跡逼近C*-代數(shù)的可除和比較性質(zhì)

方燕

(上海海事大學(xué) 文理學(xué)院， 上海 201306)

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跡逼近C*-代數(shù)的可除和比較性質(zhì)

方燕

(上海海事大學(xué) 文理學(xué)院， 上海 201306)

考慮一類有單位元的C*-代數(shù)(記為Ω)具有某種性質(zhì)時，Ω中C*-代數(shù)跡逼近后得到的一類C*-代數(shù)(記為TAΩ)是否也具有這種性質(zhì).得出結(jié)論：若對?B∈Ω，B的投影半群V(B)具有m-n幾乎可除性質(zhì)，則對?A∈TAΩ，A的投影半群V(A)具有m+1-n幾乎可除性質(zhì)；若對?B∈Ω，B具有強(qiáng)的跡m-投影比較性質(zhì)，則對?A∈TAΩ，A具有強(qiáng)的跡m-投影比較性質(zhì).

C*-代數(shù)； 跡逼近；K-半群

0 引 言

用K-群作為不變量對順從的C*-代數(shù)進(jìn)行分類，最先是由ELLIOTT[1]提出的.之后發(fā)現(xiàn)許多類C*-代數(shù)都可以用K-群進(jìn)行分類.[2-4]研究者們逐漸發(fā)現(xiàn)跡態(tài)空間及其與K-群的配對也是C*-代數(shù)的分類必要不變量.比較重要的一類C*-代數(shù)是單的維數(shù)緩慢增長的AH-代數(shù)[5-6]，可以用跡態(tài)空間與K-群的配對分類，通常稱此不變量為ELLIOTT不變量.LIN[7]給出單的維數(shù)緩慢增長的AH-代數(shù)的公理化定義，稱之為跡逼近區(qū)間C*-代數(shù).受此啟發(fā),ELLIOTT等考慮一般的跡逼近C*-代數(shù)的概念.一個有單位元的C*-代數(shù)A∈TAΩ，是指對?ε>0，任意的有限子集F?A，任意的非零正元b，存在一個非零投影p∈A和C*-子代數(shù)B?A,使得1B=p和B∈Ω，且有：(1)對?x∈F，‖xp-px‖<ε； (2)對?x∈F，pxp∈εB；(3)[1-p]≤[b].

考慮Ω類中C*-代數(shù)具有某種性質(zhì)，TAΩ類中的C*-代數(shù)是否也具有這種性質(zhì)，是一個重要且有意義的事情.事實上ELLIOTT等[8]，F(xiàn)AN[9]和范慶齋等[10]都證明Ω類中C*-代數(shù)的許多分類性質(zhì)可以遺傳到TAΩ類中，且用它來證明C*-代數(shù)的分類定理.

本文證明： 如果Ω是一類C*-代數(shù)并且對?B∈Ω，B的投影半群V(B)具有m-n幾乎可除性質(zhì)，則對于任意的C*-代數(shù)A∈TAΩ，A的投影半群V(A)具有m+1-n幾乎可除性質(zhì).設(shè)Ω是一類C*-代數(shù)，且對?B∈Ω，B具有強(qiáng)的跡m-投影比較性質(zhì)，則對?A∈TAΩ，A具有強(qiáng)的跡m-投影性質(zhì).

1 預(yù)備知識

定義1.1[8]一個有單位元的C*-代數(shù)A∈TAΩ，是指對?ε>0，任意的有限子集F?A，任意的非零正元b，存在一個非零投影p∈A和C*-子代數(shù)B?A,使得1B=p和B∈Ω，且有：

(1)對?x∈F，‖xp-px‖<ε;

(2)對?x∈F，pxp∈εB;

(3)[1-p]≤[b].

定義1.3[4,11]A是一個有單位元的C*-代數(shù)，稱A具有m-幾乎可除性質(zhì).若proj(M∞(A))表示M∞(A)中投影的全體，對?p∈proj(M∞(A)),存在q∈proj(M∞(A))滿足kq≤p≤(k+1)(m+1)q.

2 主要結(jié)果

定理2.1 設(shè)Ω是一類C*-代數(shù)，且對?B∈Ω，B的投影半群V(B)具有m-k幾乎可除性質(zhì)，則對于任意的C*-代數(shù)A∈TAΩ，A的投影半群V(A)具有m+1-k幾乎可除性質(zhì).

(1)‖pr-rp‖<ε;

(2)rpr∈εB.

