采用分形插值的典型日負荷曲線改進預測方法

李萌，程浩忠，楊宗麟，韓新陽，楊鏡非（．上海交通大學電力傳輸與功率變換控制教育部重點實驗室，上海0040；．華東電網有限公司，上海0040；．北京國網經濟技術研究院，北京0005）

采用分形插值的典型日負荷曲線改進預測方法

李萌1，程浩忠1，楊宗麟2，韓新陽3，楊鏡非1
（1．上海交通大學電力傳輸與功率變換控制教育部重點實驗室，上海200240；2．華東電網有限公司，上海200240；3．北京國網經濟技術研究院，北京100052）

提出了一種結合粒子群算法的改進分形預測方法。針對各年典型日負荷曲線形態相近且具有上移趨勢的特點，采用調整向量來描述該趨勢，在生成迭代函數系吸引子的過程中利用粒子群算法對調整向量進行優化。針對傳統分形預測中迭代初始點經驗性選取的問題，提出了利用“時序平移”的思想來計算迭代初始點的方法。結合調整向量優化和時序平移思想，建立改進的分形預測模型。最后，通過實例計算說明了該方法的有效性。

負荷曲線預測；典型日負荷；分形插值；迭代函數系；粒子群算法

中長期的負荷預測對于電力設備的投資、輸變電系統的規劃[1]等具有前瞻性的指導作用，是電力系統規劃的基礎，而典型日負荷曲線的預測則是中長期負荷預測的重要組成部分，其預測的準確性對于把握未來負荷特性、模擬系統生產以及在市場環境下輔助售電公司選擇優質用戶[2]等具有重要意義。目前典型日負荷曲線的預測思路大體可以歸納為兩類：第1類是直接預測負荷曲線形狀，并利用典型日電量、最大負荷以及負荷率等特征參數的預測值對曲線進行修正[3-4]；第2類則是通過分別獨立預測每一時刻的負荷值來預測曲線[5]。第1類方法對特征參數的預測精度要求較高，易造成預測誤差的積累；第2類方法雖然可以避免誤差累積的問題，但由其對不同時刻負荷值獨立預測，需要分別設定模型參數，操作復雜，也無法考慮到負荷的短期相關性[6]。

分形理論是非線性科學的前沿分支，近幾年被逐漸應用到了電力負荷預測之中，具有不依賴任何負荷特征參數、操作簡便的優點。該理論基于部分與整體的自相似性，從部分出發來確定整體的性質，可以直接預測曲線的整體形狀。分形插值則是構建分形曲線的方法，相比于Lagrange等插值方法更能反映出插值點之間的突變情況，具有較好的擬合強波動性的曲線的能力[7]。文獻[8]利用重標極差分析方法闡明了電力負荷的持久性，驗證了分形插值法在電力負荷預測中的可行性；文獻[9]指出迭代函數系IFS（iterative function system）的迭代收斂過程與初始點的選取有關，提出了基于均方偏差最小化的分形外推差值算法；文獻[10]利用分形維數計算垂直比例因子的方法，避免了計算受到人為影響。這些文獻的預測對象均為短期內日負荷曲線。相比于短期負荷預測，典型日的負荷曲線的預測時間跨度較長。典型日負荷不但受當日氣象特征等短期隨機因素的影響，還會受到經濟發展、電力需求增加等長期趨勢因素的影響，不同年份的典型日負荷曲線總體上呈現出增長趨勢，即后年的典型日負荷曲線一般要高于前年，造成各年典型日負荷曲線的IFS差距較大。傳統分形預測方法（適用于短期預測）直接利用歷史曲線的迭代函數系的加權平均值來近似未來曲線的IFS，該方法應用于典型日負荷預測時將產生較大誤差。

針對傳統分形預測的這種局限，本文提出了利用調整向量來自適應處理歷史負荷曲線的方法，并通過粒子群算法來優化調整向量以減小預測誤差。利用“時序平移”[11]思想來求取最優的迭代初始點，進而預測典型日負荷曲線。最后結合某省級電網的負荷數據進行方法的驗證。

