習題講評講在關鍵處才能講出真風采

陳國偉

美國數學家哈爾莫斯指出：“數學真正的組成部分應該是問題和解，解題才是數學的心臟.”習題講評則正是基于完善學生對數學解題認識的教學，是數學教學中的一個重要內容.然而在這個過程中，僅就題論題者有之，講題面面俱到者有之，對錯題簡單訂正者有之，卻缺乏引導學生對錯題的成因分析，缺乏對通性、通法的強調，缺乏師生互動的探究及對解題的反思感悟.眾所周知，認識是一個過程，而不是一種產品，知識并不是通過教師傳授得到，而是學習者在一定的情境，即社會文化背景下，借助其他人（包括教師和學習伙伴）的幫助，利用必要的學習資料，通過有意義建構的方式而獲取的.因此習題講評課中，教師應關注學生的錯誤成因，發現學生解題錯誤的關鍵所在，講評應講在關鍵處，適當的關鍵處的點撥勝過教師千萬次的重復強調.本文結合具體實例探究如何在關鍵處點撥，以期拋磚引玉.

一、講在思維缺陷處

鑒于學生的認知水平，學生在認識問題的過程中具有一定的局限性，這種局限性往往體現為其自身認知的缺陷.因而習題講評課應是針對學生思維缺陷處的講評，是學生對未能掌握的知識、方法的再認識的重要環節，教師不能只注重對錯題“量”的完成和正確結論的給出，而是要注重對學生錯題的成因分析，深入了解學生的思維缺陷，積極有效地引導學生對錯題“質”的解析，完善其思維缺陷.

例1 ?已知m∈R且m≠0，直線l：mx-（m2-1）y=4m，圓C：x2+y2-8x+4y+16=0，則直線l與圓C相交所得弦長的取值范圍是 ? ? ? ? ? ?.

由于解題經驗，學生會馬上發現直線l恒過定點（4，0）且該點在圓C上，便直接得出弦長的取值范圍是[0，4].顯然學生在解答過程中忽略了直線l的斜率范圍，因為k=，m∈R且m≠0，所以k=，又由m+≥2或m+≤-2，得k∈[-，0）∪（0，]，如圖1可得弦長的取值范圍是（0，].這種錯誤正是由于學生的解題往往過多地依賴于模仿記憶，而缺乏對問題的本質分析，事實上教材《普通高中課程標準試驗教科書數學A版必修2》在“直線的傾斜角與斜率”這一節起始課中明確指出：“確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個定點以及它的傾斜角，二者缺一不可.”可見，習題講評課中應及時關注學生的思維缺陷，通過引導學生回歸課本，再次經歷概念的產生和發展過程，彌補缺陷.

二、講在思維起點處

解題能力表現在發現問題、分析問題、解決問題的敏銳性、洞察力與整體把握.其重要成分是三種基本的數學能力（運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力），核心是能否掌握正確的思維方法[1].思維能力是數學能力的核心，數學教學的主要任務是培養學生的思維能力，然而學生往往滿足于一得之見，不去思考“為什么可以這樣做”的道理，影響思維能力的提高[2].由此，習題講評應及時啟發學生的思考，在學生的思維起點處設問，逐步將學生的思維引入到更高的層次.

例2 ?已知函數f（x）=xx-a-b，a，b∈R.當x∈[0，1]時，f（x）<0恒成立，求實數b的取值范圍（結果用a表示）.

帶有絕對值的二次函數是一類特殊而又重要的函數，它的特殊性在于絕對值的“取正”功能，可以將任意的二次函數進行分段，從而形成了紛繁復雜的函數問題，充分考查了學生的數形結合以及分類討論的能力，是高考命題的“寵兒”.由于函數f（x）=xx-a-b=x2-ax-b，x≥a，

-x2+ax-b，x

引例1 ?請作出下列函數的圖象：（1）f（x）=xx;（2）f（x）=xx-2;（3）f（x）=xx+2并指出其單調性.

引例2 ?請作出函數f（x）=xx-a（a>0）的圖象，并討論若f（x）在x∈[0，1]上單調遞增，求實數的取值范圍.

引例3 ?請作出函數f（x）=xx-a（a∈R）的圖象，并討論若f（x）在x∈[0，1]上單調遞增，求實數a的取值范圍.

