求解廣義BBM-Burgers方程的一個兩層非線性守恒差分格式

(西華大學理學院，四川 成都 610039)

·基礎學科 ·

求解廣義BBM-Burgers方程的一個兩層非線性守恒差分格式

胡勁松, 王婷婷, 陳 濤

(西華大學理學院，四川 成都 610039)

對廣義BBM-Burgers方程的初邊值問題進行了數值研究，提出一個兩層非線性Crank-Nicolson差分格式，格式合理地模擬方程本身的一個守恒量，得到差分解的先驗估計和存在唯一性，并利用能量方法分析該格式的二階收斂性與無條件穩定性。

廣義BBM-Burgers方程；差分格式；守恒；收斂性；穩定性

BBM方程是由Benjamin等[1]為描述非線性彌散系統中長波的單向傳播而提出來的。它是對用來描述淺水波損耗現象的KdV方程的一個修改，因此對這類問題的研究有重要的理論價值。關于廣義BBM-Burgers方程的解的存在唯一性、收斂性以及解的大時間漸近性狀態等都有了很多研究[2-5]。由于廣義BBM-Burgers方程的解析解很難求出，所以研究其數值解就非常有意義。Kamel Al-Khaled 等[6]利用Adomian分解方法對廣義BBM-Burgers方程的數值解進行了研究；文獻[7]利用Fourier 擬譜方法討論了廣義BBM-Burgers方程的周期初邊值問題的數值解。

本文考慮如下一類廣義BBM-Burgers方程的初邊值問題：

ut-uxxt+ux-uxx+upux=0，x∈(xL,xR)，t∈(0,T];

(1)

u(x,0)=u0(x)，x∈[xL,xR];

(2)

u(xL,t)=u(xR,t)=0，t∈[0,T]。

(3)

其中：p≥1為正整數；u0(x)是已知函數。由于方程(1)的物理漸近邊界條件為：當|x|→時，u→0，ux→0，所以不難驗證，初邊值問題(1)—(3)具有如下守恒量：

(4)

其中Q(0)為僅與初始條件有關的常數。

文獻[8-9]用有限差分方法對問題(1)—(3)進行數值方法研究，分別提出三層的二階差分格式，但都沒有模擬守恒量(4)。本文利用文獻[10-11]處理廣義正則長波(GRLW)方程和廣義對稱正則長波(GSRLW)方程的技巧，對問題(1)—(3)提出了一個兩層非線性Crank-Nicolson差分格式，格式合理地模擬問題的守恒量(4)，討論了其差分解的存在唯一性并分析了格式的收斂性和穩定性。

證明令

并注意到(3)式和ut-uxxt=-ux-upux+uxx，有

故E(t)關于時間t是單調遞減，即

也即

‖u‖L2≤C，‖ux‖L2≤C；

再由Sobolev不等式有‖u‖L≤C。

1 差分格式及其守恒律

j=1, 2, …,J-1，n=1, 2, …,N;

(5)

(6)

(7)

為了分析方便，本文中定義

差分格式(5)—(7)對守恒量(4)的數值模擬如下：

定理1 差分格式(5)—(7)具有如下離散守恒律，即

(8)

證明將(5)式兩端乘以h然后對j從1到J-1求和，得

(9)

由邊界條件(7)和分部求和公式[12]有

(10)

(11)

當p為奇數時，有

(12)

于是由式(10)—(12)有

(13)

又

(14)

(15)

(16)

將式(13)—(16)代入式(9)，整理得

(17)

由Qn的定義，將式(17)遞推可得式(8)。

2 差分格式的先驗估計

引理2 (離散Sobolev不等式[12])存在常數C1和C2使得‖un‖≤C1‖un‖+C2‖‖。

(18)

由于

(19)

即

(20)

所以，由式(18)—(20)得

即

由此可得

再由引理2得

‖un‖≤C。

3 差分格式的可解性

引理3 (Brouwer不動點定理[13])設H是有限維內積空間，g：H→H是連續算子且存在α>0使得?x∈H，‖x‖=α有〈g(x),x〉>0，則存在x*∈H，使得g(x*)=0且‖x*‖≤α。

證明用數學歸納法。由式(6)知，當n=0時，差分解存在；假設當nN-1時，存在u0,u1,…,un滿足差分方程(5)—(7)，下面證明存在un+1滿足差分方程(5)—(7)。

(21)

將式(21)與v作內積，并注意到類似于式(19)和式(20)，有

于是

4 差分格式的收斂性與穩定性及其解的唯一性

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

由引理1、定理2，以及 Cauchy-Schwarz不等式，有

(29)

(30)

Bn+1-BnCτ(Bn+1+Bn)+τ‖rn‖2，

即

(1-Cτ)[Bn+1-Bn]≤2CτBn+τ‖rn‖2。

只要取適當小的τ，滿足1-Cτ>0，就有

Bn+1-Bn≤CτBn+Cτ‖rn‖2。

(31)

對式(31)從0到n-1求和得

由式(26)有

B0=O(τ2+h2)2。

又

于是

由引理4可得

Bn≤O(τ2+h2)2，

即

最后由引理2有‖en‖≤O(τ2+h2)。

與定理4類似，可以證明：

定理5 在定理4的條件下，差分格式(5)—(7)的解un以‖·‖關于初值無條件穩定。

定理6 差分格式(5)—(7)的解是唯一的。

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(編校：葉超)

TwoLevelNonlinearConservativeDifferenceSchemeforSolvingGeneralizedBBM-BurgersEquation

HU Jin-song, WANG Ting-ting, CHEN Tao

(SchoolofScience,XihuaUniversity,Chengdu610039China)

In this paper, a two level nonlinear Crank-Nicolson difference scheme is proposed. The scheme provides a numerical solution to the initial boundary value problem of general BBM-Burgers equation. A conservative variable of the equation is simulated well with the scheme. In the simulation, the prior estimate and uniqueness of the solution are also obtained. In addition, the second order convergence and unconditional stability are proved by using energy analysis.

generalized BBM-Burgers equation；difference scheme；conservation； convergence； stability

2013-11-13

四川省教育廳青年基金(11ZB009)

胡勁松(1973—)，男，教授，博士，主要研究方向為偏微分方程數值解。

O241.8

：A

：1673-159X(2015)03-0089-05

10.3969/j.issn.1673-159X.2015.03.018