1 分形插值預測

1.1 分形插值原理

分形拼貼定理[7]指出，對于完備度量空間中的非空緊集S，存在一個迭代函數系IFS{R2∶wi，i= 1，2，…，N}，使得該IFS的吸引子A近似于該集合，其中wi為空間R2→R2的壓縮映射，其具有的仿射變換[12]為

即A經過壓縮映射后的象仍為其本身。

分形插值方法[13]即為構造上述IFS的過程。對于選定的插值點集合{（xi，yi）∶i=0，1，…，N}，xi表示第i個插值點所對應的時刻，xi∈{1，2，…，24}，yi表示xi時刻對應的負荷值；壓縮映射wi的各參數可由插值點集確定，即

式中：N為插值點個數；di為自由參數，又稱為垂直尺度因子，一般可憑經驗選取。為了避免di選取的隨意性，文獻[10]依據分形維數定理提出了一種計算方法，假設各垂直比例因子di大小相等，則有

式中，H為Hurst指數，是檢驗電力負荷數據自相似性的重要指數。Hurst指數的計算方法在文獻[14-15]中有詳細的介紹，本文不再贅述。

1.2 分形插值的預測流程

一個系統的部分與整體之間某種形式的相似稱為自相似性[7]。若將負荷曲線構成的時間序列視為一個系統，以日為時間尺度時，則該系統具有自相似性[9]。電力負荷具有自相似性是分形理論應用于負荷預測的前提。分形拼貼定理說明，如果以未來負荷曲線為集合S，那么可以通過歷史負荷曲線來構造一個統計意義上的IFS[13]，并且使得這個IFS的吸引子近似于未來負荷曲線。利用分形插值法進行負荷曲線預測的過程如下。

步驟1選取各歷史典型日負荷曲線的插值點對。通常可選擇曲線中的峰谷點、極值點、拐點等信息較為豐富的點[8]；

步驟2依據式（1）～式（4）計算各歷史曲線的IFS；

步驟3對各歷史曲線的迭代函數系加權平均，形成統計意義上的IFS，用該IFS來近似表示未來的典型日負荷曲線的IFS；

步驟4選取統計意義上的IFS的迭代初始點，利用確定型迭代算法或隨機算法[7]計算該函數系的吸引子，所得的吸引子即為未來負荷曲線的近似值。

文獻[8～10]均采用了以上的思路。在進行短期日負荷曲線預測時，由于未來曲線與歷史曲線在縱坐標方向的位置相近，步驟3中的近似才得以成立。由于受趨勢性因素的影響，不同年份的典型日負荷曲線在縱坐標上的位置呈現出上移的趨勢，如果直接根據步驟1～步驟4進行預測將會產生較大的誤差。因此，有必要對歷史曲線進行適當的調整（如對曲線進行上下平移），使得調整后由歷史曲線所生成的統計意義上的IFS可以近似表示未來曲線的IFS。本文引入粒子群優化PSO（particle swarm optimization）算法來實現歷史曲線的自動調整。

2 調整向量的計算

本文提出的“調整向量”的作用為：反映各歷史曲線間趨勢變動信息，對歷史負荷曲線進行調整，并利用調整后的曲線實現對未來年負荷曲線的預測。要實現以上預測思路必須解決2個問題：①如何計算調整向量；②如何判斷計算所得的調整向量是合理的。

本文采用粒子群算法來求解調整向量，以預測誤差是否達最小來判斷調整向量的合理性。

PSO是一種進化計算技術，該算法通過構造“粒子群”進行系統尋優。以各調整向量構成的矩陣（簡稱調整矩陣，下同）作為個體粒子，并設歷史負荷曲線的集合為{L1，L2，…，Lm}，其中Li=（Li，1，Li，2，…，Li，24）為第i年典型日的24個整點負荷值所構成的向量。利用該集合利用PSO求解調整向量并實現預測的步驟如下。

