大規模MIMO系統中基于溢出概率的魯棒協作波束設計

李新民 邱 玲

(中國科學技術大學電子工程與信息科學系 合肥 230027)

大規模MIMO系統中基于溢出概率的魯棒協作波束設計

李新民 邱 玲*

(中國科學技術大學電子工程與信息科學系 合肥 230027)

大規模多輸入多輸出(Massive MIMO)技術通過在基站端配置大規模天線能有效提升5G蜂窩系統容量。考慮信道估計誤差對系統性能的影響，該文在多小區大規模MIMO系統中形成了用戶信干噪比的非溢出概率約束下最小化系統功率的優化問題。針對非凸概率約束中下行波束難于求解的問題，該文根據矩陣跡的性質將優化問題中的非凸約束縮放，進而提出上下行對偶算法求解波束矢量。為進一步減少多小區系統中信令開銷，基于大系統分析，提出了僅采用大尺度信息的分布式算法。仿真結果表明，所提的分布式算法與對偶算法相比，在保證用戶信干噪比的概率約束時，降低了大規模MIMO系統中傳輸瞬時信道狀態信息的開銷，同時具有良好的魯棒性。

無線通信；大規模多輸入多輸出；魯棒波束；上下行對偶；大系統分析

1 引言

當前無線通信系統中最大的挑戰是滿足日益增長的高速率需求和保證網絡中用戶服務質量(Quality of Service, QoS)。由于頻譜資源有限，文獻[1]首次提出采用大規模天線(Massive MIMO, large-scale MIMO)作為提升第5代(the fifth Generation, 5G)蜂窩系統頻譜效率的關鍵技術。在相同時頻資源下，大規模MIMO通過在基站端配置大規模天線，利用高的空間自由度消除干擾和調度更多用戶提升系統性能。同時，在多小區MIMO系統中，由于小區間干擾的存在，采用聯合傳輸(Joint Processing, JP)[2]和協作波束成形(Coordinated BeamForming, CBF)[2,3]技術，可以通過協作基站之間共享數據和/或信道狀態信息(Channel State Information, CSI)消除小區間干擾、提升系統性能。

大規模MIMO現有研究的主要性能標準是提升系統容量[4,5]和保證QoS下的系統發射功率優化[6?8]。在不同發射天線數目下，對于下行單小區多用戶大規模MIMO系統，文獻[4]比較了匹配濾波(Matched Filter, MF)和迫零(Zero-Forcing, ZF)線性預編碼下的系統容量。文獻[5]證明了線性預編碼MF和ZF在發射天線數M趨于無窮時，容量具有漸近最優性。文獻[6-8]在多小區大規模MIMO系統中，形成了最小化系統發射功率的優化問題。在用戶數K?M時，文獻[6]采用隨機矩陣理論(Random Matrix Theory, RMT)[9]推導了CBF和JP兩種協作方式下最優信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio, SINR)的漸近表達式。文獻[8]根據大系統分析(Large System Analysis, LSA)提出了基于信道統計信息的最小化系統功率的分布式算法。文獻[7]將文獻[8]的分析方法拓展到min-max發射功率優化問題中，提出了次優的對偶算法。文獻[5-10]僅考慮大規模 MIMO系統中基站具有完善信道狀態信息的場景。然而，在實際通信系統中，基站無法獲得完善CSI。在非完善CSI場景下，多小區大規模MIMO系統容量分析問題也受到廣泛關注。文獻[11]在RZF(Regularized Zero-Forcing)線性預編碼方式下采用Gauss-Markov信道估計模型推導系統和容量(sum capacity)的漸近表達式；由于RZF存在高復雜度的矩陣求逆運算，文獻[11]根據紐曼級數提出了一種新的低復雜度的預編碼。然而，現有非完善CSI的研究很少關注大規模MIMO系統中發射功率優化問題。

本文研究多小區大規模 MIMO系統中存在信道估計誤差時系統發射功率優化問題，其中信道估計誤差模型采用Stochastic模型[12]，此模型因采用靈活的非溢出概率作為約束以保證系統QoS而被廣泛使用。本文形成了滿足非溢出概率約束的最小化系統發射功率優化問題，由于優化問題中存在非凸的概率約束，其關鍵是要尋找合適的數學方法將非凸概率約束轉化成凸約束。現有方法有場景近似法、球形誤差模型法、伯恩斯坦不等式和積分法等。文獻[13]利用場景近似法將每個概率約束用確定性約束替代，但會導致優化問題的約束規模增加。文獻[14]對誤差采用球形方式建模，根據球形性質將概率問題轉化成體積問題，從而形成凸優化問題。文獻[15]根據伯恩斯坦不等式將魯棒波束設計中非凸的概率約束轉化成半正定矩陣約束。文獻[16]中的算法將非凸概率約束轉化成SOCP(Second Order Cone Programming)問題后采用凸優化工具求解。然而在每次迭代過程中需要通過回程鏈路傳輸各小區中用戶接收天線與基站發送天線之間的瞬時CSI和用戶波束矢量，在發射天線數和用戶數很大的大規模MIMO系統中，導致協作系統開銷的大量增加。

