Ansys軟件在駐波振動教學中的應用＊

沈壯志

（陜西師范大學物理學與信息技術學院 陜西 西安 710119）

1 引言

質點或質點系的運動傳遞著能量和動量.波動則是另一種傳遞能量和動量的過程，所有波動是物質運動的重要要形式之一［1］.波可分為機械波和電磁波（包括光波）.機械波是質點的機械運動在介質中的傳播.如弦線上的波、水面波以及空氣或固體中的聲波等等.

一般情況下，我們所說的波是指不斷前進的波，但在特殊的情況下，還存在著一些“囚禁”在某一空間的波，波只能在這一空間做周期性的振動，其能量也被束縛而不能傳遞出去，這就是駐波.

音叉振動是最常見一維駐波，對于二維駐波，力學教材只提供兩幅膜或板上所形成的克拉尼駐波圖［1］，該圖是借助于提琴弓在金屬板邊沿摩擦引起振動形成的.傳統的方法是將薄板中心用螺絲固定在一根立柱上，這樣各種駐波圖案的中心點始終是波節位置，隨著計算機技術的發展，二維駐波圖形完全可以通過計算機模擬出來，本文采用Ansys（有限元法）［2］對板振動所形成的駐波進行數值模擬，以滿足學生對二維駐波振動特性的了解.

2 二維駐波的振動特性

2.1 板振動的數學模型

該模型只考慮薄板，也就是說板的厚度相對于板表面線度較小，這樣可認為板沿厚度方向的應力為常數，即板的內應力僅是平面坐標的函數；同時假設板的振動較小，即板內所有質點都進行垂直方向的振動，因此可用中心面的位移來代表板的位移，該位移只是平面坐標與時間的函數.由于板振動方程的推導涉及許多彈性力學知識，而且推導極為繁瑣，這里只給出它的振動方程［3］.

其中η（t，x，y）代表板中心面上任何一點在垂直方向的位移，E是板的楊氏模量，板的截面回轉半徑為為板的厚度是直角坐標的一種算符.方程（1）可以采用分離變量法得出板上各點的振動位移，這里不給出板上各點振動的位移，只通過模擬的方法給出板上所形成的克拉尼駐波圖.

2.2 板振動的駐波圖

板或膜由于它們的振動發生于二維空間，波節已不在是點而是線.按照德國物理學家克拉尼曾經所做的實驗，散在板上一層薄薄的細砂，在板的振動下位于波腹處的細砂由于振動而脫離波腹，而位于波節處則保持不動，最終在板上“畫”出一幅獨特的二維振動駐波圖案.從克拉尼實驗結果來看，圖形所顯示的波節位置也不是線，而是面.這里采用有限元法模擬出方形板的振動波形圖.

2.2.1 模擬過程

模擬設置板尺寸為40mm×40mm×3mm，且板的邊界條件設為自由邊界，當給板施加一個振動頻率時，則板上會形成振動強弱不同的圖案，具體的模擬過程如下.

（1）指定分析標題并設置分析范疇

1）設置標題等

Utility Menu＞File＞Change Title

Utility Menu＞File＞ Change Jobname

2）選取菜單途徑Main Menu＞Preference，單擊Structure，單擊OK.

（2）定義單元類型

Main Menu＞ Preprocessor＞ Element Type＞ Add／Edit／Delete，出現 Element Types對話框，單擊 Add出現 Library of Element Types對話框，選擇Solid，再右滾動欄選擇Brick 20node 186，然后單擊OK，單擊Element Types對話框中的Close按鈕就完成這項設置了.

（3）指定材料性能

選取菜單途徑Main Menu＞Preprocessor＞Material Props＞ Material Models.出現 Define Material Model Behavior對話框，在右側Structural＞Linear＞Elastic＞Isotropic，指定材料的彈性模量（2.1e11）和泊松系數（0.3），Structural＞Density指定材料的密度（7 800），完成后退出即可.

（4）建立模型

選取菜單途徑Main Menu＞Preprocessor＞Modeling＞Create＞Volumes＞Block＞By Dimensions，根據尺寸要求設置（板的尺寸是40mm×40mm×3mm）.

（5）劃分網格

選取菜單途徑Main Menu＞Preprocessor＞Meshing＞MeshTool，出現MeshTool對話框，點擊SmartSize，保留其他選項，單擊 Mesh出現 Mesh Volumes對話框，其他保持不變單擊Pick All，完成網格劃分.

（6）進入求解器并指定分析類型和選項

選取菜單途徑 Main Menu＞Solution＞Analysis Type ＞ New Analysis， 將 出 現 New Analysis對話框，選擇Modal單擊OK.

再選取 Main Menu＞Solution＞ Analysis Type＞Analysis Options，將出現 Modal Analysis對話框，單擊OK，出現Subspace Model Analysis對話框，選擇激勵的頻率，其他保持不變，單擊OK.

（7）施加邊界條件

選取 Main Menu＞Solution＞Define loads＞Apply＞Structural＞Displace－ment，出現ApplyU，ROT on KPS對話框，選擇在點、線或面上施加位移約束，單擊OK會打開邊界約束種類對話框，選擇邊界設置（本文選擇自由邊界），單擊apply或OK即可.

（8）進行求解計算

選取菜單途徑Main Menu＞Solution＞Solve＞Current LS.瀏覽在／STAT命令對話框中出現的信息，然后使用File＞Close關閉該對話框，單擊OK. 在 出 現 Should the SOLV command be executed？時單擊Yes，求解過程結束后單擊close.

（9）查看振動結果

執行 Main Menu＞General Postproc＞Read results＞first Set，然后執行Main Menu＞General Postproc＞Plot Results＞Deformed Shape，在彈出對話框中選擇“Def＋undefe edge”單擊OK，模擬結果就會呈現出來.

（10）當需要其他頻率激勵時，重復上述步驟，只需對步驟（6）進行設置改變激勵頻率則會得到不同振動圖樣.

2.2.2 各種不同激勵頻率的振動圖樣（圖1）

圖1

上述圖樣，顯示板在不同頻率激勵下所呈現出來的精美圖形，模擬顯示在板上某些區域由于振動能量相差很微小，計算機則以同一顏色暗示這些區域的振動的幅度是一致的.而振動能量的強弱以顏色的深淺表示，紅色［如圖1（a）中正四邊形的邊長中點附近處］代表的是板上振動最強的地方，而藍色［如圖1（a）中深色對角線組成的十字叉］則是振動最弱的地方，兩者之間則以其他顏色顯示.從上述8個圖案可知，激勵的頻率越高，波長越短，在同樣大小的板上就會更多的駐波，當然波腹或波節數目也相應增加，圖案也就更加復雜精美，盡管復雜但不雜亂無章而是呈現一種規則分布的、和諧的對稱圖樣，這就是克拉尼二維駐波圖樣，它完全不輸于實驗所帶來的震撼.它代替了在實驗條件不足的情況下給學生所展現出的一幅幅生動的圖樣，當然也可以通過動畫的形式呈現每時每刻的振動圖樣.

3 結論

本文通過有限元軟件，模擬了二維方板在激勵頻率的作用下所呈現二維駐波圖樣，它代替了在實驗條件不足的情況下，同樣給學生在視覺上展現出一幅幅生動的精美圖樣，學生也了解激勵頻率對振動圖樣的影響，避免了對復雜的理論公式的理解.

1 漆安慎，杜嬋英.力學.北京：高等教育出版社，2005.334，362

2 李黎明.Ansys有限元分析實用教程.北京：清華大學出版社，2005

3 杜功煥，朱哲民，龔秀芬.聲學基礎，上海：上海科學技術出版社，1981.104