Urysohn引理的簡單形式與應用

(西南交通大學數學學院，四川 成都 611756)

·基礎學科·

Urysohn引理的簡單形式與應用

文永明，陳金喜

(西南交通大學數學學院，四川 成都 611756)

建立在一般拓撲空間中存在連續函數使得它的支撐在某個開集內、在開集的某個閉子集上恒為常數的充要條件。同時，在一般拓撲空間中的完美覆蓋上建立Urysohn引理，將該定理推廣到更加一般的形式，建立子集函數分離的充要條件。文章利用保序定理證明更一般的Urysohn引理，得到集族是完美覆蓋的充要條件。同時闡述各種形式的Urysohn引理的聯系，得到完美覆蓋的重要性質。最后給出Urysohn引理的應用，證明推廣的Tietze擴張定理。

拓撲空間；完美覆蓋；Urysohn引理；函數分離；Tietze擴張定理

給定拓撲空間X和開集V的閉子集K，在空間X上存在連續函數使得它的支撐包含在V內，在K上恒為常數的充要條件是什么呢？

在拓撲學中，緊集是用覆蓋來進行定義的。本文闡述覆蓋和連續函數的關系，闡述兩個閉集分離的本質。

正規空間中的Urysohn引理用連續函數成功刻畫了2個不相交閉集的分離屬性，這個引理是非常深刻的,并且有著廣泛的應用。它常表述為如下形式。

在實分析中,為了在局部緊致的Hausdorff空間中給出Riesz表示定理，需要如下形式的Urysohn引理。

在文獻[3]中作者給出了一個推廣的Urysohn引理，即下面引理3，它蘊含了引理1和2。

在文獻[4]中，作者將Urysohn引理中的函數推廣到了函數值是向量的情況。本文將Urysohn引理和Tietze擴張定理進一步推廣到一般拓撲空間，得到了更一般的定理2.1及定理3.2。定理2.1蘊含了上述3個引理(Urysohn引理)。本文同時建立了子集函數分離的充要條件(系2)，給出了Urysohn引理的應用。

1 重要概念、引理及符號說明

本文記V為拓撲空間X中的開集族，F為閉集族，設K?V?X我們記

定義1.2 對L?W?X，記完美覆蓋

并記

我們稱V(K)*W(L)是完美覆蓋V(K)與W(L)的乘積。

容易知道完美覆蓋有如下性質：

1)若V(K)是完美覆蓋，則Kc(Vc)也是完美覆蓋；

2)若V(K)，W(L)都是完美覆蓋，則V(K)*W(L)也是完美覆蓋。

定義1.4[6]集合X中的關系“”稱為偏序，如果滿足下述條件：

1)對任意x∈X，有xx;

2)若xy且yz，則xz;

3)若xy且yx，則x=y。

定義1.5[7]設集合M，稱“”是M上的一個線性序，如果對?x,y∈M有

1)xy，或yx；

2)若xy且yx，則x=y。

定義1.6[7]若“”是M上的一個線性序，稱M是一個鏈。

定義1.7[7]設(X,)，是兩個偏序集合，映射f:X→Y稱為保序映射，如果u,v∈X，且u≤v，則有或。

定義1.8[7]設A?X，稱A是序有界的，如果A關于序既有上界也有下界。集合X是序完備的，如果每一個有上界的非空子集有上確界。

引理1.1[7]設鏈X，Y，Y是序完備的，f是X的子集X0到Y的保序映射，則f能擴張成X到Y的保序映射的充要條件是f把X中的序有界集映成Y中的序有界集。該引理的證明見文獻[7]。

2 主要結果(Urysohn引理的推廣)

定理2.1 設X為拓撲空間，則V(K)是一個完美覆蓋的充要條件是：存在連續函數f:X→[0,1]，使

1)KfV；

證明若K=V=?，取f=0即可。以下假設K≠?。

充分性

因此V(K)是一個完美覆蓋。

必要性

因為V(K)是一個完美覆蓋，故存在Vi，U∈V(K)，i∈N使得

顯然，A，B都是鏈，下面證明B是序完備的。

設B?B，假設Vk，k∈N，是B的上界，則V1,V2,…,Vk都是B的上界。

若k是無界的，設Vm∈B，m∈N，則存在k使k?m，因此Vm?Vk，即Vm?Vk.又Vk?Vm，故Vk=Vm，易知Vm就是B的上確界。

若k有界，記t是k的最大數，易知，Vt是B的上確界。

由引理1.1，α可擴張成A到B的保序映射，即下式成立：

當ri?rj時，

(1)

定義

(2)

并定義

(3)

剩下的只需證明f為連續函數，這只要證明f=g即可。

(4)

綜合1)、2)知f=g，這就完成了定理的證明。

注：定理2.1說明，能在拓撲空間X中建立連續函數使得它的支撐包含在開集V內，在V的閉子集K上恒為常數的充要條件是存在K上的完美覆蓋。

f:X→[0,1]

這樣就得到了引理1。

系5 定理2.1蘊含引理3是顯然的。

系6 若X為緊致Hausdorff空間，則引理1和2是等價的。

為證明系6，我們還需要如下引理。

引理2.1[8]：在緊致Hausdorff空間中，一個集合是閉集的充分必要條件是它是緊致子集。

證明首先證明引理1蘊含引理2。

再證明引理2蘊含1。

3 應用

3.1 Tietze擴張定理的推廣

引理3.1 設X是拓撲空間，K∈F，V∈V且K?V，V(K)是一個完美覆蓋,λ是一個正實數，則對于任何一個連續映射

g:K→[-λ,λ]