本文通過對Stochastic模型中非凸概率約束進行縮放，提出了上下行對偶法求解非凸優化問題的新方法，和SOCP相比，降低了算法求解的復雜度；在對偶法基礎上，根據文獻[8]中的大系統分析進一步提出僅需要協作基站間交互信道大尺度信息的分布式算法，以減少大規模MIMO系統中信令開銷。

2 系統模型和問題形成

系統模型如圖1所示。考慮平坦衰落信道下多小區多用戶系統，協作小區數為L，每小區有K個單天線用戶，每小區僅有一個服務基站，基站端配置M個發射天線，考慮M?K的大規模MIMO的場景。

圖1 多小區協作系統模型

由于信道估計誤差和量化誤差的存在，實際場景中基站端不能獲得完善信道信息。非完善信道場景下，考慮采用Stochastic信道估計誤差模型，。其中為的估計，表示相應的估計誤差。由于信道估計誤差的存在，用戶端接收SINR不能保證始終滿足≥(為小區l中用戶k的目標SINR)[16]。本文在Stochastic信道估計誤差模型下形成式(3)所示的最小化系統發射功率的優化問題：

3 問題求解

文獻[13-16]將非凸的概率約束轉化成凸的線性矩陣約束，并通過半定松弛形成SOCP問題，從而采用凸優化工具箱求解。然而，SOCP問題求解需要基站與中心控制器交互瞬時信道狀態信息和波束信息，如圖1所示。隨著大規模 MIMO系統中發射天線數目M的增加，維數增加，算法復雜度和協作基站間信息交互量增加。本節首先縮放SINR的概率約束，提出對偶法求解非凸問題P1，以降低算法的復雜度。此外，在大規模MIMO系統的發射天線數較大時，信道矩陣特征值的分布函數具有確定性[9]。因此，本文進一步根據隨機矩陣理論提出基于信道大尺度信息的分布式算法，以改善有限回程容量對算法性能的限制。

定理 1 優化問題P1等價式(4)的P2問題：

證明 P1中非溢出概率約束根據積分法[14]等價為

同理，式(5)不等號左邊第2項表達式和不等號右邊表達式轉化為

式(8)轉化過程中，步驟(a)，步驟(b)分別依據柯西不等式和舒爾不等式。將式(6)-式(8)代入式(5)有。由此，優化問題P1的轉化證明完畢。

3.1 上下行對偶算法UDDA(Uplink-Downlink Duality Algorithm)

根據下行優化問題P2和上行優化問題P3之間的對偶關系，上下行對偶算法(UDDA)具體流程如下：

將用戶上下行波束關系

設σ=1σ2，上下行波束關系, 1KL表示KL維的全1列矢量。式(10)可重新表達為F?=σ，則?為

1)sgn(j,l)為符號函數。若j=l, sgn(j,l )=1，否則sgn(j,l)=?1。

盡管本文提出的UDDA算法相比于SOCP方法能降低優化問題P1求解復雜度，但算法在上行功率和上下行波束關系矢量?的計算中，需要中心控制器獲得所有用戶接收天線與基站M個發射天線之間的瞬時CSI，即。在大規模MIMO系統中，集中式的波束求解方案為系統帶來大量信令開銷。

3.2 基于大系統分析的分布式算法DALSA(Distributed Algorithm based on LSA)

為減少大規模MIMO系統中多小區間信令開銷，本節在UDDA基礎上，根據大系統分析[8]提出一種分布式算法DALSA。

在隨機矩陣理論中，N階隨機矩陣X在λ處的Stieltjes變換表示為mX(λ)=(1/N )tr(X?λIN)?1，且mX(λ)僅與X的統計信息有關 2)。根據信道模型，大尺度反映了信道統計信息[8]。在大規模MIMO系統中，根據大系統分析推導出用戶上行功率僅與矩陣的Stieltjes變換相關，如式(13)所示：

其中

依據式(13)，DALSA算法采用Stieltjes變換計算用戶上行功率和上下行波束關系?。DALSA算法具體流程如下。

步驟1 根據Stieltjes變換迭代計算最優上行功率

步驟 2 上行波束計算(同UDDA算法)；

DALSA算法中上行功率λlk和上下行波束關系?的計算僅采用與信道大尺度信息相關的Stieltjes變換，而不是所有用戶瞬時CSI，有效地減少小區間信令開銷。

3.3 復雜度分析

本文采用算法實現所需要的實數浮點運算(flops)數目作為算法復雜度的度量，表1給出3種算法的復雜度分析結果。

圖2 相對復雜度比率

表1 UDDA, DALSA和SOCP算法復雜度分析

從圖2我們可以看出，隨著發射天線數M的增加，本文提出的UDDA算法和DALSA算法可以有效地降低算法復雜度。當M=128，用戶數K=20時，UDDA算法和DALSA算法復雜度僅為SOCP算法的5%。

4 仿真結果及分析

考慮圖1所示的L=3的六邊形多小區系統模型。每小區M=128, K=20，用戶在小區內隨機分布。小區半徑R=0.8 km，信道模型中大尺度衰落為128.1+37.6lgd ，小尺度衰落為瑞利衰落。表示小區l中用戶k到服務基站的距離，且滿足0.1≤＜R。用戶噪聲σ2=?110 dBm。