由(1)和(2)存在投影p1∈B和p2∈(1-r)A·(1-r)滿足‖p-p1-p2‖<ε，得[p]=[p1]+[p2].因為p1∈B且B∈Ω，所以存在q1∈B滿足kq1≤p1≤(k+1)(m+1)q1.對于p2∈(1-r)A(1-r)，因為(1-r)A(1-r)∈TAΩ，所以存在投影s和一個C*-子代數(shù)C滿足C∈Ω，1C=S，使得

(1)‖p2s-sp2‖<ε；

(2)sp2s∈εC；

(3)[1-r-s]≤2[q1].

由(1)和(2)存在投影p3∈C和p4∈(1-r-s)A(1-r-s)滿足‖p2-p3-p4‖<ε，得[p2]=[p3]+[p4].因為p3∈C且C∈Ω，所以存在q3∈C滿足kq3≤p3≤(k+1)(m+1)q3.因為[p4]≤[1-r-s]≤[q1]，所以

[q]=[q1]+[q2]=[q1]+[q3]+[q4]

[p]=[p1]+[p2]=[p1]+[p3]+[p4]

且

k[p]=k([p1]+[p2])=k([p1]+[p3]+[p4])≤[q1]+[q3]+k[q4]≤[q1]+[q3]+ [1-r-s]≤[q1]+[q3]+[q1]≤(k+1)· (m+1)[p1]+(k+1)(m+1)[p3]+[q1]

證明下面定理的方法和技巧來自文獻(xiàn)[8]中的定理3.7.2.

定理2.2 設(shè)Ω是一類C*-代數(shù),且對?B∈Ω，B具有強(qiáng)的跡m-投影比較性質(zhì)，則對?A∈TAΩ，A具有強(qiáng)的跡m-投影性質(zhì).

(1)對?x∈F,‖rnx-xrn‖<ε；

(2)rnxrn∈Bn；

(3)[1-rn]≤[e].

‖p-p′-p″‖∈εn

[1]ELLIOTT G A. On the classification of the inductive limits of sequences of semisimple finite dimensional algebras[J]. J Algeb, 1976, 38: 29-44.

[2]LIN H. The tracial topological rank ofC*-algebras[J]. Proc London Math Soc, 2001, 83: 199-234.

[3]NIU Z. A classification of certain tracially approximately subhomogeneousC*-algebras[D]. Canada: University of Toronto, 2005.

[4]WINTER W. Nuclear dimension and Z-stability of pureC*-algebras[J]. Invent Math, 2012, 187: 259-342.

[5]ELLIOTT G A, GONG G. On the classification ofC*-algebras of real rank zero II[J]. Ann Math, 1996, 144: 497-610.

[6]ELLIOTT G A. On the classification ofC*-algebras of real rank zero[J]. J Reine Angew Math, 1993, 443: 179-219.

[7]LIN H. An introduction to the classification of amenableC*-algebras[M]. New Jersey: World Scientific, 2001.

[8]ELLIOTT G A, NIU Z. On tracial approximation[J]. J Func Anal, 2008, 254: 396-440.

[9]FAN Q.K0-monoid properties preserved by tracial approximation[J]. J Operator Theory, 2013, 69: 101-109.

[10]范慶齋, 楊君. 跡逼近C*-代數(shù)的遺傳性[J]. 上海海事大學(xué)學(xué)報, 2011, 32(2): 91-94.

[11]BLAKADAR B.K-theory for operator algebra[M]. New York: Springer-Verlag, 1986.

(編輯 賈裙平)

Division and comparison properties of tracial approximationC*-algebras

FANG Yan

(College of Arts & Sciences, Shanghai Maritime Univ., Shanghai 201306, China)

It is discussed that, if a class ofC*-algebras (denoted byΩ) with an identity element has a property, whether the class ofC*-algebras (denoted byTAΩ) that be tracially approximated byC*-algebras inΩhas the property. It is concluded that, if the projective semigroup ofB,V(B), has anm-nalmost divisible property for anyB∈Ω, the projective semigroup ofA,V(A), has anm+1-nalmost divisible property for anyA∈TAΩ; ifBhas a strong tracialm-comparison projection property for anyB∈Ω,Ahas also the property for anyA∈TAΩ.

C*-algebra; tracial approximation;K-semigroup

10.13340/j.jsmu.2015.03.017

1672-9498(2015)03-0100-03

2014-07-01

2015-03-17

上海市教育委員會科研創(chuàng)新項目(13YZ090)

方燕(1961—)，女，云南昆明人，副教授，碩士，研究方向為泛函分析，(E-mail)yanfang@shmtu.edu.cn

O177.5

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