存在著一個連續映射

使得對?a∈K有

以及

由定理2.1，存在一個連續映射

使得

下面驗證g*是符合要求的函數。

綜上，g*符合要求。

這是完美覆蓋的重要性質，是文獻[8]中引理6.3.3的推廣。

類似文獻[8]的方法可將Tietze擴張定理推廣如下。

定理3.2 (推廣的Tietze擴張定理)設X是拓撲空間，[-1,1]是一個閉區間，K∈F，V∈V且K?V，則V(K)是完美覆蓋的充要條件是：對任何一個連續映射

這個定理的必要性的證明，和文獻[8]中Tietze擴張定理的必要性的證明是類似的。

證明僅就K,Vc≠?的情況加以證明。

充分性：定義映射

f:K→[-1,1]，

易見f是一個連續映射。因此存在一個連續映射g：X→[-1,1]是f的擴張。顯然當x∈K時g(x)=-1；當x∈Vc時,g(x)=1。由定理2.1，V(K)是完美覆蓋。

必要性：設V(K)是X中的一個完美覆蓋，令A=K。f:A→[-1,1]是一個連續映射。我們用歸納的方式對于每一個n≥0，定義一個連續映射

對于每個n≥1定義一個連續映射

令f0=f，對于n?0，假設fn-1已經定義，由引理3.1，存在連續映射

定義映射fn使得對于每一個a∈A有

由于對每一個n≥1，有

下面驗證g滿足定理的要求。

首先驗證g是f的擴張。設a∈A，對于每一個n≥1，由于

令n→，得。

下面驗證g的連續性。

設x∈X，對?ε?0，選取整數N?0使得

對于每一個n=1,2,…N，由于gn是連續的，故存在x的一個領域；設為Un，使得當y∈Un時有

于是當y∈U1∩U2∩…∩UN時，有

這就證明了映射g在點x處連續。由于x是X中的任意一點，所以映射g是X上的連續映射。

3.2在泛函中的應用

假設K是n中的緊集，C(K)是K上的連續函數空間，設g∈C(K)，Λf=∫Kfgdμ。

2)Λ是正線性泛函的充要條件是g≥0。

故Λ是有界線性泛函，因而是連續的。

由引理2，存在連續函數u,v∈C(K)使得，FuU，GvV。取ρ=u-v，則有：

2)充分性顯然。下面證必要性。

證明V=?或U(V)=0即可。若V≠?，且μ(V)>0，

Λv=∫Kvgdμ=∫Vvgdμ=∫Ggdμ+∫VGvgdμ≤∫Ggdμ<0。

矛盾。

陳金喜副教授悉心指導本文的寫作并多次審閱全文，對證明中的個別錯誤給與了指正，對證明的簡化和符號的使用提出了有益的建議，謹致謝意。

[1]江輝有.拓撲學[M].北京：機械工業出版社，2013：76.

[2]Rudin W.Real and Complex Analysis[M]．New York:McG raw-Hill,1987：37-39．

[3]丘京輝，周強.一個推廣的Urysohn引理[J]．Journal Of Suzhou University Natural Science Edition ，2010,26 (4)：1-2．

[4] 周景新．Urysohn引理與Tietze擴張定理的推廣[J].吉林師范學院學報：自然科學版，1999，20(5)：25-27.

[5]朱培勇，雷銀彬.拓撲學導論[M].北京：科學出版社，2009：55.

[6]Adriaan C．Zaanen.Introduction To Operator Theory In Riesz Spaces[M] ．Berlin:Springer,1997：1．

[7]Kelly J L.General Topology[M]．New York：Springer-Verlag,1955：13-16．

[8]熊金成．點集拓撲講義[M].3版．北京：高等教育出版社，2003：172-175，198．

[9]夏道行，吳卓人，嚴紹宗，等.實變函數論與泛函分析[M].2版.北京：高等教育出版社，2010:109,152.

(編校：葉超)

TheSimpleFormofUrysohnLemmaandItsApplication

WEN Yong-ming，CHEN Jin-xi

(SchoolofMathematics,SouthwestJiaotongUniversity,Chengdu611756China)

We present the sufficient and necessary conditions that there is continuous functions which supports is contained in certain open set and the value is constant in some closed subset of the open set. At the same time, we establish Urysohn lemma in the perfect Cover of general topological space and obtain a more general form of this theorem and construct the sufficient and necessary conditions which the sets are function separared. order preserving theory is utilized to prove a more general Uryshon Lemma and we obtain the sufficient and necessary conditions which a set family is a perfect cover. Then we survey the connection between the various Urysohn’s lemmas and obtain an important property of perfect cover. Finally, we give the application of Urysohn lemma and prove the generalized Tietze expansion theorem.

topological space; perfect-Cover; Urysohn lemma; function separated ；Tietze expansion theorem

2014-05-20

國家自然科學基金NSFC(11301285)；中央高校基本科研業務費創新項目(SWJTU11CX154)

文永明(1985—)，男，碩士研究生，主要研究方向為泛函分析。

O189.1

：A

：1673-159X(2015)04-0052-07

10.3969/j.issn.1673-159X.2015.04.011