淺析算法及其應用研究

郭梅

（石河子大學機械電氣工程學院，新疆石河子832003）

淺析算法及其應用研究

郭梅

（石河子大學機械電氣工程學院，新疆石河子832003）

隨著計算機應用技術的快速發展，智能算法在工程設計規劃領域的重要性不言而喻。本文將PSO算法與工程數學、機構設計優化相結合，通過對PSO算法的初始化參數設置和適應度函數的選取進行全局最優解的求取。結果表明，PSO算法能夠快速準確進行復雜工程設計問題的求解。

PSO算法；工程數學；機構優化設計

當前工程設計技術快速發展，傳統的優化設計方法在解決線性規劃、非線性規劃、整數規劃、幾何規劃和動態規劃問題中，因其建模難度大、數學模型描述能力低、誤差大，其求解能力有限、難以處理復雜和形態不好的問題，難以求得全局最優解，因此可將計算機智能算法應用到工程規劃設計和其他各領域的優化求解過程中。

粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）作為一種嶄新的隨機搜索算法，目前已開始應用于諸多領域，比如化工系統、電力系統、生產調度和機械設計等方面，其在多目標、約束和動態等問題優化上的研究已逐漸被人們重視。如龔松建等[1]利用PSO算法結合最小二乘支持向量機（LS-SVM）對未來1 h風速進行預測，模型的預測精度較高、運算速度快。李小為等[2]以六自由度機械臂的運動學正逆解為前提，為使其在不同速度約束下均能夠以最短時間運行，提出了PSO優化速度約束下的時間最優3-5-3多項式插值軌跡規劃方法。同時PSO算法通用性強、所需調整的參數少、容易實現、收斂速度快，能夠滿足復雜工程設計要求。

本文通過對PSO算法的研究，在標準PSO算法的基礎上采用慣性權重模型提高了算法的全局搜索能力。以工程數學和機構優化設計為例，采用PSO優化算法進行全局最優解的求取，求解結果準確快速。

1 PSO算法簡介

PSO算法是由Kennedy和Eberhart共同開發[3]，起源于對鳥群的捕食行為研究，根據群體中個體信息共享使得群體運動在問題求解空間中由無序變得有序，獲取全局最優解。其具體步驟如下：（1）初始化粒子群中各微粒的速度、位置、加速常數、最大迭代次數、慣性因子和算法終止的最小允許誤差。如果當前搜索空間為d維，則每個微粒中包含d個變量，并將各微粒當前歷史最優位置Pbest設置為初始位置，取群體全局最優位置為gbest中最優值。（2）計算各微粒的適應度，將最佳適應值作為當前的全局最優值，并將最佳適應值對應的位置作為全局最優值所在的位置。（3）更新每個粒子當前的飛翔速度，并約束每個微粒的飛翔速度，使其不能超出所設定的最大飛翔速度值。（4）更新每個粒子當前所在的位置，比較當前每個粒子的適應值是否比歷史局部最優值好，如果好，則將當前粒子的適應值即為局部最優值，其對應的位置作為每個粒子群的局部最優值所在的位置。同時在當前群中找出全局最優值，并將此時全局最優值對應的位置定為群體全局最優值所在位置。（5）重復步驟3～4，直到滿足預先設定的最小允許誤差或最大迭代次數。（6）輸出粒子群全局最優值和其對應的位置以及每個粒子的局部最優值和其對應的位置。

2 PSO算法的參數選取與算法改進

在基本粒子群算法中，粒子數m、最大飛翔速度νmax、慣性因子ω和加速常數c1與c2等幾個參數對算法尋優性能的影響非常顯著，因此通常采用對這些參數的調節來改進PSO算法。

粒子數m的取值一般為20～40。經大量試驗結果表明，粒子數越多，其搜索范圍越大，越容易找到全局最優解，然而算法運行的時間也越長。對于多數問題，粒子數定為30即可，但相對于特殊問題粒子數需100～200。

對于簡單的問題，一般情況下加速常數c1=c2=2.0。目前對于加速常數c1和c2的確切取值，各學者觀點并不完全相同，表1所列是幾位主要研究學者給出的參考值[4]。c1與c2常被用來調整個體經驗和社會經驗在粒子運動過程中的作用權重，如果c1= 0，c2≠0，則粒子沒有自身經驗，只有社會經驗，對于相對復雜問題，求解過程陷入局部最優的可能性較大。如果c1≠0，c2=0，則粒子群只有自身經驗，沒有社會經驗，由于各微粒之間沒有實現信息的共享，粒子群m的搜索行為相當于m個單個粒子在單獨運行，因此獲取最優解的概率非常低。如果c1=c2=0，則粒子將一直無序地飛往邊界，因此只能搜索有限區域，很難找到最優結果。