將函數f（x）=xx-a-b的分類討論還原到學生思維的起點，通過引例1中3個不同的函數讓學生體會函數的圖象和絕對值內的不同實數的對應關系，然后借助函數的一般式f（x）=xx-a，從a>0逐步推進，并引導學生最終解決該問題.如此，學生不僅能順利解決該題，還能再次體會從特殊到一般的認識問題的一般規律，一舉多得.

三、講在思維提升處

實踐是掌握知識的最佳途徑，對于上述例2，學生已經經歷了問題從特殊到一般的演繹經歷，其心理認知已形成一定的系統收獲，但這并不意味著學生已經徹底掌握了對此類題型的分類討論.教師要順勢利導，通過變式訓練及時引導學生從不同的角度探究解決此類問題的一般方法，及時對習題加以凝練提升，力爭讓學生“懂”一題，“會”一類，力促學生開闊視野，深化認知.

例3 ?已知a∈R，設函數f（x）=xx-a-x.

（1）當a=1時，求函數f（x）的單調區間;

（2）當a≤1時，對于任意的x∈[0，t]，不等式-1≤f（x）≤6恒成立，求實數t的最大值及此時a的值.

通過相似而不雷同的變式訓練，讓學生再次領會解絕對值問題的分類討論原則，無疑會讓學生的思維進行再次的突破，鞏固其前階段的思維成果，有效克服了被動聽課時知其然而不知其所以然的現象，是防止學生淺嘗輒止、似是而非的有效訓練[2].

四、講在思維鏈接處endprint

很多學生解題的錯誤源于對問題的轉化不熟悉，然而經過老師簡單的提醒或點評，學生馬上就能明確解題的關鍵并能順利地完成解答，但是當學生下次碰到此類問題時，學生卻又不會解決了.這種現象我們在教學中屢見不鮮，但無論教師怎么講解，結果還是會“被遺忘”.究其原因，還在于我們忽略了“學習的最好途徑是自己去發現”的事實，習題講評課應致力于幫助學生自主完成不同問題間的思維鏈接，積極引導學生自主探尋問題與問題之間本質的聯系，讓學生能夠理解并掌握分析、解決問題的過程，并促使其將這種思維方式內化為自己的思維特質.

例4 ?若正實數x，y滿足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy-34≥0恒成立，則實數a的取值范圍是 ? ? ? ? ? ? .

本題涉及基本不等式的應用、恒成立問題的求解，考查學生換元、等價轉化等思維能力，但由于題中涉及到x，y，a三個變量，大部分學生根本是無從下手，然而我們如果將該題進行分解，則可變為如下兩個問題：（1）若正實數x，y滿足x+2y+4xy，求xy的取值范圍;（2）若不等式（2t-2）a2+a+t-17≥0在t∈[2，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍.結果大部分同學都能將這兩個問題順利地求解出來.但教學不能僅限于此，因為這僅僅是教師的解題思維，如果就此打住，學生仍只是解題的看客而已.為此，筆者設計了如下問題進行引導，以期讓學生能自主發現并解決問題，鍛煉學生的思維鏈接能力.

問題1 ?已知實數x，y滿足x2+y2=1，則xy的最大值為 ? ? ? ? ? .x+y的取值范圍是 ? ? ? ? ? .

問題2 ?已知實數x，y滿足x2+y2=1，則x+y+xy的最大值為 ? ? ? ? ? .

問題3 ?若不等式（x+y）+2xy-a≥0恒成立，則實數a的取值范圍是 ? ? ? ? ? ?.

教是為了不教，想要掌握一件事物的結構，首先就要將許多別的東西與它有意義地聯系起來，然后用“再發現”的方式去理解它，簡單地說就是學習事物是怎樣相互關聯的.顯然上述教學過程并沒有直接對例4進行解答，但是學生通過對上述問題的思考，環環相扣，水到渠成，這為學生掌握此類題型提供了直觀的效果，讓學生對此類問題有了更新的理解，換元思想呼之欲出，最終學生均能獨立地解決例4這一題.

