基于Gamma過程的制動器磨損退化建模與>剩余壽命預測

梁慶海， 賈希勝， 白雲杰

(1.陸軍工程大學 石家莊校區， 河北 石家莊 050003；2.中國人民解放軍32153部隊 教研部， 河北 宣化 075100)

制動器工作過程中，制動副之間的摩擦會使其摩擦表面材料不斷脫落，這種現象即為制動器磨損。制動器磨損是其工作過程中摩擦現象導致的必然結果，但過度磨損會影響其制動性能，造成制動力矩下降，帶來安全隱患。在缺乏精確預測的情況下，過早地對制動器進行維修或更換會造成資源浪費，也會降低設備的使用效率，而過晚實施維修或更換可能導致一些嚴重安全隱患。對制動器磨損性能退化進行建模研究，實現制動器磨損剩余壽命精確預測，能有效地進行預防性維修，降低維修成本，也可減少安全隱患。

常用性能退化建模方法有基于物理模型的方法、基于退化軌跡擬合的方法、基于隨機過程和退化量分布擬合的方法等。制動器磨損是一種不可逆的累積過程，是摩擦副之間各種相互作用的綜合結果。磨損本身是一個極其復雜的物理、化學過程，對其進行機理分析涉及材料、熱力學、物理及化學等眾多學科。不同材料摩擦副的磨損特性差異很大，即便是相同材料的摩擦副，不同工作環境下其磨損過程也呈現不同特點。因此，難以建立一個精確的物理模型對磨損過程進行退化建模以實現剩余壽命(RUL)預測。由于制動器的磨損受到制動材料、摩擦面外部雜質及環境溫度、制動持續時間等工況的內外因素綜合影響，其性能退化過程存在明顯的隨機性。最常用的描述產品性能退化的隨機過程包括Wiener過程和Gamma過程等，Wiener過程模型能描述多種典型產品的性能退化過程，并且具有較好的計算分析特性。但Wiener過程是基于正態性假設的隨機過程模型，對于一些嚴格單調的退化模型，通過Wiener過程并不能很精確地對其進行描述和分析。Gamma過程模型的增量具有獨立、平穩、非負的特性，適用于描述具有非負增量、退化過程嚴格單調遞增的產品性能退化過程，如機械部件磨損等。Abdel-Hameed M.的研究證明Gamma過程是一種適用于對設備進行磨損建模的模型。朱貝蓓等利用Gamma過程對碳化鎢涂層的磨損進行建模研究，并實現了剩余壽命預測。考慮到制動器磨損深度呈單調遞增趨勢，其磨損性能退化是一個不可逆的累積過程，采用Gamma過程對制動器磨損進行性能退化建模，在此基礎上進行制動器RUL預測。

1 基于Gamma過程的制動器磨損退化建模

1.1 模型描述

制動器磨損深度等于摩擦片原始厚度與當前厚度之差。在任意時刻t(t>0)，制動器磨損深度為X(t)，對應磨損增量為Y(t)，假設過程{X(t),t≥0}和{Y(t),t≥0}為Gamma過程，則由Gamma過程的定義及性質可知制動器的磨損過程具有以下特性：1)Y(0)=0。2) 任意時刻t>0的磨損增量Y(t)=ΔX=X(t+Δt)-X(t)，且不同時刻的Y(t)相互獨立。3)Y(t)服從Gamma分布，其概率密度函數可表示為式(1)。

(1)

Gamma過程是一個增量非負且獨立、服從Gamma分布的連續時間隨機過程，當形狀參數α為時間的線性函數α(t)時，該隨機過程為平穩Gamma過程。此時，Y(t)的概率密度函數為：

fY(t)(y)=Ga(y|α(t),β)

(2)

其均值和方差分別為：

(3)

(4)

1.2 模型參數估計

對于平穩Gamma過程，設ΔXi=Xi-Xi-1，Δti=ti-ti-1(i=1，2，…)，用Ri=Δxi/Δti表示退化率，則通過退化率可計算樣本均值和方差：

(5)

由式(3)～(5)可得：

(6)

進一步可求得：

(7)

通過樣本矩和期望值，可得：

(8)

(9)

求解式(8)和式(9)，可得到參數估計值：

(10)

(11)

2 基于Gamma退化模型的制動器剩余壽命預測

2.1 壽命分布

對于累積退化過程，通常認為制動器的磨損退化過程X(t)一旦達到失效閾值Xceil(最大磨損深度)即發生失效。此時制動器因過度磨損已無法提供足夠的制動力矩，導致制動距離過長，達不到安全性指標要求。據此，制動器失效時間可定義為X(t)的樣本退化軌跡首次超過閾值Xceil的時刻，其壽命為從開始使用到首次達到失效閾值的時間段長度，表達式為：

T=inf{X(t)≥Xceil}={t|X(t)≥Xceil,

X(s)≤Xceil,0≤s≤t}

(12)

由Gamma退化過程樣本軌跡的單調性，可進一步推導其壽命分布公式：

FT(t)=Pr{T≤t}=Pr{X(t)≥Xceil}=

(13)

式中：γ[α(t),Xceilβ]為上不完全Gamma函數，其定義見式(14)。

(14)