表1 加速常數參考值

慣性因子ω對于粒子群算法的收斂性起到很大作用，ω值越大，粒子飛翔幅度越大，粒子容易離開原先尋優軌道，在更大的空間進行搜索，致使失去局部的尋優能力，而全局搜索能力越強；ω值越小，則局部尋優能力增強，加快了算法收斂，提高了搜索精度，其全局尋優能力變得越弱。通常在迭代初始時將ω設得較大，在隨后的迭代過程中逐漸減小，使得粒子群在初始優化時搜索空間較大，并得到合適的種子，后期逐步收縮至較好的解空間進行更為精細搜索，從而使其成為兼顧全局搜索和局部搜索的一個折中。若ω為變量，可取0～1的隨機值，若ω為定值，可取0.60～0.75合適值。

在粒子群算法運行過程中，粒子速度的改變是隨機的，容易造成粒子在問題空間搜索的無休止進行。為使粒子進行有效搜索，可使其搜索過程中振幅衰減。傳統的方法是使用一個參數最大飛翔速度νmax對粒子運動速度進行限制，從而防止粒子群搜索范圍的無序發散和因速度過大而越過最優目標。同時粒子群為跳出局部最優，可將尋優步長增大，當接近最優值時，再將步長減小。若νmax固定不變，常設為每維變化范圍的10%～20%。

3 PSO算法在工程數學中的應用

在工程數學求解時，傳統的計算方法已逐漸不能適應大數學快速準確計算要求，并且計算的結果常出現錯誤，為獲取快速精確的計算結果，本文嘗試將PSO算法思路引用到工程數學計算中。

在利用PSO算法求解Max f（x）=2.1×（1-x+ 2×x.?2）.×exp（-x.?4/2），x∈[-5，5]的全局最大值時，將PSO初始化參數設置如下：最大允許誤差為0.001，粒子群規模為100，個體學習因子為2，社會學習因子為2，慣性因子為0.6，最大飛翔速度為0.8。通過算法計算結果如圖1所示，可知在x取值為-0.871 36時，該函數取得最大值5.336 1，整個計算過程耗時0.279 3 s，計算結果精確到小數點后4位。其計算結果與傳統求解的正確答案一致，然而我們正常求解的耗時卻需耗費月30min，大大提高了工作效率。

圖1 PSO算法搜索函數最大值

4 PSO算法在機構優化中的應用

在機械結構設計過程中，經常涉及到結構優化問題，該類問題也可以通過軟件實現，如采用復合形法、隨機方向閥或者優化工具箱法，本文嘗試將PSO智能算法與平面四桿機構的優化問題相結合獲取最優解。

圖2 平面四連桿機構極限位置

如圖2所示的平面連桿機構，當原動件曲柄的轉角φ在φ0～φ0+90°時，要求從動件搖桿的輸出角能實現函數Ψ=Ψ0+[2/（3π）]×（φ-φ0）2。其中φ0、Ψ0分別為對應搖桿在右極限位置時，曲柄和搖桿的初始位置角，以水平機架方向逆時針計量，要求機構傳動角范圍45°≤γ≤135°，曲柄長度設為l1=1，機架長度設為l4=5。

為了使機構傳力性能良好，機構傳動角范圍45°≤γ≤135°，即要使得c o s 1 3 5°；整理后得到約束方程:0；同時為滿足曲柄存在的桿長和條件，l2≥l1，l3≥l1，l2+l3≥l1+l4，l4+l3≥l1+l2，l2+l4≥l1+l3整理得g3（X）=x1-1≥0；g4（X）=x2-1≥0；g5（X）=x1+x2-6≥0；g6（X）=-x1+x2+4≥0；g7（X）=x1-x2+4≥0；由圖3可知，曲柄存在的桿長之和為無作用約束，起作用的約束條件是機構傳動角約束條件g1（X）≥0和g2（X）≥0。同時取機構輸出角的平方偏差最小為設計目標：其中輸出角，s為φ0～ φ0+90°均勻分布的離散點數，i為各離散點數序號。

圖4 適應度曲線

采用PSO算法求解平面四連桿機構設計問題的最優解，其參數設置如下：粒子群規模設為100，最大迭代次數為1 000，慣性權重為0.729 8，學習因子c1=c2=1.496 18，Vmax=1，Xmax=5，Xmin=1。適應度曲線如圖4所示，最終得出函數的全局最優位置為x1=4.131 0，x2=2.319 8；個體最優位置為x1= 4.131 4，x2=2.319 9，函數的最優值為Pbest=0.007 6。

[1]龔松建，袁宇浩，王莉，等.基于PSO優化LS-SVM的短期風速預測[J].可再生能源，2011，29（2）：22-27.

[2]李小為，胡立坤，王琥.速度約束下PSO的六自由度機械臂時間最優軌跡規劃[J].智能系統學報，2015（3）：393-398.

[3]Tang Jun，Zhao Xiaojuan.An Enhanced OppositionbasedParticle Swarm Optimization[C].Xiamen，China，2009：149-153.

[4]王凌，劉波.微粒群優化與調度算法[M].北京：清華大學出版社，2008.

2015—10—12