五、講在思維創新處

例5 ?如圖2，已知平面α垂直平面β，A，B是平面α與平面β交線上的兩個定點，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，若在平面α內有一個動點P，使得∠APD=∠BPC，則△PAB面積的最大值為（ ? ?）

（A） 6 ? ?（B） 12 ? ?（C） 24 ? ?（D） 36

學生基本解題策略如下：由題意PB=2PA，設PA=x，則2

探究1 ?動點P到兩個定點A，B的距離關系PB=λPA的幾何意義是什么？

探究2 ?若PB=λPA（λ≠1），則點P的軌跡方程是什么？

探究3 ?若PB=λPA（λ≠1），則點P的軌跡是圓，這個圓有一個特殊的名字叫“阿波羅尼斯圓”，大家能快速求出上題中圓的方程嗎？

探究4 ?請大家快速判斷上題中的△PAB面積的最大值.

顯然，筆者通過不斷設問，將學生的思維從三角形問題帶入到軌跡問題的求解，形成了解題的“創新”，這對培養和鞏固學生的創新思維有極大的裨益.

六、講在思維提煉處

布魯納指出：“學習的實質是一個人把同類事物聯系起來，并把它們組織成賦予它們意義的結構.”他還強調：“獲得的知識，如果沒有完滿的結構把它聯在一起，那是一種多半會被遺忘的知識.”因此，習題講評課中教師對學生解題思維修正后，還要關注學生的后續解題能力的發展.知識在不斷地擴充，問題也在不斷地更新，例5中“阿波羅尼斯圓”的解法對學生來說完全是“新瓶裝新酒”，如果就題論題，課堂會成為學生欣賞老師解題過程的舞臺，過后就忘也就會成為事實.因此筆者在上述問題解決后并沒有就此打住，而是引導學生對圓、橢圓、雙曲線的軌跡問題進行了同一層次的探究.

探究5 ?一個動點到兩個定點的距離關系可分為幾種？

探究6 ?請根據下列條件建立合適的平面直角坐標系，并求出動點P的軌跡方程.

（1）△PAB中，若AB=6且PB+PA=10，則點P的軌跡方程為 ? ? ? ? ? ?.

（2）△PAB中，若AB=10且PB-PA=6，則點P的軌跡方程為 ? ? ? ? ? ?.

（3）△PAB中，若AB=6且PA=3PB，則點P的軌跡方程為 ? ? ? ? ? ?.endprint

探究7 ?請大家完成如下兩題：

（4）△PAB中，若AB=6且PB+PA=10，則△PAB面積的最大值為 ? ? ? ? ? ?.

（5）△PAB中，若AB=6且PA=3PB，則面積的最大值為 ? ? ? ? ? ?.

（6）△PAB中，D是AB的中點，若AB=10且PB-PA=6，則tan∠PDA的最大值為 ? ? ? ? ? ?.

探究8 ?從上述解題我們可以發現動點P到兩個定點A，B的距離關系的三種不同結論.

若動點P到兩個定點A，B的距離滿足PB=λPA（λ≠1），點P的軌跡是圓心在直線AB上的圓（阿波羅尼斯圓）;若動點P到兩個定點A，B的距離滿足PB+PA=2a>AB，點P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓;若動點P到兩個定點A，B的距離滿足PA-PB=2a

我們還能得出關于“動點P與兩個定點A，B的關系”中相類似的結論嗎？

探究9 ?你能得出圓、橢圓、雙曲線的標準方程有什么區別嗎？

探究10 ?你能得出圓、橢圓、雙曲線上的點P與兩個定點A，B（也在曲線上并關于對稱中心對稱）的斜率關系的定值嗎？

探究11 ?你能得出圓、橢圓、雙曲線上的任意兩點A，B連線的中點和對稱中心的連線的斜率關系的定值嗎？

如此，我們不僅加深了學生對“阿波羅尼斯圓”的理解，還幫助學生將解題思維進行提煉，將圓錐曲線的定義、表達式等進行了統一，同時又把這種思維還原成了學生的基本解題策略，便于學生理解記憶.

牛頓說：“每一個目標，我都要它停留在我的眼前，從第一道曙光初現開始，一直保留，慢慢展開，直到整個大地光明為止.”習題講評課應努力抓住學生問題的關鍵，只有講在問題的關鍵處才能講出真風采，只有講在問題的關鍵處才能真正促進學生理解能力的提高與思維品質的提升.

參考文獻：

[1] 羅增儒.中學數學解題的理論與實踐[M].南寧：廣西教育出版社，2008.

[2] 朱萬喜.通過案例訓練學生思維的體會[J].中學數學教學參考，2014（12）：12-13.endprint