（1）初始化參數，令迭代次數k=1。

（2）對于第k次迭代，設第p個粒子的位置為

式中，xkpi為第i條歷史曲線的調整向量，則調整后的歷史曲線集合為=+，i=1，2，…，m}。利用該集合依據第1.2節中的步驟1～步驟4生成一條預測曲線，并計算預測誤差。

（3）若迭代次數達設定的上限或滿足條件，

則尋優結束，輸出預測曲線；否則轉步驟（4）。

（4）更新粒子位置與運動速度為

3 典型日負荷曲線預測的實現

本文提出預測方法主要分為2個部分：求取IFS的迭代初始點和預測未來年負荷曲線。

3.1 迭代初始點的求取

文獻[9]指出，迭代初始點的選取將影響IFS的迭代收斂速度。當所選取的初始點落在分析的內區間時，由已知的IFS迭代產生的所有點將全部落在吸引子上。因此如果初始點能足夠接近待預測負荷曲線中的某點時，迭代將加快收斂。

在預測過程中，待預測曲線的吸引子是未知的，無法直接選擇初始點，但如果能得到或預測得到待預測曲線上的某一點（該點必位于或者接近于吸引子），則可將該點作為迭代初始點。為了獲得迭代初始點，本文采用了“時序平移”的思想。“時序平移”是指利用歷史負荷曲線構造一個新集合

式中，li，j為第i條歷史曲線的第j個負荷值。經過“時序平移”，第i條歷史曲線的第1個時刻的負荷值變成了新集合中第i-1條曲線的最后一個時刻的負荷值。

以日為時間尺度下，歷史負荷曲線集合具有自相似性，且自相似性與曲線的起點無關，因此所生成的新曲線集合仍然具有自相似性。對新曲線集合利用PSO算法優化其調整向量，設在一次迭代尋優過程中生成的曲線為=（，…），則PSO算法的優化目標為的前23個點與的后23個點的相對誤差的平均值達最小，即

當PSO算法尋優結束后，由于電力負荷具有自相似性與持久性，的最后一個點將近似于待預測負荷曲線的第1個時刻的負荷值，于是可將點（1，）作為迭代初始點。歷史曲線集合L、新曲線集合Lnew和迭代初始點在時間軸上的位置關系如圖1所示。

圖1 L、Lnew以及初始點在時間軸上的位置Fig.1 L、Lnewand startpointon time axes

圖2 本文預測算法流程Fig.2 Flow chartofproposed forecasting calculation

3.2 負荷曲線的預測

4 算例分析

以某省2008—2011年夏季典型日負荷曲線為歷史數據，對2012年夏季典型日負荷進行預測。算法流程如圖2所示。本例中，選取形態與夏季平均日負荷曲線最為接近，且無畸變的典型日負荷曲線。

本文在計算中發現，分形插值點的選取對預測的精度和迭代收斂速度有著較大影響。插值點選取過少，將無法描述曲線的細節變化，將產生較大的預測誤差，插值點選取過多則將影響迭代速度。為了兼顧預測精度與迭代速度，本文選定兩組插值點分別進行預測：第1次插值的點為1、5、7、12、13、20、22共7個整點負荷，第2次插值的點為1，7，12，13，18，21，24共7個整點負荷。

預測的第1步為計算第2步所需要的迭代初始點。利用2008-2010年每年24個時刻的負荷值以及2011年第1個時刻負荷值，采用本文的方法預測2011年的后23個時刻和2012年第1個時刻的負荷值。預測中插值點對按上文選取，迭代初始點取為2011年第2個時刻負荷值。預測得到2012年夏季典型日負荷曲線的第1時刻的負荷值為15 362 MW。

預測的第2步為2012年負荷曲線的預測。利用第1步的預測結果，設定此步中的迭代初始點對為（1，15 362），插值點對與上一步相同。2012年夏季典型日的負荷曲線預測結果見表1。

為了說明本文提出的分形預測改進方法的有效性，本文還利用不同方法對2012年的典型日負荷曲線進行預測，由于篇幅有限僅展示各類方法的預測曲線如圖3所示，其中方法1為傳統分形方法，方法2在方法1的預測結果之上進行了電量修正，方法3為文獻[4]介紹的方法。不同方法的預測誤差見表2，具體結果說明如下。