本文仿真了3種算法：

(1)為降低魯棒波束優化問題P1的求解復雜度而提出的上下行對偶算法UDDA；

(2)為減少大規模MIMO系統中信令開銷，提出的基于大系統分析的分布式算法DALSA；

(3)對比算法為文獻[14]中的算法。

下面將仿真在不同的SINR需求γl，小區間估計誤差ψj和溢出概率ε下，UDDA和DALSA算法對系統發射功率的影響和算法的魯棒性能。算法魯棒性能定義[15]為：算法在多次信道實現仿真中，能滿足系統非溢出概率約束的比值。本文在基站端配置不同發射天線數下，采用2000次蒙特卡洛仿真所提算法的魯棒性能。

圖3比較了在不同目標SINR和不同溢出概率約束下3種算法的系統發射功率。仿真結果表明，在目標SINR大于6 dB，溢出概率為0.10, 0.15和0.20場景下，本文提出的UDDA和DALSA算法均能有效降低系統發射功率。在γl=9dB, ε=0.2的場景下，相比于文獻[14]中的算法，DALSA 和UDDA能降低6 dB的系統發射功率，而DALSA算法比UDDA僅多消耗0.6 dB的發射功率。

實際系統中，服務基站和干擾基站距離用戶的距離不同，會造成服務信道和干擾信道的估計誤差不同。為此，圖4仿真了服務信道估計方差為ψl=?20 dB ，不同干擾信道估計誤差下，用戶數SINR需求與系統發射功率的關系。在低SINR需求的場景下，干擾信道估計誤差對兩種算法影響很小。由于DALSA算法利用信道大尺度信息而不是瞬時信道信息，因此DALSA算法在高SINR需求的場景下，需要增加發射功率來滿足系統QoS需求和非溢出概率約束。但DALSA算法僅交互大尺度信息，有效減少系統信令開銷。

圖5仿真結果表明，在相同的SINR需求下，DALSA與UDDA具有相近的系統魯棒性；同時，仿真結果表明，在大規模天線場景下，干擾信道估計誤差的增加會降低系統魯棒性。在γl=16dB，發射天線數M=192, ψj=?10 dB的場景下，系統魯棒性為64%；而在ψj=?5 dB 的場景下，系統的魯棒性僅為50%，相比降低14%。隨著發射天線數M的增加，系統的魯棒性提升。

以上仿真表明DALSA算法和UDDA算法能降低系統的發射功率和保證系統的魯棒性，并且DALSA算法能大幅減少系統開銷。

圖4 服務信道和干擾信道具有不同估計誤差時， 用戶SINR需求和系統發射總功率關系

圖5 大規模MIMO系統中不同發射 天線數目下兩種算法魯棒性比較

5 結論

本文通過對Stochastic模型中非凸概率約束進行縮放，提出一種新方法UDDA求解非凸優化問題，降低傳統SOCP算法求解的復雜度；為進一步減少大規模MIMO系統小區間瞬時CSI開銷，根據大系統分析提出僅利用信道大尺度信息的分布式算法DALSA。仿真驗證了DALSA算法與UDDA算法均能降低系統的發射功率，并且具有良好的系統魯棒性能。

圖3 用戶不同目標SINR下，對偶算法和分布式算法與系統發射功率的關系

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李新民： 男，1989年生，博士生，研究方向為大規模MIMO中信號處理、功率控制.

邱 玲： 女，1963年生，教授，博士生導師，研究方向為無線通信、移動通信、擴頻通信、MIMO中的信號處理與異構網絡等.

Robust Coordinated Beamforming Design Based on Outage Probability for Massive MIMO

Li Xin-min Qiu Ling
(Department of Electronic Engineering and Information Science, University of Science and Technology of China, Hefei 230027, China)

Massive MIMO technique can effectively increase system capacity in the fifth Generation (5G) cellular network, where Base Station (BS) is equipped with a very large number of antennas. Considering the impact of channel estimation error on performance, the transmission power minimization problem is formulated subject to the non-outage probability constraints of each user's signal to interference plus noise ratio. In respect that the non-convex probability constraints make the downlink beamforming difficult to solve, Uplink-Downlink Duality Algorithm (UDDA) is proposed to design Coordinated BeamForming (CBF) by using the property of trace of the matrix to scale the non-convex probability constraint. To reduce the signaling overhead in Massive MIMO system, a Distributed Algorithm based on Large System Analysis (DALSA) is proposed, which only needs the large-scale channel information. The simulation results show that DALSA, in the targeted SINR constraint, not only reduces instantaneous channel state information transmission overhead in Massive MIMO system, but also performs well in robustness compared with UDDA.

Wireless communication; Massive MIMO; Robust beamforming; Uplink-downlink duality; Large System Analysis (LSA)

TN92

： A

：1009-5896(2015)04-0848-07

10.11999/JEIT140817

2014-06-20收到，2014-08-19改回

國家863計劃項目(2014AA01A707)資助課題

*通信作者：邱玲 lqiu@ustc.edu.cn