28)可表達為式(64)

本文采用二分法求解參數m，令

3.5.4 可靠度的估計

對于實際產品使用過程中任意時刻的可靠度，其點估計值可將時刻t代入式(54)求得Q1=0.866，時刻t的可靠度下限可由式(55)求出．

3.5.5 失效率的估計

4 結論

本文對基于威布爾分布的失效數據的檢驗方法以及威布爾分布參數和可靠性特征量的點估計和區間估計進行了全面細致的研究，提出了對失效數據進行處理的具體方法，為日后進一步的可靠性研究奠定了基礎．

參考文獻：

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[3]戴志輝，王增平．繼電保護可靠性研究綜述[J]．電力系統保護與控制，2010，38（15）：161-167．

[4]駱燕燕，陸儉國，李志剛．小型斷路器可靠性篩選方法的研究[J]．電工技術學報，2003，18（2）：36-40．

[5]IEC 60947-4-1，Annex K Procedure to determine data for electromechanical contactors used in functional safety applications[Z]．

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[7]陸儉國，王景芹．低壓保護電器可靠性理論及其應用[M]．北京：機械工業出版社，2004：34-38．

[8]陸儉國．電器可靠性理論及應用[M]．北京：機械工業出版社，1996：53-56．

[9]戴志輝，王增平，焦延軍等．基于缺陷分析的保護裝置可靠性評價研究[J]．電力系統保護與控制，2013，41（12）：54-59．

[10]劉達民，程巖．應用統計[M]．北京：化學工業出版社，2004：86-89．

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[12]張釗，陳金木，陳昊．一種基于可用率約束的電氣設備計劃維護優化模型[J]．電力系統保護與控制，2011，39（23）：85-88．

[13]李慶陽，王能超，易大義．數值分析[M]．北京：清華大學出版社，2008：212-214．

[14]曹晉華，程侃．可靠性數學引論修訂版[M]．北京：高等教育出版社，2006：407-409．

[15]趙宇．可靠性數據分析[M]．北京：國防工業出版社，2011：161-162．

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[17]盤吉安．可靠性維修性可用性評估手冊[M]．北京：國防工業出版社，1995：190-191．

[責任編輯 代俊秋]

Weibull modelling and parameter estimation method of failure data

GU Guoliang，WANG Jingqin

(School of Electrical Engineering,HeBei University of Technology,Tianjin 300130,China)

The reliability evaluation of is very important since low voltage electrical appliances are closely related to the production andliving.Analysing thefailure data isa goodaccess tothat.Weibulldistributionisa common lifedistribution，the failure data of low voltage electrical appliances conform to Weibull distribution,but they have different parameters. In this paper,we do research on data processing of failure data which is based on Weibull distribution.Firstly we study the figure testmethod of Weibulldistribution and use theleast square method to calculate thefittinglineequation and linear correlation.Secondly,we use F test method to verify that the failure data conform to the Weibull distribution.If the failure data fit for Weibull distribution.We use maximum likelihood estimation(MLE)to calculate the point estimation of Weibull parameters and we use it to calculate the interval estimation of the Weibull parameters and reliability characteristics.At last,we use the failure data of contactors to do the Weibull modelling and calculate the related parameters.

weibulldistribution;dataprocessing;maximumlikelihoodestimation(MLE);pointestimate;intervalestimate

TM930

A

1007-2373(2015)03-0007-10

10.14081/j.cnki.hgdxb.2015.03.002

2015-01-13

國家自然科學基金（51077039）；河北省自然科學基金（E2012202111）；河北省“百千萬人才工程”人才培養資助項目（A2013007001）作者簡介：顧國梁（1990-），男（漢族），碩士生．通訊作者：王景芹（1964-），女（漢族），教授，博士生導師．

數字出版日期：2015-06-16數字出版網址：http://www.cnki.net/kcms/detail/13.1208.T.20150616.0928.004.html