綜上，進一步推導制動器磨損壽命的一階矩及二階矩分別為：

(15)

(16)

對式(13)、式(15)和式(16)進行求解，設qn=Pr{tn≤ΤXceil≤tn+1}，并令tn=n/α，n=0,1,2,…，再對式(14)作離散時間近似，得：

(17)

式(17)表明，制動器在時間區間(n/α,(n+1)/α]內發生磨損超閾值而失效的概率是參數為Xceil/β的泊松分布，由泊松分布的性質可求出制動器磨損壽命的均值為Xceilβ/α，方差為Xceilβ/α2。

2.2 剩余壽命分布

制動器工作到時刻tc時，根據式(13)，其剩余壽命分布為：

FT(t|tc)=Pr{T≤t|T>tc}=

(18)

設制動器在時刻tc的磨損退化值Xc=X(tc)

FT(t|tc)=Pr{T≤t|X(tc)=Xc}=

Pr{X(t)-X(tc)≥Xceil-Xc}=

(19)

2.3 可靠度函數

假設制動器的壽命為T，由于制動器的磨損退化過程是一個單調遞增過程，t時刻的可靠度函數為：

R(t)=P(T>t)=P{X(t)

(20)

3 仿真試驗

3.1 制動器磨損退化仿真數據

為檢驗上述Gamma磨損退化模型的有效性，通過MATLAB進行仿真試驗驗證。生成一組制動器全壽命磨損退化數據，制動器摩擦片的累計磨損失效閾值為3 000 μm，制動操作造成的磨損量均值為0.178 6 μm/次、方差為0.294 9 μm2/次。每次制動所造成的磨損增量仿真數據見圖1。

圖1 制動器磨損增量仿真數據

累積磨損退化過程見圖2，制動器在累計制動達16 398次時的累積磨損量為3 000.09 μm，此時制動器摩擦片的磨損壽命達到極限狀態。

圖2 制動器磨損退化過程仿真結果

3.2 制動器磨損退化模型參數估計

圖3 模型參數迭代更新過程

3.3 制動器磨損退化的RUL預測

根據圖2，在累計進行6 000次制動對應的觀測時刻，累積磨損退化量為1 116.21 μm，下面預測從這一觀測時刻到達磨損退化閾值Xceil=3 000 μm時的剩余壽命。根據Gamma過程的單調性和增量獨立性，可由MATLAB的gampdf函數計算此后每次制動所對應時刻的概率密度函數值，并由此得到在這一觀測時刻的RUL-pdf(概率密度函數)分布曲線(見圖4)。

圖4 累計制動次數為6 000次時的RUL-pdf曲線

根據仿真數據集，在累計進行6 000次制動時制動器的實際剩余壽命為16 398-6 000=10 398次。在圖4的基礎上，可根據剩余壽命的分布函數和可靠度函數進一步對制動器的工作可靠性進行分析，得到制動器的剩余壽命分布(見圖5)。

圖5 累計制動次數為6 000次時的壽命分布

用同樣的方法和思路，在工作的全壽命區間的各觀測時刻對制動器進行分析。在計算其累積磨損退化量的基礎上，通過對歷史磨損增量數據的統計分析，進行Gamma磨損退化模型參數估計，并進行制動器RUL預測，結果見圖6。

由圖3、圖6可知：隨著制動器工作時長的增加，累計制動次數不斷增多，積累的可用歷史監測數據不斷增加，模型參數估計結果越來越穩定，RUL預測區間也不斷收窄，說明根據模型對制動器進行磨損退化擬合基本符合仿真數據集的磨損特性。

圖6 不同觀測時刻的RUL分布

各觀測時刻的RUL預測結果見圖7。預測值與真實值十分接近，說明Gamma磨損退化模型能較好地對制動器磨損過程進行描述。

圖7 不同觀測時刻的RUL預測結果

3.4 誤差分析

RUL預測結果的絕對誤差與相對誤差見圖8。

圖8 不同觀測時刻的RUL預測誤差

由圖8可知：雖然有少數預測值的相對誤差超過10%，且在制動器工作壽命的末段RUL預測的相對誤差增大，但由圖7可知此時實際RUL已經較小，且在末段的RUL預測絕對誤差基本在100次以下，此時用相對誤差判斷RUL預測精度已沒有太大的實際意義。相對于所采用的制動器磨損仿真數據集，制動器全壽命總的制動次數為16 398次，RUL預測的絕對誤差能控制在較小范圍內。

4 結語

對制動器磨損這一典型的性能退化過程建立基于Gamma過程的退化模型，在此基礎上推導制動器剩余壽命分布函數和可靠度函數，通過制動器磨損的仿真數據集估計模型參數，根據新的磨損退化增量數據對模型參數進行更新，進而求解其壽命分布的概率密度函數值，并進行RUL預測。仿真試驗結果驗證了所建模型的可行性，且RUL預測精度較理想。在難以獲取大量失效樣本數據的情況下，文中研究可為工程實際應用中的制動器磨損退化建模與剩余壽命預測提供一種可行方法和思路，但仍需通過大量試驗數據作進一步研究和驗證。