（1）本文提出的相對誤差的平均值為1.671%，低于其他3種方法。相比于傳統分形方法而言，其預測誤差大幅度降低。傳統分形方法因無法考慮各年間負荷曲線的增長信息，當僅通過歷史負荷曲線生成的統計意義上的IFS進行預測時將產生較大的誤差。

（2）方法2在方法1的基礎上進行了電量修正，本例中利用2012年夏季典型日用電量的實際值對方法1中獲得的曲線進行比例縮放，使修正后曲線對應的日用電量與實際日用電量相等。進行電量修正后，預測精度得到提高。但由于該方法需提前預測日用電量，當日用電量的預測存在誤差時，該方法的誤差將增大。

（3）方法3在個別時刻負荷值的預測精度高于本文提出的方法，但其并不能較好地反映實際曲線的形態，總體上預測精度較低。

表1 某省電網2012年夏季典型日負荷預測值Tab.1 Load forecasting ofsummer typicaldaily load of one certain province in 2012

圖3 不同預測方法的結果對比Fig.3 Result comparison ofdifferentforecasting methods

表2 不同預測方法的誤差對比Tab.2 Error comparison of different forecasting methods %

5 結論

（1）電力負荷曲線的自相似性與時間起點的選取無關是本文利用“時序平移”來求取迭代初始點的理論基礎。

（2）傳統分形插值方法無法直接應用于典型日負荷曲線預測，利用調整向量對歷史曲線進行處理，可以克服這種局限。算例證明了本文提出的改進分形預測方法具有較高的精度，可以滿足工程實踐的要求。

（3）與神經網絡、支持向量機等方法相比，本文所提算法對樣本容量要求低，可同時預測1 d 24點的負荷值。此外，本文的方法并不需要提前對電量、負荷率等參數進行預測，具有較強的操作性。

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Improved Forecasting Method of TypicalDaily Load Curve Based on FractalInterpolation

LIMeng1，CHENG Haozhong1，YANG Zonglin2，HAN Xinyang3，YANG Jingfei1
（1.Key Laboratory ofControlofPower Transmission and Transformation ofMinistry ofeducation，ShanghaiJiao Tong University，Shanghai200240，China；2.EastChina Grid Company Limited，Shanghai200240，China；3.State Power Economic Research Institute，Beijing 100052，China）

This paper proposes an improved method of forecasting typical daily load curve combined with particle swarm optimization.In point of the typicaldaily load curve characteristics of similar shape and upward trend year by year，this paper adopts adjustment vector to express the trend，and optimizes the adjustment vector using particle swarm algorithm in the progress ofgenerating attractors ofiterative function system.Aiming atthe experientialselection problems ofthe initialiteration pointin the traditionalfractalprediction，a method based on time-shifting technique is proposed to calculate the initialpointfor the fractalinterpretation iteration.Combined with the adjustmentvector optimization and time-shifting thought，an improved fractal prediction model is then established.Case study results show thatthe proposed algorithm possesses advantages ofmore accurate forecasting results．

load curve forecasting；typical day load；fractal interpretation；iterative function system；particle swarm optimization（PSO）

TM715

A

1003-8930（2015）03-0036-06

10.3969/j.issn.1003-8930.2015.03.07

李萌（1988—），女，碩士研究生，研究方向為電網規劃與優化、電力系統負荷預測。Email：lmfighting@sina.com

2013-08-12；

2013-11-15

2012年度上海市優秀學術帶頭人計劃項目（12XD1402900）；上海領軍人才資助項目（2012020）

程浩忠（1962—），男，博士，教授，研究方向為電網規劃、電壓穩定性、電能質量。Email：hzcheng@sjtu.edu.cn

楊宗麟（1956—），男，本科，高級工程師，研究方向為電力市場分析預測、電力規劃。Email：wmy0817@163.com